- •Т. С. Онискевич конспекты лекций по основам высшей математики (экспресс-курс для студентов-психологов)
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 1 теория множеств
- •1.3. Соответствия и отношения
- •Глава 2 элементы логики высказываний
- •Глава 3 элементы линейной алгебры
- •Глава 4 основы математического анализа
- •4.1. Понятие функции
- •4.2. Элементарные функции
- •4.4. Непрерывность функций.
- •4.5. Производная
- •4.6. Правила дифференцирования
- •4.7. Таблица производных
- •4.8. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции
- •4.9. Неопределённый интеграл
- •4.10. Определённый интеграл
- •4.11. Использование математического анализа в психологии
- •Глава 5 элементы теории вероятностей
- •5.1. Основы комбинаторики
- •5.2. Вероятность случайного события
- •1. Классическое определение вероятности
- •2. Статистическое определение вероятности
- •5.3. Действия над событиями
- •5.4. Основные теоремы теории вероятностей
- •1. Теоремы сложения
- •5.5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •5.6. Формула Бернулли
- •5.7. Формула Пуассона
- •5.8. Локальная формула Муавра – Лапласа
- •5.9. Интегральная формула Муавра – Лапласа
- •5.10. Случайные величины. Закон распределения случайной величины
- •5.11. Функция распределения случайной величины. Ее свойства
- •5.12. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
- •5.13. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения
- •5.14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •5.15. Применение вероятностных методов в психологии
- •Литература:
- •Конспекты лекций по основам высшей математики
- •(Экспресс-курс для студентов-психологов)
4.2. Элементарные функции
В таблице 4.2 приведен перечень известных из школьного курса функций и их графиков. Эти функции называются основными элементарными функциями.
Элементарными функциями называются функции, которые можно получить из основных элементарных функций (перечисленных в таблице 4.2) с помощью алгебраических операций и композиций функций.
Примеры:
__________________________________________________________________________________
Функция
у = +
является элементарной, так как она получена с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции.
Функция у = |x| (рисунок 4.4) является примером неэлементарной функции
у
y = |x|
х
Рисунок 4.4
_______________________________________________________________
Таблица 4.2 – Основные элементарные функции
Аналитическое задание |
Область определения Х |
Область значений Y |
График |
Степенная функция
у = xⁿ , nN
у = x⁻ⁿ , nN
y =, n N, n1
|
(- , +)
(- , 0) (- , +)
(- , +), если nнечетно; , еслиnчетно
|
(- , +), Если n нечетно; , если n четно
(- , 0) (- , + ), если n нечетно; , если n четно
(- , + ), если n нечетно; , если n четно
|
у у y = 1
у = х 0 1 х 0 1 х
у у у = 1/x у =1/х²
0 1 x 0 1 x
у у у = у =
0 1 х 0 1 х |
2.Показательная функция
у = , а 0, а1 |
(- , +) |
y y = 0 a1 1 a 1
0 1 x |
Продолжение таблицы 4.2
Аналитическое задание |
Область определения Х |
Область значений Y |
График |
3.Логарифмическая функция
y = ₁ a 0, a 1 |
( |
(- , +) |
Y
a > 1 y =
0 1 x y = 0 < a < 1
|
4.Тригонометрические функции
y = sin x
У= сos x |
(- , +)
(- , +) |
[-1,1]
[-1,1] |
у
1
-2 - 0 2 x -1
y
1
- - 0 х -1
|
Продолжение таблицы 4.2
y = tg x |
(- + n, + n), п Z |
(- , +) |
y
- - 0 x |
Предел функции
Понятие предела является математическим выражением факта одновременного стремления двух связанных величин к некоторым значениям.
Примеры:
если вы читаете литературу со скоростью 60 страниц в час, то при стремлении времени чтения к двум часам числе прочитанных страниц будет стремиться к 120;
если количество рекламных вставок равно 30 в час, то при приближении времени просмотра телепередачи к трем часам число реклам будет приближаться к 90;
вы усиленно работаете над своим характером, чтобы быть похожим на Васю, который нравится Марине, а она нравится вам; тогда, если вы станете похожим на Васю, степень благосклонности Марины к вам будет почти такой же, как и к Васе [1, с. 112].
_______________________________________________________________
Понятие предела является одним из основных в математике. Рассмотрим любую функцию, например у = x3; зададим любое значение х, к примеру, х = 2. Возьмём последовательность чисел x, близких к числу 2, и вычислим значения уi = хi3. Один из вариантов последовательностей чисел xi и уi. приведен в таблице 4.3:
Таблица 4.3
x |
1,96 |
1,97 |
1,98 |
1,99 |
2 |
2,01 |
2,02 |
2,03 |
2,04 |
y |
7,53 |
7,64 |
7,76 |
7,88 |
8 |
8,12 |
8,24 |
8,36 |
8,49 |
Приведенная в таблице последовательность чисел имеет следующую закономерность: чем меньше число х отличается от числа 2, тем меньше соответствующее значение у отличается от числа 8. Т. е. при стремлении числа х к 2 число у стремится к 8, какие бы последовательности чисел xi и уi = хi3 мы ни рассматривали.
Число А называется пределом функции у = f(x) при стремлении х к а (или в точке х = а), если для всех значений х (х ≠ а), сколь угодно мало отличающихся от а, соответствующие значения у сколь угодно мало отличаются от А.
у
у = f(x)
A +ε
A 2ε
A – ε
0 х₀ - х₀ х₀ + x
Рисунок 4.5
Число А — предел функции y=f(x) при х → а, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, зависящее от ε, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х - а| <δ, имеет место неравенство |f(x) — А| < ε.
Символическая запись: lim f(x) = A
x→a
Пример:
__________________________________________________________________________________
Предел функцииу=х2 в точке х=2 равен 4. Записываем:
____________________________________________________________