ГОС математика / Геометрия / 4,5,6

Вопрос 4. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, их свойства, приложение к решениям задач.

Опр: скалярным произведением векторов и наз-ся сумма произведений их соот-щих коор-т

Вывод формулы

R³, (a₁,b₁,c₁), (a₂,b₂,c₂)

=a₁+b₁+c₁, =a₂+b₂+c₂=>

Свойства:

• (пример)

• (пример)

• 

• 

• св-во проекций векторов:

Задача 1: одна диагональ ромба , другая . Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны, если

диагонали перп-ны.

Опр. Базис наз.ортонормированным, если векторы базиса попарно взаимо-перпендикулярны и длина каждого вектора равна 1.

Опр: 1) векторным произ-ем двух векторов и в наз-ся вектор , удовлетворяющий требованиям:

1. 

2. ортогонален и ,и

3. Вектор направлен так, что тройка векторов явл-ся правой.

2. векторным произ-ем двух векторов и наз-ся опред-ль:

Геом. смысл: модуль смеш. произ-я равен площади параллелограмма со сторонами и :

Свойства:

Задача2: Вычислите площадь треугольника с вершинами А(1; 1; 1), В(2; 3; 4) и С(4; 3; 2).

Опр: смеш.произ-ем векторов наз-ся опред-ль:

Геом. смысл: модуль смеш. произ-ния равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах и объёма пирамиды.

Свойства:

• при перестановке двух соседних сомножителей смеш. произ-е меняет знак

• смеш. произ-е равно нулю когда один из сомножителей равен нулю, либо векторы компланарны.

Док-во:

1)! , т.е.

.

Если , то либо , либо , либо , тогда - компланарны.

Если , то - компланарны.

2)! – компланарны и - пл-ть, которой они парал-ны, т.е. тогда:

Т.о. отсюда вытекает

Теорема: чтобы три вектора были компланарны необ-мо и дост-но, чтобы их смеш. произ-е было равно нулю.

Задача 3: Найти объём пирамиды с вершинами в точках A(2; -2; 0), B(-1; 4; -4), C(4; -8; 5), D(1; -7; 0).

Вопрос 5. Правильные многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.

а)Опр: многогранник – тело, ограниченное кнечным числом мноугольников.

Опр: многранник наз-ся правильным, если он выпуклый и его грани правильные n-угольники, а из каждой вершины выходит s рёбер. S = 3, 4, 5.

б)Эйлеровой характеристикой многог-ка называется число

Е = В + Г - Р, где В, Р и Г – числа его вершин, рёбер и граней.

в)Теорема Эйлера: для любого выпуклого многогранника .

Док-во: Удалим 1 грань, получим поверхность с краем. Кол-во вершин и рёбер остаются неизменными.

Многогр-ю пов-ть развернем на пл-ти, сохраняя число В,Г,Р. Получим развернутое множ-во многоуг-ов на пл-ти.

Метод индукции по числу граней. Для многогр-й пов-ти, сост-ой из n многоуг-ов: – очевидно.

Предположим, что для всех пов-тей с краем число граней < Г доказано.

Разобьем многогр-ю пов-ть разрезом по ребрам на 2 части (ломанная ABC), – число вершин ломаной.

.

Сложим и получим

Вернём грань, удалённую в самом начале, получим снова многоуг-к:

.

г) Следствие: не более 5 правильных многогранников.

Док-во: ! дан прав. многр-к (по опр): s ≥ 3 (s – число ребер выходящих из одной вершины). ! n – число сторон грани.

По теореме Эйлера:

- все числа целые и полож-е

Из всех пар типа (s, n) подойдут только

(3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5), для любого n > 5 усл-е нарушается. Т.о. только 5 правильных многогранников.

Вопрос 6. Прямые и плоскости в пространстве, их аналитическое задание, взаимное расположение.

Ур-ние пл-ти

Ур-ние прямой

-направ-й вектор прямой

а)Заданы две пл-ти:

Составим матрицу из коэф-тов:

Если

- пл-ти парал-ны

Если

-пл-ти совпадают

Если

- пл-ти перес-ся

б)Заданы две прямые:

составим определитель:

1)Если , то одной пл-ти:

Если , то .

Если , то .

Если , то .

2)Если , то – скрещиваются.

в) Если , то прямая и пл-ть пересекаются.

Если , , то прямая парал-на пл-ти.

Если , , то прямая лежит в пл-ти.

Пример: Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости

Направляющий вектор . Точка   Вычислим:

Следовательно, прямая d лежит в плоскости .