ymk II часть / UMK

% Электронный учебник будет представлять собой один файл в формате pdf.
% Для того, чтобы создать этот
% файл, нужно поработать с настоящим документом, который в дальнейшем будем называть
% <<рабочий файл>>. Прежде, чем приступать к работе, прочтите внимательно первые две части
% <<Руководства пользователю>>. По большому счету электронное издание <<Руководство
% пользователю>> показывает стиль и
% структуру создаваемого электронного учебника (стиль и структуру, конечно же, можно будет
% поменять по Вашему усмотрению). Основную часть экрана занимает так называемая рабочая
% область -- здесь будет представлена информация учебника, предназначенная для изучения
% студентами. Правая часть -- интерактивная панель, предназначенная для удобной навигации
% по документу.

% Теперь можно приступать к работе. Внимательно читайте все комментарии (они начинаются после
% символа %).
% Если Вы что-нибудь поменяли, то для того, чтобы увидеть результат,
% нужно скомпилировать рабочий файл в pdf-документ (см. <<Руководство пользователю>>).

%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\documentclass[12pt, a4paper]{book}% Эту команду не стоит менять
\usepackage{xspace,colortbl}% Эту команду не стоит менять
\usepackage[cp1251]{inputenc}% Эту команду не стоит менять
\usepackage[english,russian]{babel}% Эту команду не стоит менять
\usepackage{euscript,latexsym,amsfonts,amsthm,amsmath,amssymb}% Эту команду не стоит менять
\usepackage[pdftex,hypertex]{hyperref}% Эту команду не стоит менять
\usepackage{color}% Эту команду не стоит менять
\usepackage[screen,panelright,sectionbreak]{pdfscreen}% Эту команду не стоит менять
\graphicspath{{images/}{images/amblems/}{images/fon/}{images/panel/}{images/pic/}}% Эту
% команду не стоит менять. Она указывает путь к папкам, в которых хранятся графические файлы
 \margins{.25in}{.25in}{.25in}{.30in}% Эту команду не стоит менять
 \screensize{6.25in}{8in}% Эту команду не стоит менять
  \changeoverlay% Эту команду не стоит менять
\usepackage{longtable}% Эту команду не стоит менять

%--------------------------------------------------------------------------------------------

 \paneloverlay{but3.png}% Аргумент этой команды, записанный в фигурных скобках, можно
% изменить. <<{but3.png}>> -- это имя графического файла, который используется в качестве
% фона интерактивной панели. Здесь можно прописать имя любого рисунка в формате png или pdf,
% который Вы хотите использовать в качестве фона для интерактивной панели. Файл
% этого рисунка должен находиться в папке Images/Panel.

%---------------------------------------------------------------------------------------------------

\overlay{m1.png} % Аргумент этой команды, записанный в фигурных скобках, можно
% изменить. <<{m8.png}>> -- это имя графического файла, который используется в качестве
% фона основой рабочей области. Здесь можно прописать имя любого рисунка в формате
% png или pdf, который Вы хотите использовать в качестве фона для основной рабочей области.
% Файл этого рисунка должен находиться в папке Images/fon.

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\def\panel{\begin{minipage}[t][\paperheight][t]{\panelwidth}% Эту команду не стоит менять
\centering\null\vspace*{12pt}% Эту команду не стоит менять
 \par\vspace{0.3cm}% Эту команду не стоит менять

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\includegraphics[width=2.54cm]{brsu.png}\par\vspace{0.6cm}% Эта команда позволяет вставить
% любую картинку в качестве эмблемы в верхней части интерактивной панели. Аргумент команды
% в квадратных скобках <<[width=2.54cm]>> задает ширину эмблемы (в сантиметрах),
% а аргумент команды в фигурных скобках <<{univ.png}>> -- это имя графического файла,
% содержащего саму эмблему. Здесь можно прописать имя любого рисунка в формате
% png или pdf, который Вы хотите использовать в качестве эмблемы.
% Файл этого рисунка должен находиться в папке Images/amblems
\vspace{0mm}% Эта команда задает расстояние (в миллиметрах) до следующей после эмблемы строки
{\LARGE\itshape Кафедра}% Эту команду лучше не менять

{\large\itshape АиГ}% Впишите сюда название Вашей кафедры

\vspace{5mm}% Эта команда задает расстояние (в миллиметрах) до первой кнопки
% интерактивной панели
%---------------------------------------------------------------------------------------------------

 \Acrobatmenu{FirstPage}{\addButton{1.05in}{\FBlack\@Начало}}\par\vspace{3mm} % Эта команда создает
% кнопку <<Начало>> на интерактивной панели. Нажатие этой кнопки возвращает пользователя
% на первую (титульную) страницу электронного учебника. Аргумент команды <<{\FBlack\@Начало}>>
% можно поменять (например, написать вместо <<Начало>> <<Пачатак>> или <<Титульная страница>>).

%------------------------------------------------------------------------------------------------

\hyperref[oglo]{{\addButton{1.05in}{\@Содержание}}}\par\vspace{3mm} %Эта команда создает
% кнопку <<Содержание>> на интерактивной панели. Нажатие этой кнопки возвращает пользователя
% на первую страницу раздела <<Содержание>> электронного учебника.
% Аргумент команды <<{\@Содержание}>> можно поменять (например, написать
% вместо <<Содержание>> <<Змест>> или <<Оглавление>>).

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\hyperref[mybutton]{\addButton{1.05in}{\@Ваша кнопка}}\par\vspace{3mm}%Эта команда создает
% кнопку <<Ваша кнопка>> на интерактивной панели. Нажатие этой кнопки вернет пользователя
% на ту страницу электронного учебника, на которую Вы захотите. Для этого нужно в определенное
% Вами место любого раздела электронного учебника поставить метку \label{mybutton} (подробнее
% о метках можно прочитать в <<Руководстве пользователю>>). Обратите внимание, что имя этой
% метки должно совпасть с аргументом команды, записанном
% в квадратных скобках (\hyperref[mybutton]).
% Аргумент команды <<{\@Ваша кнопка}>> нужно поменять (написать
% вместо <<Ваша кнопка>> любой текст, указывающий пользователю, какую информацию он
% получит, нажав на эту кнопку). Такого типа кнопки удобно создавать для быстрого
% доступа пользователя к некоторой информации электронного учебника (например, справочной
% информации, перечню формул, и т.д.). При желании таких кнопок можно создать несколько
% (сколько позволит высота Интерактивной панели). Для этого нужно соответствующее
% число раз скопировать и вставить сразу после этого комментария
% команду \hyperref[imyametki]{\addButton{1.05in}{\@Ваша кнопка}}\par\vfill
% Если же Вы не хотите создавать ни одной своей кнопки, удалите всю строку, содержащую
% описываемую здесь команду и весь текст данного комментария.

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\Acrobatmenu{PrevPage}{\addButton{.51in}% Не меняйте эту команду. Она создает кнопку перехода
{\FBlack\scalebox{.8}[1.4]{\btl}}}\hspace{1pt}% на одну страницу назад
\Acrobatmenu{NextPage}{\addButton{.51in}% Не меняйте эту команду. Она создает кнопку перехода
{\LBlack\scalebox{.8}[1.4]{\rtl}}}\par\vspace{3mm}% на одну страницу вперед

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\Acrobatmenu{FirstPage}{\addButton{.51in}% Не меняйте эту команду. Она создает кнопку быстрого
{\FBlack\scalebox{.8}[1.4]{\btl\btl}}}\hspace{1pt}% перехода на первую страницу
\Acrobatmenu{LastPage}{\addButton{.51in}% Не меняйте эту команду. Она создает кнопку быстрого
{\LBlack\scalebox{.8}[1.4]{\rtl\rtl}}}\par\vspace{3mm}% перехода на последнюю страницу

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\Acrobatmenu{GoToPage}{\addButton{1.05in}% Не меняйте эту команду. Она создает кнопку,
{\@Страница~\thepage~\@из~\pageref*{pages_total}}}\par\vspace{3mm}% позволяющую совершать
% переход на любую страницу электронного учебника

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\Acrobatmenu{GoBack}{\addButton{1.05in} {\@Назад}}\par\vspace{3mm}% Не меняйте эту команду. Она
% создает удобную кнопку возврата к той странице электронного учебника, с которой был совершен
% переход по любой гиперссылке текста учебника или по некоторой кнопке Интерактивной панели.
% Аргумент команды <<{\@Назад}>> можно поменять (например написать вместо <<Назад>>
% <<Обратно>> или <<Возврат>>).

%---------------------------------------------------------------------------------------------------

\Acrobatmenu{FullScreen}{\addButton{1.05in}{\@На весь экран}}\par\vspace{3mm}% Эту команду лучше
% не менять. Она создает кнопку, позволяющую <<развернуть>> электронный учебник на весь экран.
% Аргумент команды <<{\@На весь экран}>> можно поменять (например написать вместо
% <<На весь экран>> <<Развернуть>> или <<Увеличить>>)

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\Acrobatmenu{Quit}{\addButton{1.05in}{\@Закрыть}}\par\vspace{3mm}% Эту команду лучше
% не менять. Она создает кнопку, нажатие которой закрывает электронный учебник. Аргумент
% команды <<{\@Закрыть}>> можно поменять (например написать вместо
% <<Закрыть>> <<Выход>> или <<Уйти>>)

%---------------------------------------------------------------------------------------------

\end{minipage}}% Эту команду не стоит менять

\definecolor{panelbackground}{gray}{.8}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{buttonbackground}{gray}{.9}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{buttonshadow}{gray}{.2}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{orange}{rgb}{1,.549,0}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{orange1}{rgb}{1,.5,0}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{section0}{rgb}{0,.5,.1}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{section1}{rgb}{0,.5,1}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{section2}{rgb}{0,.5,.5}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{section3}{rgb}{0,.5,.4}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{section4}{rgb}{.4,.5,.2}% Эту команду не стоит менять
  \definecolor{section5}{rgb}{.5,.5,.3}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\esup}{\mathop{\rm ess\:sup\;}_{t>0\;\,}}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\res}{\mathop{\rm res}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\Re}{{\rm Re}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\h}{{\mathcal H}}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\nur}{\EuScript{L}_{\nu,r}}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\nutwo}{\EuScript{L}_{\nu,2}}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\eqdef}{\stackrel{\rm def}{=}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\thesection}{\arabic{chapter}.\arabic{section}\hspace{-4mm}}% Эти команды не стоит менять
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{chapter}.\arabic{section}.% Эту команду не стоит менять
\arabic{subsection}\hspace{-4mm}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\theequation}{\arabic{chapter}.\arabic{equation}}% Эту команду не стоит менять
\makeatletter% Эту команду не стоит менять
\newcommand*\l@struct{\@dottedtocline{1}{0em}{2.3em}}% Эту команду не стоит менять
\newcommand{\l@abcd}[2]{\rightskip=\@pnumwidth\leftskip=% Эту команду не стоит менять
\@tempdima\hspace{-2.7em}\noindent #1\hfill% Эту команду не стоит менять
\rlap{\makebox[\@pnumwidth][r]{\bf#2}}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{1.5em}{2.2em}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{3.8em}{3.0em}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{1pt}% Эту команду не стоит менять
{4.0ex plus -0.2ex minus -0.2ex}{2.0ex plus 0.2ex}{\centering\bf}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}% Эту команду не стоит менять
{23pt}{3.5ex plus -0.2ex minus -0.2ex}{1ex plus 0.2ex}{\bf}}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\chapter}{\vspace{8mm}\global\@topnum=0% Эту команду не стоит менять
\@afterindenttrue\secdef\@chapter\@schapter}% Эту команду не стоит менять
\renewcommand{\@makechapterhead}[1]{{\parindent=0pt\raggedright% Эту команду не стоит менять
\bf ЛЕКЦИЯ { }\centering\Large\thechapter\vspace{0.1mm}~\centering% здесь можно заменить
% слово <<ЛЕКЦИЯ>> на любое другое

\large\bf #1\par\nopagebreak\vspace{4mm}}}% Эту команду не стоит менять

\renewcommand{\tableofcontents}{\section*{\contentsname}\@starttoc{toc}}% Эту команду не
% стоит менять

%--------------------------------------------------------------------------------------------

% Следующие команды задают вид и структуру раздела <<Содержание>> (этот раздел
% генерируется автоматически).
\def\@chapter[#1]#2{\ifnum \c@secnumdepth >\m@ne% Эту команду не стоит менять
\if@mainmatter% Эту команду не стоит менять
\refstepcounter{chapter}% Эту команду не стоит менять
\typeout{\@chapapp\space\thechapter.}% Эту команду не стоит менять
\addcontentsline{toc}{chapter}% Эту команду не стоит менять
{{\rm Лекция \,\thechapter}\ \ #1}% Здесь можно заменить слово <<Лекция>> на любое другое
\else% Эту команду не стоит менять
\addcontentsline{toc}{chapter}{#1}% Эту команду не стоит менять
\fi% Эту команду не стоит менять
\else% Эту команду не стоит менять
\addcontentsline{toc}{chapter}{#1}% Эту команду не стоит менять
\fi% Эту команду не стоит менять
\chaptermark{#1}% Эту команду не стоит менять
\addtocontents{lof}{\protect\addvspace{10\p@}}% Эту команду не стоит менять
\addtocontents{lot}{\protect\addvspace{10\p@}}% Эту команду не стоит менять
\if@twocolumn% Эту команду не стоит менять
\@topnewpage[\@makechapterhead{#2}]% Эту команду не стоит менять
\else% Эту команду не стоит менять
\@makechapterhead{#2}% Эту команду не стоит менять
\@afterheading% Эту команду не стоит менять
\fi}% Эту команду не стоит менять

\makeatother% Эту команду не стоит менять

%--------------------------------------------------------------------------------------------

% Следующие команды определяют имена окружений типа <<Теорема>> (см. <<Руководство
% пользователю>>).
% Аргумент команды \newtheorem, записанный в фигурных скобках -- это имя окружения,
% которое будет использоваться при записи команды, создающей соответствующее окружение
% в тексте электронного учебника, а поэтому оно должно состоять из латинских символов;
% команда \color{red} задает цвет надписи имени окружения на русском языке
% (доступные цвета: red (красный), gray (серый), orange (оранжевый), blue (голубой),
% green (зеленый) и т.д).
% Можно создавать свои собственные окружения такого типа. Например, команда
% \newtheorem{mymicl}{\indent \color{red}Моя мысль}[chapter] создаст окружение
% типа <<Теорема>> с именем <<Моя мысль>>.
\newtheorem{theorem}{\indent \color{red}Теорема}[chapter]
\newtheorem{lemma}{\indent \color{red}Лемма}[chapter]
\newtheorem{corollary}{\indent \color{red}Следствие}[chapter]
\newtheorem{note}{\indent \color{red}Замечание}[chapter]
\newtheorem{opr}{\indent \color{red}Определение}[chapter]
\newtheorem{example}{\indent \color{red}Пример}[chapter]
\newtheorem{utv}{\indent \color{red}Утверждение}[chapter]
\newtheorem{gip}{\indent \color{red}Гипотеза}[chapter]
\newtheorem{dok}{\indent \color{blue}Доказательство}[chapter]

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\pagestyle{empty}% Эту команду не стоит менять



% Теперь вся подготовительная работа проведена, стиль и структура электронного
% учебника заданы. Дальше можно начинать наполнение электронного учебника.

% -----------------------------------------------------------------------------------------

\begin{document}\large% Эту команду не стоит менять
% Приступим к созданию титульной страницы. Далее можно менять все, что написано
% на русском языке. Но не забывайте читать комментарии.
\begin{center}% Эту команду не стоит менять. Она <<центрирует>> текст, заключенный между
% командами \begin{center} и \end{center}, по ширине экрана.
  УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ\\
  <<Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина>>\\
  Кафедра алгебры и геометрии
\end{center}
\vspace{2mm}\\
\begin{center}
{\large А.А.Трофимук }\\
\end{center}
\vspace{2mm}% Эта команда увеличивает расстояние между строками (расстояние указано
% в фигурных скобках в миллиметрах).
\begin{center}% Эту команду не стоит менять. Она <<центрирует>> текст, заключенный между
% командами \begin{center} и \end{center}, по ширине экрана.
\textbf{% Эта команда задает полужирный шрифт текста, являющегося аргументом
% команды (т.е. текста, заключенного в фигурные скобки)
     {\LARGE \color{red} АЛГЕБРА}\\[10mm]% Переход на следующую строку
% задан командой \\, а в квадратных скобках указано расстояние
% до следующей строки текста (в миллиметрах).
    {\LARGE Часть 1}\\[5mm]% Переход на следующую строку задан командой \\,
% а в квадратных скобках указано расстояние до следующей строки текста (в миллиметрах).
}
\end{center}% Эта команда завершает <<центрирование>> текста
%\begin{center}

%\end{center}
\begin{center}
{\bf\Large {\normalsize Матрицы и определители}}\\
{\bf\Large {\normalsize Алгебра}}\\
{\bf\Large {\normalsize Поле комплексных чисел}}\\
{\bf\Large {\normalsize Системы линейных уравнений}}\\
{\bf\Large {\normalsize Линейные векторные пространства}}\\
{\bf\Large {\normalsize Евклидовы пространства}}\\
{\bf\Large {\normalsize Алгебра линейных операторов}}
\end{center}
\vspace{10mm}% Эта команда увеличивает расстояние между строками (расстояние указано
% в фигурных скобках в миллиметрах).
\begin{center}% Эту команду не стоит менять. Она центрирует текст, заключенный между
% командами \begin{center} и \end{center}, по ширине экрана.
{\small Брест\\% Переход на следующую строку задан командой \\
БрГУ имени А.С.~Пушкина\\% Переход на следующую строку задан командой \\
  2014}% Здесь указывается год создания электронного учебника
\end{center}% Эта команда завершает <<центрирование>> текста

%--------------------------------------------------------------------------------------------

\newpage% Эта команда задает переход на новую страницу (разрыв страницы).

% На этой странице будет размещена информация об авторах, рецензентах, экспертах и т.д.
% Прежде, чем приступать к работе с этой страницей,
% прочитайте часть 3 <<Руководства пользователю>>.

 \overlay{m1.png}% Эта команда задает новый фон рабочей области. Аргумент этой команды,
% записанный в фигурных скобках, можно  изменить. <<{m1.png}>> -- это имя графического
% файла, который используется в качестве фона основой рабочей области. Здесь можно
% прописать имя любого рисунка в формате png или pdf, который Вы хотите использовать
% в качестве фона для основной рабочей области.
% Файл этого рисунка должен находиться в папке Images/fon.

{\large% Эта команда задает шрифт определенного размера (см. <<Руководство пользователю>>)
\begin{flushleft}% Эту команду не стоит менять. Она выравнивает по левому краю текст,
% заключенный между командами \begin{flushleft} и \end{flushleft}.
 {\bf\color{red} Авторы:}% Здесь можно прописать любой текст (например, заменить слово
% <<Авторы>> на <<Авторы-составители>>

% Ниже команды \bf задают полужирный шрифт текста в группе, заключенной в фигурные скобки

~~~~{\bf Матысик Олег Викторович} -- заведуйщий кафедрой алгебры и геометрии БрГУ им. А.С. Пушкин, зандидат физико-математических наук, доцент.

~~~~{\bf Трофимук Александр Александрович} -- доцент кафедры алгебры и геометрии БрГУ им. А.С. Пушкина, кандидат физико-математических наук.

\vspace{5mm}
{\bf\color{red}Рецензенты:}%Здесь можно прописать любой текст (например, заменить слово
% <<Рецензенты>> на <<Эксперты>>

~~~~{\bf Савчук Вячеслав Фёдорович} -- заведующий кафедрой прикладной математики и технологий программирования БрГУ им. А.С. Пушкина, кандидат физико-математических наук, доцент.

 ~~~~{\bf Кафедра высшей математики Брестского государственного технического университета}
\end{flushleft}% Эта команда завершает выравнивание текста по левому краю.

\vspace{10mm}% Эта команда увеличивает расстояние между строками (расстояние указано
% в фигурных скобках в миллиметрах).

 ЭУМК написан в соответствии с действующей типовой программой по дисциплине <<Алгебра>> и ставит своей целью облегчить самостоятельную работу студентов с теоретическим материалом при подготовке к лекциям, практическим занятиям и к зачёту.
 Предназначено для студентов дневной и заочной формы получения образования отделения 1-02 05 01 <<Математика и Информатика>>, <<Прикладная математика>>, <<Экономическая кибернетика>> физико-математического факультета.

%-------------------------------------------------------------------------------------------------

\newpage% Эта команда задает переход на новую страницу (разрыв страницы).

% На этой странице мы зададим автоматическую генерацию раздела <<Содержание>> электронного
% учебника

\paneloverlay{but3.png}% Аргумент этой команды, записанный в фигурных скобках, можно
% изменить. <<{but3.png}>> -- это имя графического файла, который используется в качестве
% фона интерактивной панели. Здесь можно прописать имя любого рисунка в формате png или pdf,
% который Вы хотите использовать в качестве фона для интерактивной панели. Файл
% этого рисунка должен находиться в папке Images/Panel.

\overlay{overlay2.pdf}% Здесь мы снова меняем фон рабочей области.
% Аргумент этой команды, записанный в фигурных скобках, можно
% изменить. <<{overlay2.pdf}>> - это имя графического файла, который используется в качестве
% фона рабочей области. Здесь можно прописать имя любого рисунка в формате
% png или pdf, который Вы хотите использовать в качестве фона для основной Рабочей области.
% Файл этого рисунка должен находиться в папке Images/fon.

\newpage% Эта команда задает переход на новую страницу (разрыв страницы).


%-----------------------------------------------------------------------------

\section*{Содержание учебного материала} 
\begin{flushleft}
\textbf{Раздел 1 Матрицы и определители}\\
\end{flushleft}
Действия над матрицами и их свойства. Обратимая матрица. Матричные уравнения. Запись и решение СЛУ в матричной форме. Группа подстано- \ вок. Чётность и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы, основные свойства определителей. Миноры и алгебраичные дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Правило Крамера, след-\ ствие.
\begin{flushleft}
\textbf{Раздел 2 Алгебры}
\end{flushleft}
Алгебраические операции. Алгебры. Виды бинарных операций. Нейтраль-\ ный и симметричные элементы. Группы, простейшие свойства группы, примеры. Гомоморфизмы групп (опеределение, виды гомоморфизма, при-\ меры). Свойства гомоморфизма групп. Кольца, простейшие свойства кольца, примеры. Гомоморфизмы колец (опеределение, виды гомо-\\ морфизма, примеры). Свойства гомоморфизма колец. Поля, простейшие свойства поля, примеры.
\begin{flushleft}
\textbf{Раздел 3 Поле $ C $}
\end{flushleft}
Построение поля $ C $. Числовые поля. Поле $ Q $. Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраичексой форме. Решения квадратных уравнений. Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Тригоно-\ метрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометричексой форме. Двучленные уравнения.
\begin{flushleft}
\textbf{Раздел 4 Введение в теорию векторных пространств}
\end{flushleft}
Определение и примеры векторных пространств. Арифметическое про-\ странство. Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зави-\ симость и независимость системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Элементарные преобразования системы векторов. Базис систе-\ мы векторов. Ранг системы векторов.
\begin{flushleft}
\textbf{Раздел 5 Системы линейных уравнений}
\end{flushleft}
СЛУ, её решение, следствие. Равносильные СЛУ и элементарные преобра-\ зования СЛУ. Понятие матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Теорема Гаусса и следствие из неё. Теорема Кроне-\ кера-Капели, следствие. Метод Гаусса решения СЛУ.
\begin{flushleft}
\textbf{Раздел 6 Линейные векторные пространства}
\end{flushleft}
Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств. Координатная строка (столбец) вектора в данном базисе пространства. Связь между координатными столбцами вектора в различ-\ ных базисах пространства. Свзяь между различными базисами простран-\ ства. Матриц перехода к новому базису. Подпространство. Сумма и пере-\ сечение подпространств.

\renewcommand{\contentsname}{СОДЕРЖАНИЕ}% Здесь можно слово <<Содержание>> заменить на любое
% другое (например <<Оглавление>>)

\newpage

\addtocontents{toc}% Эту команду не стоит менять.
\large\tableofcontents\large\label{oglo}% Эту команду не стоит менять.

\newpage% Эта команда задает переход на новую страницу (разрыв страницы).


%-----------------------------------------------------------------------------

\section*{Предисловие}% Эта команда начинает раздел <<Предисловие>>. Можно назвать этот раздел
% и по-другому.
\addcontentsline{toc}{struct}{Предисловие}% Эту команду не стоит менять. Она добавляет
% в раздел <<Содержание>> ссылку на раздел <<Предисловие>>.

 Дальше размещается текст этого раздела электронного учебника. Сам текст (при желании) можно
создать и в любом текстовом редакторе, а затем просто скопировать его и вставить сюда.
Но при этом нужно помнить важные <<мелочи>>, которые подробно описаны в
<<Руководстве пользователю>>, а о некоторых мы поговорим сейчас.

Абзацы отделяются друг от друга пустой строкой. Любое количество пустых строк
эквивалентны одной. Любое количество пробелов и символов табуляции, следующих
друг за другом, а также конец строки, считаются за один пробел.
Разбиение абзаца на строки, выравнивание текста и переносы
в словах делаются автоматически.

%-------------------------------------------------------------------------------------------

\newpage % Эта команда начинает новую страницу

\section*{ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН} % Эта команда начинает новый раздел. Его название (текст
% в фигурных скобках) можно поменять.
\addcontentsline{toc}{struct}{Примерный тематический план}% Эта команда добавляет название
% раздела в раздел <<Содержание>>. Если меняете название раздела в предыдущей команде,
% то точно также меняйте текст в фигурных скобках этой команды.
{\normalsize% Эта команда уменьшает шрифт текста на данной странице до стандартного.
\begin{center}% Эта команда центрирует текст, заключенный между \begin{center} и \end{center}
\begin{longtable}{|c|p{12cm}|c|c|}% Эта команда начинает многостраничную таблицу (см. часть 4
% <<Руководства пользователю>>). Если Вас устраивает структура предлагаемой таблицы, не
%меняйте эту команду
\hline% Эта команда рисует горизонтальную линейку.
~ & ~ & ~ & ~  \\% Здесь вставлена пустая строка.
№ & \multicolumn{1}{|c|}{\bf Название  раздела, темы, занятия;} & ЛК & ПР  \\% Здесь можно менять
~ & \multicolumn{1}{|c|}{\bf перечень изучаемых вопросов}  & ~  &  ~ \\% любой текст на русском языке.
% ЛК -- сокращение для <<Лекции>>, ПР -- сокращение для <<Практические занятия>>.
   ~ & ~ & ~ & ~  \\% Здесь вставлена пустая строка.
\hline% Эта команда рисует горизонтальную линейку.
% Дальше следует продолжение таблицы с содержанием примерного тематического плана.
% Ячейки таблицы отделяются друг от друга знаком &, строки таблицы отделяются друг от друга
% командой \\.
% Первый столбец -- порядковый номер. Второй столбец -- название темы и перечень
% изучаемых вопросов. Третий столбец -- количество часов лекций, отводимое на изучение темы.
% Четвертый столбец -- количество часов практических (лабораторных)  занятий.
 & {\bf\underline{Семестр I (68 ч.)}}  & \textbf{34}  & \textbf{30}  \\
\hline 
\textbf{1}& {\bf Матрицы и определители.}   & \textbf{10}  & \textbf{4}  \\
\hline 
1.1& Действия над матрицами и их свойствами  & 2  &    \\
\hline 
1.2& Обратимая матрица. Матричные уравнения.\ Запись и решение СЛУ в матричной форме  & 2  & 2  \\
\hline
1.3& Группа подстановок. Чётность и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы, основные свойства определителей  & 4  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
1.4& Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Правило Крамера, следствие.  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
\textbf{2}& \textbf{Алгебры}  & \textbf{12}  & \textbf{12}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
2.1& Алгебраические операции. Алгебры. Виды бинарных операций. нейтральный и симметричные элементы.  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
2.2& Группы, простейшие свойства группы, примеры.  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
2.3& Гомоморфизмы групп (определение, виды гомоморфизма, примеры).  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
2.4& Кольца, простейшие свойства кольца, примеры.  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
2.5& Гомоморфизмы колец (определение, виды гомоморфизма, примеры).  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
2.6& Поля, простейшие свойства поля, примеры.  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
\textbf{3}& \textbf{Поле $ C $}.  & \textbf{12}  & \textbf{8}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
3.1& Построение поля $ C $. Числовые поля. Поле $ Q $.  & 2  &    \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
3.2& Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряжённые комплаксные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.  & 2  & 2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
3.3& Решение квадратных уравнений. Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.  & 6  &  4  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
3.4& Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Двучленные уравнения.  & 2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
 & \textbf{Контрольная работа} &    &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
 & {\bf\underline{Семестр II (72 ч.)}} &  \textbf{36}  &  \textbf{32}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
\textbf{4}& \textbf{Введение в теорию векторных пространств}&  \textbf{10}  &  \textbf{8}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
4.1& Определение и примеры векторных пространств. Арифметическое пространство. Простейшие свойства векторных пространств.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
4.2& Линейная зависимость и независимость системы векторов.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
4.3& Эквивалентные системы векторов. Элементарные преобразования системы векторов. Базис системы векторов.&  4  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
4.4& Ранг системы векторов.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
\textbf{5}& \textbf{Системы линейных уравнений}.&  \textbf{6}  &  \textbf{6}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
5.1& СЛУ, её решение, следствие. Равносильные СЛУ и элементарные преобразования СЛУ.&  2  &     \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
5.2& Понятие матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
5.3& Теорема Гаусса и следствия из неё. Теорема Кронекера-Капели, следствие.&  2  &     \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
5.4& Метод Гаусса решения СЛУ.&     &  4  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
\textbf{6}& \textbf{Линейные векторные пространства}.&  \textbf{8}  &  \textbf{6}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
6.1& Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств.&  2   &     \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
6.2& Координатная строка (столбец) вектора в данном базисе пространства. Свзяь между координатными столбцаи вектора в различных базисах пространства.&  1  &  1   \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
6.3& Связь между различными базисами пространства. Матриц перехода к новому базису.&   1 &  1  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
6.4& Подпространство. Сумма и пересечение подпространств. Линейная оболочка.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
6.5& Подпространство решений однородной СЛУ. Фундаментальная система решений.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
\textbf{7}& \textbf{Евклидовы пространства}.&  \textbf{5}  &  \textbf{4}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
7.1& Скалярное умножение. Ортонормированные система векторов и базис системы векторов.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
7.2& Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства. Изоморфизм евклидовых пространств.&  3  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
\textbf{8}& \textbf{Алгебра линейных операторов.}&  \textbf{9}  &  \textbf{8}  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
8.1& Линейные отображения. Образ, ядро и матрица линейного оператора.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
8.2& Связь между матрицами линейного оператора относительно разных базисов. Подобие матриц. Действия над линейными операторами. Линейная алгебра.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
8.3& Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.&  2  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.
8.4& Ортогональные и самосопряженные операторы. Квадратичные формы.&  3  &  2  \\
\hline % Эта команда рисует горизонтальную линейку.

\end{longtable}% Эта команда завершает таблицу
\end{center}}% Эта команда завершает центрирование текста

%---------------------------------------------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------------------------------------
\newpage
\section{Подпространство. Линейная оболочка}

\begin{opr}
\rm Подмножество $U$ линейного пространства $L$ над полем $P$ называется \underline{линейным подпространством} пространства $L$, если оно является линейным пространством над полем $P$ относительно тех же операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр из $P$, что и из $L$ .
\end{opr}
Тривиальное подпространство произвольного пространства $L$ : есть само пространство $L$ и нулевое подпространство ${\overline{O}}$.
 \begin{theorem}
\rm Непустое подмножество $U$ линейного пространства $L$ над полем $P$ является подпространство пространства $L$ тогда и только тогода, когда выполняются следующие условия: \end{theorem} 
\\ 1) $(\forall a,b \in U)$;
\\ 2) $(\forall \alpha \in P)$ $(\forall \alpha \in U)$ $\alpha a \in U$
\begin{dok} 
\\
\textbf{\underline{Необходимость}} \\
\rm Действительно, когда подмножество $U$ линейного пространства $L$ над полем $P$ является её подпространством, то по определению выделены операции сложения векторов и умножения вектора из $U$ на скаляр поля $P$, это значит выполняются условия 1) и 2) теоремы.
\end{dok}
\textbf{\underline{\textit{Достаточность}}} \\
Пусть непустое подмножество $U$ линейного пространства $L$ над полем $P$ удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы. Тогда выделены бинарные операции сложения на $U$ и операция умножения вектора из $U$ на скаляр поля $P$. Сложения на $U$ ассоциативное и коммутативное, потому что $U \in L$. По условию 2) $(\forall \alpha \in U) $ $ (0 * \alpha)= \delta \in U $ , $ (-1)\alpha = -\alpha \in U$
\\ Значит,$ <U, +> $ - абелевая группа.
\\ Очевидно, что выполняются условия 2) - 5) определения векторного пространства. Таким образом, $U$ - подпространство векторного прост-\ ранства $L$. 

Теорема доказана.
\\ Проверьте, что совокупность условий 1) и 2) теоремы I равнозначные следующему условию: $(\forall \alpha, \beta \in P)$ $(\forall \alpha, \beta \in U)$ ${ \alpha a+\beta b }\in U$

\underline{\textbf{\textit{Пример: 1.}}}  В трёхмерном пространстве $V_3$ геометрических векторов подпространствами будут все пространства векторов плоскостей и пря-\ мых, какие проходят через начало координат.

\underline{\textbf{\textit{Пример: 2.}}} Подмножество $M= \{ \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}, a,b \in R  \} $ прстранства $L$ действительныъ матриц 2-го порядка над полем $R$ является её подпрост-\ ранством.

\underline{\textbf{\textit{Пример: 3.}}} Множество $R\left[x\right]$ всех многочленов от переменной $x$ с действительными коэффициентами есть подпространство пространства непрерывных функций действительной переменной на промежутке $[a,b]$ над полем $R$.

\underline{\textbf{\textit{Пример: 4.}}}
Выясните, является ли подпространством соответствую-\ щей векторного пространства каждое из следующих множеств векторов:
\begin{enumerate} 
\item  множество векторов пространства $R^n$ , координаты которых целые числа;
\item  множество векторов плоскости, концы которые лежат на данной прямой;
\item  множество векторов плоскости, концы которой лежат во II-четверти;
\item  множество векторов пространства действительных матриц $n$-го по-\ рядка над полем $R$, какое слаживается из невырожденных матриц.
\end{enumerate}
Поскольку каждая подпространство любого векторного пространства сама по себе является векторным пространством, то все те понятия, какие введены для пространства(базис, размерность и т.д.), распростра-\ няются и на подпространстве.
\begin{theorem}
\rm Пусть $U$ - подпространство линейного пространства $L_n$ над полем $P$. Тогда $dim U \leq n$. Когда $dim U = n$, то $U=L_n$.
\end{theorem}
\begin{dok}
\rm Очевидно, что когда $U$ - нулевое пространство, то $dim U \leq n$. Пусть подпространство $U$ - ненулевое.Тогда $L_n$- ненулевое пространство. Поскольку линейно независимые вектора подпространства $U$ являются линейно независимыми и в пространстве $L_n$, то и в этом случае $dim U \leq n$.
В частности, когда базис подпространства $U$ содержит $n$ векторов, это значит $dim U = n$, то он является и базисом пространства $L_n$. Тогда всякий вектор пространства $L_n$ линейно выражается через базис $U$, а значит, принадлежит $U$. Поэтому $L_n \subset U$. Но с другой стороны, $U \subset L_n$. Таким образом, $U=L_n$.
\\ Теорема доказана.
\end{dok}
Существует простой способ получения подпространства векторного пространства $L$ над полем $P$. Возьмём произвольную систему векторов $a_1,...,a_m(a)$ пространства $L$. Докажем, что множество $L(a_1,...,a_m)=  \\= \{ \sum\nolimits_{i=1}^m \alpha_i\cdot a_i, \alpha_i \in P \}$ \underline{всех линейных комбинаций векторов $(a)$} \underline{с коэф-}\ \underline{фициентами из поля $P$ является подпространством пространства $L$.} 
\\Действительно, когда $a,b \in L(a_1,...,a_m)$, это значит $a=\alpha_1 a_1 + ... + \alpha_m a_m$, $b=\beta_1 a_1 + ... + \beta_m a_m$, $\alpha_i , \beta_i \in P (i=\overline{1,m})$,то $a+b=(\alpha_1+\beta+1)a_1+...+ \\+(\alpha_m+\beta_m)a_m$ и, значит $a,b \in L(a_1,...,a_m)$. \\В множестве $L(a_1,...,a_m)$ смещается также вектор $\lambdaa=(\lambda\alpha_1)a_1+...+\\+(\lambda\alpha_m)a_m $ при любом $\lambda\inP$.
\\ Подпространство $L(a_1,...,a_m)$ называют \underline{линейной оболочкой векторов} \\ \underline{$(a)$ (подпространством, натянутой на вектор $(a)$ или подпространством,} \underline{пораждённой векторами $(a)$}).Вектора системы $(a)$ смещаются в подпрост-\ ранстве $L(a_1,...,a_m)$.
\begin{theorem}
\rm Базисом линейной оболочки $L(a_1,...,a_m)$ является базис системы векторов $a_1,...,a_m (a)$, а $dimL(a_1,...,a_m)=rang(a)$.
\end{theorem}
\begin{dok}
\rm Действительно, пусть $a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_r} (a^{'})$ - базис системы $(a)$. Любой вектор $b\inL(a_1,...,a_m)$ имеет вид $b=\alpha_1 a_1 + ... + \alpha_m a_m$, а поскольку каждый вектор $a_i$ является линейная комбинация векторов базиса $(a^{'})$, то в$b$ есть линейная комбинация векторов $(a^{'})$. Тогда $(a^{'})$- базис $L(a_1,...,a_m)$ и $dimL(a_1,...,a_m)=r=rang(a)$.\\Теорема доказана.
\end{dok}
Заметим, что \underline{всякое подпространство $U$ векторного пространства $L$} \underline{является линейной оболочкой:} нулевое пропространство $U$ является ли-\ нейной оболочкой нулевого вектора, а ненеулевое подпространство $U$ является  линейной оболочкой любого своего базиса, потому что всякий вектор из $U$ есть линейная комбинация базисных векторов и $U$ смещает все такие линейные комбинации.

Таким образом, описанным способом в пространстве $L_n$ может быть получено подпространство любой размерности $k, 0<k<n$. Таким подпространством является линейная оболочкаа любыъ $k$ линейно неза-\ висимых векторов пространства $L_n$.
%----------------------------------------------------------------------------------------
\newpage
\section{Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма}

Пусть $U_1,U_2,...,U_k$ - подпространство линейного пространства $L$ над полем $P$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)
\begin{opr}
\rm \underline{Пересечением подпространства }(1) называется \\множество всех векторов, которые принадлежат каждому из этих под-\ пространств.

\underline{Суммой подпространств} (1) называется множество всех векторов \\пространства $L$, каждый из которых есть сумма
\begin{center}
$u_1+u_2+...+u_k$ , $u_i\in U_i$ , $i=\overline{1,k}$.
\end{center}

Обозначим пересечение подпространств (1)

$U_1 \cap U_2 \cap ... \cap U_k$ или $\cap \nolimits_{i=1}^{k} U_i$, а их сумму $U_1+U_2+...+U_k$ или $\sum\nolimits_{i=1}^k U_i$.
\end{opr}

Рассмотрим особенности суммы и пересечения подпространств.
\begin{theorem}
\rm Сумма и пересечение подпространств линейного прост-\ ранства $L$ над полем $P$ является не подпространствами.
\end{theorem}
\begin{dok}
\rm Пусть (1) - подпространство пространства $L$, $U$ - их сумма. Заметим, что $U \subset L, U \neq \emptyset$, поскольку $\overline{0} \in U$. Пусть $a,b \in U, \alpha,\beta \in P$. Вычислим $\alpha a +\beta b$. Вектора $a$ и $b$ можно записать в виде:

$a=\sum\nolimits_{i=1}^k a_i$, $b=\sum\nolimits_{i=1}^k b_i$, $a_i , b_i \in U_i$.

Поэтому $\alpha a +\beta b = \alpha \sum\nolimits_{i=1}^k a_i + \beta \sum\nolimits_{i=1}^k b_i = \sum\nolimits_{i=1}^k ( \alpha a_i +\beta b_i)$

Поскольку $U_i$- подпространство, то $ \alpha a_i +\beta b_i\inU_i$, а значит $\alpha a +\beta b \in U$, это значит $U$- подпространство линейного пространства $L$.
\end{dok}

Пусть $V=\cap \nolimits_{i=1}^{k} U_i$. $V \subset L$, $V \neq \emptyset$, потому что $\overline{0}\in V$. Пусть $a,b \in \\ \in V$ и $\alpha,\beta \in P$; $a,b\in U_i$, $i=\overline{1,k}$. Но $U_i$ - подпространство, потому что $\alpha a +\beta b \in U_i$. Значит, $\alpha a +\beta b \in U$. Таким образом, $U$ является подпространством пространста $L$.

\begin{utv}
\rm Сложение подпространств коммутативно и ассо-\ циативно, это значит для любых подпространств: $U_1,U_2,U_3$ векторного пространства $L$ над полем $P$ выполняется равенство:
$U_1 + U_2 = U_2 + U_1$, $(U_1 + U_2) + U_3 = U_1 + (U_2 + U_3)$.
Докажите самостоятельно.
\end{utv}
\begin{utv}
\rm $U_j \subset \sum\nolimits_{i=1}^k U_i$, $j= \overline{1,k}$ 
Действительно $\forall a_j \in U_j $ можно записать в виде суммы $a_j = \sum\nolimits_{i=1}^k a_i$, где $a_i=\overline{0}$ при $i \neq j$.
\end{utv}
\begin{utv}
\rm Если $U_1 \subset U_2 $, то $U_1 + U_2 = U_2$.
Докажите самостоятельно.
\end{utv}
\begin{theorem}
\rm Пусть $U_1$ и $U_2$ - подпространства линейного пространства $L$ над полем $P$. Тогда 
$dim(U_1 + U_2)=dimU_1 + dimU_2 - dim(U_1 \cap U_2).$
\end{theorem}
\begin{dok}
\rm Если какое-нибудь из подпространств $U_1, U_2$ нулевое, то теорема очевидна. Пусть $U_1, U_2$- ненулевые подпространства, $U=U_1 + U_2$, $V=U_1 \cap U_2$. Возьмём в подпространстве $V$ какой-нибудь базис:
$a_1,a_2,...,a_k$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)

(Если $V=\{ \overline{0} \}$, то система (2) - пустое множество)

Дополним систему (2) до базиса: $a_1,a_2,...,a_k, b_{k+1},...,b_l$ ~~~~~~~~(3) 
подпространства $U_1$ и до базиса: $a_1,a_2,...,a_k, с_{k+1},...,с_m$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)
подпространство $U_2$ (в случае $V=\{ \overline{0} \}$ системы (3) и (4) - произвольные базисы подпространств $U_1$ и $U_2$ соответственно. По теореме 4 параграфа 1 такие дополнения всегда можно сделать, поскольку системы векторов (2) линейно независимая и смещается как в $U_1$, так и в $U_2$.

Рассмотрим систему векторов:
$a_1,...,a_k, b_{k+1},...,b_l, c_{k+1},...,c_m $. ~~~~~~(5)

Докажем, что эта система является базисом подпространства $U$.

Пусть $u$- любой вектор подпространства $U$. Тогда $u=u_1 + u_2$, $u_i \in U_i$, $i=1,2$. Вектор $u_1$ линейно выражается через систему (3), а вектор $u_2$ - через систему (4). Поэтому вектор $u$ линейно выражается через систему (5).

Покажем теперь, что система (5) линейно независимая. Для этого рассмотрим равенства:
$\alpha_1 a_1 +...+\alpha_k a_k +\beta_{k+1} b_{k+1} + ... + \beta_l b_l+\\ +\gamma_{k+1} c_{k+1} + ... + \gamma_m c_m = \overline{0}$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)

Перепишем равенство (6) в виде:\\
$\alpha_1 a_1 +...+\alpha_k a_k +\beta_{k+1} b_{k+1} + ... \beta_l b_l=-\gamma_{k+1} c_{k+1} - ... - \gamma_m c_m}$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(7)

Вектор \\$a=\alpha_1 a_1 +...+\alpha_k a_k +\beta_{k+1} b_{k+1} + ... +\beta_l b_l=-\gamma_{k+1} c_{k+1} - ... - \gamma_m c_m}$~~~~~~~~~(8)
очевидно, принадлежит каждому из подпространств $U_1$ и $U_2$, а значит, и их пересечениям $V$. Поэтому вектор $a$ линейно выражается через базис (2) подпространства $V$, это значит:\\
$a=\lambda_1 a_1 + ... + \lambda_k a_k$, $\lambda_i \in P $, $i=\overline{1,k}$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(9)\\
Из равенств (8) и (9) следует, что:\\
\begin{center} $\lambda_1 a_1 + ... + \lambda_k a_k = -\gamma_{k+1} c_{k+1} - ... -\gamma_m c_m$\end{center} \\
Поскольку система векторов (4) линейно независимая, то в последнем равенстве $\gamma_{k+1} = ... = \gamma_m = 0$. Подставивши в равенство (7) эти значения $\gamma_{k+1}, ..., \gamma_m$ получим: \\ \begin{center} $\alpha_1 a_1 +...+\alpha_k a_k +\beta_{k+1} b_{k+1} + ... + \beta_l b_l= \overline{0}$.\end{center} \\Отсюда, поскольку система (3) линейно назависимая, следует, что:\\
\begin{center}$\alpha_1 = ... = \alpha_k = \beta_{k+1} = ... = \beta_l = 0$\end{center}

Таким образом доказано, что равенство (6) выполняется только при нулевых коэффициентах. Значит, система (5) является базисом подпрост-\ ранства $U$. Поэтому $dimU$ равна числу векторов базиса (5): \begin{center}$dimU=k+(l-k)+(m-k)=l+m-k=dimU_1 + dimU_2 - dim(U_1 \cap U_2).$\end{center} \\ Теорема доказана.
\end{dok}

Пусть $U_1, U_2, ..., U_k$-ненулевые подпространства линейного пространст-\ ва $L$ над полем $P$.

\begin{opr}
\rm Сумма $U_1 + ... + U_k$ называется \underline{прямой} и обозначает-\ ся $U_1 \oplus ... \oplus U_k$, когда каждый её вектор $u$ можно однозначно записать в виде суммы:
$u_1 + u_2 + ... + u_k$, $u_i \in U_i$, $i=\overline{1,k}$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(10)
\end{opr}
\begin{theorem}
\rm Сумма $U=U_1 + ... +U_k$ является прямой тогда и только тогда, когда каждое подпространство $U_i (i=\overline{1,k})$ пересекается с суммой остальных подпространств только на нулевом подпространстве.
\end{theorem}
\begin{dok}
\textit{\textbf{\underline{Необходимость}}}

\rm Пусть $U=U_1 + ... +U_k$. Докажем, что $U_i \cap \sum\limits_{i=1 & j \neq i}^k U_j = \{ \overline{0} \}$, $i=\overline{1,k}$, методом от противного. 

Допустим, что в некоторых подпространствах $U_l$ существует ненулевой вектор $u_l$, который принадлежит и сумме:
\begin{center}$U_1 + U_2 + ... + U_{l-1} + U_{l+1} + ... + U_k.$ \end{center}
Тогда $u_l = u_1 + u_2 + ... + u_{l-1} + u_{l+1} + ... + u_k$, а значит, \\
$\overline{0}=u_1 + u_2 + ... + u_{l-1} + (-u_l) + u_{l+1} + ... + u_k$, где $u_i \in U_i$, $i=\overline{1,k}$, $u_l \neq \overline{0}$. Но $\overline{0}= \overline{0} + ... + \overline{0}$. Таким образом, нулевой вектор имеет два различных представления в виде суммы (10) что противоречит условию.
\textit{\textbf{\underline{Достаточность}}}
Пусть $U_i \cap \sum\limits_{i=1 & j \neq i}^k U_j = \{ \overline{0} \}$, $i=\overline{1,k}$. Докажем, что $U=U_1 \oplus ... \oplus U_k$, это значит для каждого вектора $u \in U$ существует единственное представление в виде суммы (10). Пусть некоторый вектор $u \in U$ имеет два представления:\\
$v=u_1 + u_2 + ... + u_k$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(11)
$v=v_1 + v_2 + ... + v_k$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(12)\\Из равенств (11) и (12) получаем:\\
$\delta=(u_1 - v_1) + ... +(u_k - v_k).$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(13)\\Обозначив равенство $u_i - v_i, i=\overline{1,k}$, символом $y_i$, равенство (13) запишем в виде: \begin{center}$ \overline{0}=y_1 + y_2 + ... + y_{i-1} + y_i + y_{i+1} + ... + y_k$, $y_i \in U_i$, $i=\overline{1,k}$.\end{center} Отсюда, $y_i=-y_1 -y_2 - ... - y_{i-1} - y_{i+1} - ... - y_k$. \\ Поскольку пересечение подпространства $U_i$ с суммой всех других под-\ пространств слаживается только из нулевого вектора, то $y_i = \overline{0}$ и поэтому $u_i = v_i$. Значит, представление (11) и (12) не отличаются один от другого. Этим доказано, что $U=U_1 \oplus ... \oplus U_k$.
\end{dok}
\begin{theorem}
\rm $dim(U_1 \oplus ... \oplus U_k)=dimU_1 + ... dimU_k.$\\ Докажите самостоятельно методом математической индукции.
\end{theorem}
%----------------------------------------------------------------------------------------
\newpage
\section{Пространство решений системы однародных линейных уравнений. Фундаментальная система решений}

Пусть дана произвольная система однородных линейных уравнений над полем $P$:\\
\begin{cases}
a_{11} x_1 + ... + a_{1n} x_n = 0 \\
a_{21} x_1 + ... + a_{2n} x_n = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\\
...~~...~~...~~...~~...~~...~~... \\
a_{m1} x_1 + ... + a_{mn} x_n = 0 \\ 
\end{cases}
\begin{theorem}
\rm Множество $M$ всех решений системы однородных линей-\ ных уравнений над полем $P$ с $n$ переменными является подпространством арифметического векторного пространства $P^n$, причём:\\
$dimM=n-r$, где $r$-ранг матрицы системы.
\end{theorem}
\begin{dok}
\rm Запишем систему (1) в векторной форме:
\begin{center}$x_1 a^1+x_2 a^2 + ... + x_n a^n = \overline{0}$,\end{center} где $a^i (i=\overline{1,n})$ - вектор-столбцы матрицы $A$ системы (1). 

Покажем, что $M$ - подпространство пространства $P^n$. Заметим, что $M \subset P^n$ причём $M \neq \varnothing$, потому что $\overline{0} \in M$. Пусть \\ \begin{center}$b=(\beta_1, ... , \beta_n)$и $c=(\gamma_1,...,\gamma_n)$ - любые вектора из $M$.\end{center} 

Тогда: \begin{center} $\beta_1 a^1 + ... +\beta_n a^n = \overline{0}$ и $ \gamma_1 a^1 +...+\gamma_n a^n = \overline{0}$. \end{center}

Отсюда \begin{center}$\beta_1 + \gamma_1, ... , \beta_n + \gamma_n)a^n = \overline{0}$, \end{center} и значит, вектор $b+c=(\beta_1 + \gamma_1, ... , \beta_n + \gamma_n)$ - решение системы (1).\\ Потому что $b+c \in M$.
Для $\forall \lambda \in P$ вектор $\lambda b = (\lambda\beta_1 ,..., \lambda\beta_n)$. Но $(\lambda\beta_1))a^1+...+(\lambda\beta_n)a^n=\overline{0}$. Значит, вектор $\lambda b$ есть решение системы (1). 

Потому что $\lambda b \in M$.

Таким образом, доказано: сумма любых двух решений системы (1) и произведение любого решения системы (1) на всякий скаляр из поля $P$ является также решением этой системы: $M$-подпространство пространст-\ ва $P^n$.

Пусть $rangA=r$. Когда $r=0$, это значит матрица $A$ системы (1) нулевая, то любой вектор из $P^n$ является решением системы (1): в этом случае $M=P^n$. Когда $r=n$, то система (1) имеет только нулевое решение, $M= \{ \overline{0} \} $. Таким образом, в рассмотренных случаях \begin{center}$dimM=n-r$.\end{center}
Пусть $0<r<n$. Будем считать, что первые $r$ столбцов $a^1 , a^2, ... , a^n$ образуют базис системы вектор-столбцов матрицы $A$. Тогда:\\
\\$a^{r+1} = \alpha_{r+1,1} a^1 + \alpha_{r+1,2} a^2 + ... + \alpha_{r+1,r} a^r$ \\
$a^{r+2} = \alpha_{r+2,1} a^1 + \alpha_{r+2,2} a^2 + ... + \alpha_{r+1,r} a^r$ \\
...~~...~~...~~...~~...\\
$a^{n} = \alpha_{n,1} a^1 + \alpha_{n,2} a^2 + ... + \alpha_{n,r} a^r$ ,~~~~~~~~~~~~или\\
$ (- \alpha_{r+1,1}) a^1 + ... + (- \alpha_{r+1,r})a^r + 1*a^{r+1} + 0*a^{r+2} + ... + 0*a^n = \overline{0} $ \\
$ (- \alpha_{r+2,1}) a^1 + ... + (- \alpha_{r+2,r})a^r + 0*a^{r+1} + 1*a^{r+2} + ... + 0*a^n = \overline{0} $ \\
...~~...~~...~~...~~...\\
$ (- \alpha_{n1}) a^1 + ... + (- \alpha_{nr})a^r + 0*a^{r+1} + 0*a^{r+2} + ... + 1*a^n = \overline{0} $

Значит, вектора:\\
$C_{r+1} = (- \alpha_{r+1,1}, ..., - \alpha_{r+1,r}, 1,0,...,0)$,\\
$C_{r+2} = (- \alpha_{r+2,1}, ..., - \alpha_{r+2,r}, 0,1,...,0)$, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\\
...~~...~~...~~...~~...\\
$C_{n} = (- \alpha_{n1}, ..., - \alpha_{nr}, 0,0,0,...,1)$.\\

Являются решениями системы (1). Система векторов (2) линейно независимая. Действительно, для скаляров: $\lambda_{r+1}, \lambda_{r+2}, ..., \lambda_n \in P$, из равенства $\lambda_{r+1} C_{r+1} + ... + \lambda_n C^n= \overline{0}$ получается равенство: \begin{center}
$(...,\lambda_{r+1},\lambda_{r+2},...,\lambda_{n})=(0,0,...,0)$ 
\end{center} и , значит, равенство: ~$\lambda_{r+1}=\lambda_{r+2}=...=\lambda_n.$

Пусть $b=(\beta_1,...,\beta_r, \beta_{r+1},...,\beta_n)$ -- любой вектор из $M$. Составим вектор $d=\sum\limits_{i=r+1}^n \beta_i C_i = (\alpha_1,...,\alpha_r, \beta_{r+1},...,\beta_n)$. Поскольку $M$ -- подпрост-\ ранство и $C_i \in M$, то $d \in M$. Тогда вектор: \begin{center} $b-d=(\beta_1 - \alpha_1,...,\beta_r - \alpha_r, 0,...,0) \in M$,\end{center} а значит, $ (\beta_1 - \alpha_1)*a^1 + ... + (\beta_r - \alpha_r)*a^r + 0*a^{r+1} + ... + 0*a^n = \overline{0}$ или $ (\beta_1 - \alpha_1)*a^1 + ... + (\beta_r - \alpha_r)*a^r = \overline{0}$. Система векторов $a^1 , a^2, ... , a^n$ линейно независимая. Потому, что $\beta_1 - \alpha_1 = ... = \beta_r - \alpha_r = 0$. Отсюда $\beta_1 = \alpha_1, ..., \beta_r = \alpha_r$, это значит $b=d=sum\limits_{i=r+1}^n \beta_i C_i$. Таким образом, система (2) -- базис $M$ и $dimM=n-r$.

Теорема доказана
\end{dok}
\begin{opr}
\rm Подпространство $M$ называется \underline{пространством} \underline{решений системы} (1), а базис этого пространства называется \underline{фундамен-}\ \underline{тальной системой решений системы} (1).
\end{opr}

Отметим, что когда $rang A=n$, то фундаментальной системы решений не существует.

\textbf{\textit{\underline{Вывод.}}} Когда $C_1,C_2,...,C_{n-r}$ - фундаментальная система решений системы (1), то вектор $\lambda_1 C_1 + ... + \lambda_{n-r} C_{n-r} $, $\lambda \in P$, $ i=\overline{1,n-r}$, является общим решением системы (1).
\begin{theorem}
\rm Каждое подпространство $L$ пространства $P^n$ есть мно-\ жество решений некоторой системы однородных линейных уравнений над полем $P$ с $n$ переменными.
\end{theorem}
\begin{dok}
\rm Очевидно, что нулевое подпространство совпа-\ дает с множеством решений однородной линейной системы над полем $P$, ранг матрицы которой равен $n$. Пространство $P^n$ - множество решений системы однородных линейных уравнений с $n$ переменными, все коэффи-\ циенты которой -- нули. Пусть теперь $L$ - подпространство в $P^n$, $dimL=m$, $0<m<n$. Возьмём в $L$ какой-нибудь базис:\\
$a_i=(\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{in}),~~~~~ i=\overline{1,m}.$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)

Составим систему линейных однородных уравнений:\\
$\alpha_{i1} x_1 + ... + \alpha_{in} x_n = 0, ~~~~~i=\overline{1,m}$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)
коэффициентами $i$ -го уравнения которой являются координаты вектора $a_i$. Заметим, что ранг матрицы системы (4) равен $m$. Значит, её фундамен-\ тальная система складывается из $r=n-m$ решений.
\begin{center} $b_j=(\beta_{j1},\beta_{j2},...,\beta_{jn}),~~~~~ j=\overline{1,r}.$\end{center}

Докажем, что \underline{система однородных линейных уравнений}:\\$\beta_{j1} x_1 + ... + \beta_{jn} x_n = 0, ~~~~~j=\overline{1,r}$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)\\ как раз и задаёт подпространство $L$, это значит множество $M$ решений системы (5) совпадает с $L$. Покажем, что система (3) является базисом $M$. Действительно, вектора $a_i (i=\overline{1,m}) $-- решения системы (5), потому $ \beta_{j1} * \alpha_{i1} +...+ \beta_{jn} * \alpha_{in} = \alpha_{i1} * \beta_{j1}+  ... + \alpha_{in} * \beta_{jn} = 0, ~~ j=\overline{1,r}$, на представлении того, что $b_i$ -- решение системы (4). Значит $a_i \in M, ~~~i=\overline{1,m}$.

Поскольку векторы $a_1,...,a_m$ линейно независимы и их число равно $dimM=n-r$ ($r$ - ранг матрицы системы (5)), то они образуют базис подпространства $M$ решений системы (5). Одновременно эти векторы составляют базис  подпространства $L$. Поэтому $L=M$, что и требовалось доказать.
\end{dok}

\underline{\textbf{\textit{Замечание:}}} Пользуясь изоморфизмом векторного пространства $L_n$ над полем $P$ на арифметическое пространство $P^n$, можно объединить теоремы 1 и 2.

Пусть $a_1,...,a_n ~~ (a)$ -- фиксированный базис пространства $L_n$ над полем $P$. Тогда:
\begin{enumerate}
\item Множество $M$ всех векторов из $L_n$, координатные строки которых относительно базиса $(a)$ удовлетворяют данной системе однородных линейных уравнений над полем $P$ c $n$ переменными, являются под-\ пространством пространства $L_n$, причём $dim M= n-r$, где $r$ -- ранг матрицы этой системы;
\item любое подпространство $M$ пространства $L_n$ совпадает с множеством всех векторов, координатные строки которых относительно базиса $(a)$ удовлетворяют некоторой системе однородных линейных уравне-\ ний над полем $P$ c $n$ переменными
\end{enumerate}

Таким образом, всякое подпространство пространства $L_n$ может быть заданно некоторой однородной линейной системой.
%----------------------------------------------------------------------------------------
\newpage
\section{Понятие линейного многообразия, примеры; многообразие решения системы неоднородных линейных уравнений}
\begin{opr}
\rm Пусть $U$ -- подпространство векторного прост-\ ранства $L$ над полем $P$, $a$ -- фиксированный вектор из $L$. Множество всех векторов $a+u$, где $u$ -- любой вектор подпространства $U$, называется \underline{линейным} (векторным) \underline{многообразием} (или гиперплоскостью) прост-\ ранства $L$, полученной здвигом пространства $U$ на вектор $a$ и обозначает-\ ся $a+U$.

Таким образом, $a+U=\{ a+u, u \in U \}$.

Заметим, что само подпространство $U$ также является линейным мно-\ гообразием пространства $L$ (она получена здвигом $U$ на нулевой вектор).

Рассмотрим некоторые особенности линейного многообразия.
\end{opr}
\begin{enumerate}
\item Линейное многообразие $a+U$ векторного пространства $L$ является  подпространством пространства $L$ тогда и только тогда, когда $a \in U$.
\begin{dok} \rm
\underline{\textit{\textbf{Необходимость}}}

Пусть $a+U$ -- подпространство. Тогда $ \overline{0} \in a+U$. Значит, $\overline{0}=a+u$, где $u \in U$. Отсюда $a= -u + U$.\\
\underline{\textit{\textbf{Достаточность}}}\\
Пусть $a \in U$. Докажем, что  $a+U=U$. Действительно, поскольку $U$ -- подпространство, то всякий вектор $a+u$, а $a+U$ принадлежит $U$. Значит, $a+U \subset U$. И наоборот, пусть $u$ -- любой вектор из $U$; $u=a+(u-a), ~~u-a \in U$. Поэтому $u \in a+U$ и $ U \subset a+U$. Равенство $a+U=U$ доказано. Таким образом, $a+U$ -- подпространство $U$.\end{dok}
\item Два вектора векторного пространства $L$ принадлежат одному и тому же линейному многообразию, образованной здвигом подпрост-\ ранства $U$, тогда и только тогда, когда их разность принадлежит $U$.

Докажите самостоятельно.
\item Любых два различных линейных многообразия $a_1 +U$ и $a_2 +U$ векторного пространства $L$ не пересекаются.
\begin{dok}
\rm Допустим, что $a_1 + U \cap a_2 + U \neq \varnothing$ и $b$ -- вектор пересечения. Тогда $a_1 - b \in U$ и $a_2 - b \in U$. Заметим, что $a_1 + U = b + ((a_1 - b) + U )$ и $a_2 + U = b + ((a_2 - b) + U )$. Поскольку: $(a_1 - b) + U = U = (a_2 - b)+ U$, то  $a_1 + U= a_2 + U$, что противоречит условию. Утверждение доказано.\end{dok}
\item Объединение всех линейных многообразий пространств $L$, получен-\ ных здвигом подпространства $U$, равно множеству $L$, это значит \begin{center}$\cup\nolimits_{a \in L} a+U=L$ \end{center}

Докажите самостоятельно.
\item Когда вектор $b \in a+U$, то $b+U=a+U$.

Докажите самостоятельно.
\item Два линейных многообразия $a+U$ и $b+V$ векторного пространства $L$ совпадают тогда и только тогда, когда $U=V$ и $a-b \in U$.
\begin{dok}
\rm \textbf{\textit{\underline{Необходимость}}}\\ Пусть $a+U=b+V=M$. Тогда $(\forall c \in M)$ $c=a+u=b+v$, где $u \in U, ~~v \in V$. Отсюда $v=(a-b)+u$, это значит $V=(a-b)+U$. Пусть $a-b = d \in L$. Поскольку $V$ -- подпространство, то $\delta \in V$. Значит, $\overline{0}=d+u_1$, где $u_1 \in U$. Отсюда $d= - u_1$, и поэтому $d \in U$. Таким образом, любой вектор $v$ подпространства $V$ есть сумма $d+u$ двух векторов из $U$, это значит вектор из $U$. Этим доказано, что $V \subset U$. Аналогично из равенства $u=(b-a)+v$ получаем, что $U \subset V$. Значит, $U=V$.

\textbf{\textit{\underline{Достаточность}}}

 Докажите самостоятельно.
\end{dok}
\end{enumerate}

Поскольку по особенности 6 любое линейное многообразие образовы-\ вается здвигом только одного подпространства, то корректным будет следуйщее.
\begin{opr}
\rm \underline{Размерностью линейного многообразия $a+U$} на-\ зывается размерность подпространства $U$.
\end{opr}

\textbf{\textit{\underline{Пример: 1}}} Пусть $U$ -- одномерное подпространство пространства $V_2$ геометрических векторов плоскости, $a$ -- фиксированный вектор из $V_2$. $U=\{ kb | b \in V_2,~~ b \neq \overline{0},~ k \in R \}$: векторы из $U$ принадлежат прямой $l$, которая проходит через начало координат. Известно, что когда $a \in U$, то $a+U = U$. Пусть $a \ni \in U$. Тогда одномерное многообразие:\\$a+U=\{a+kb \}$ состоит из векторов, концы которых заполняют некоторую прямую $l^'$, которая не проходит через начало координат и параллельную прямой $l$. (рис.1).
\begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width=5cm]{1s.png} 
 \caption{} 
 \label{fig.0} 
 \end{figure}
 
 Поэтому одномерные линейные многообразия векторного пространства $L$ называют \underline{прямыми.}
 
 \textbf{\textit{\underline{Пример: 2}}} Убедитесь, что двумерное многообразие пространства $V_3$ геометрических векторов слаживается из векторов, концы которых запол-\ няют некоторую плоскость.
 
 Поэтому двумерные линейные многообразия векторного пространства $L$ называют \underline{плоскостями}.
 
  \textbf{\textit{\underline{Пример: 3}}} Пусть дана произвольная система неоднородных линей-\ ных уравнений над полем $P$ с $n$ переменными:\\
 $a_{i1} x_1 + a_{i1} x_2 + ... + a_{in} x_n = b_i (i=\overline{1,m})$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\\
Заменивши в этой системе все свободные члены нулевыми, получим соответственную её систему однородных линейных уравнений:\\
$a_{i1} x_1 + a_{i1} x_2 + ... + a_{in} x_n = 0~~~(i=\overline{1,m})$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)
\begin{theorem}
\rm Множество $H$ всех решений системы неоднородных линейных уравнений над полем $P$ с $n$ переменными является линейным многообразием пространства $P^n$, полученной здвигом подпространства $M$ решений соответственной ей системы однородных линейных уравнений на вектор $a \in H$, это значит: $H=a+M$.
\end{theorem}
\begin{dok}
\rm Запишем системы (1) и (2) в матрично-векторной форме:
\begin{center}$Ax=b, Ax= \overline{0}$\end{center}
где $A$-- матрица системы (1), $x=\begin{bmatrix}x_1\\...\\x_n \end{bmatrix}$, ~~$b=\begin{bmatrix}b_1\\...\\b_m \end{bmatrix}$.

Пусть $a$ - фиксированное решение системы (1) (называют частичным решением), $c$-- любое её решение, это значит $a,c \in H $. Тогда $Ac=b$ и $Aa=b$, отсюда $A(c-a)=\overline{0}$,  и значит, вектор $(c-a)=d$ является решением системы (2). Потому $d \in M$. Таким образом, $c=a+d \in a+ M$ и $ H \subset a+M$. Наоборот, пусть $a+d$ - любой вектор из $a+m$. Тогда:\\ $A(a+d)=Aa+Ad=b+ \overline{0}=b$, это значит вектор $a+d$ является решением системы (1). \\Поэтому $a+d \in H$ и $a+M \subset H$. Таким образом, доказано: \underline{сумма} \underline{частичного решения системы (1) и любого решения системы (2) являет-}\ \underline{ся решением системы (1). И наоборот, всякое решение системы (1) есть}\\ \underline{сумма частичного решения системы (1) и некоторого решения} системы (2): $H=a+M$.
\end{dok}

\textbf{\textit{\underline{Вывод:}}} Общее решение системы (1) есть сумма частичного решения этой системы и общего решения системы (2).

Действительно, когда $c_1,c_2,...,c_{n-r}$ -- фундаментальная сисема решений системы (2), $a$ -- частичное решение системы (1), то \underline{вектор}
\begin{center}$a+\lambda_1 c_1 +...+\lambda_{n-r} c_{n-r}, \lambda_i \in P~~~(i=\overline{1,n-r})$ \end{center}\\ \underline{является общим решением системы (1).}
%----------------------------------------------------------------------------------------
\label{pages_total}% Это метка на последнюю страницу электронного учебника. Она нужна для
% корректной работы интерактивного учебника

\end{document}% Эта команда завершает рабочий (исходный) файл электронного учебника