mat_analiz

y y=x3

1

Рис. 11

Пусть функция y = f (x ) определена на промежутке X и x0 - внутренняя точка этого промежутка.

Определение. Точка x0 называется точкой максимума (минимума)

функции y = f (x ), если в некоторой окрестности этой точки при x ≠ x0 верно неравенство f (x0 ) > f (x) ( f (x0 ) < f (x) ). Значение f (x0 ) называется в этом случае максимумом (минимумом) функции y = f (x ). Максимумы и минимумы функции называют экстремумами этой функции.

A = f (x1) и минимум B = f (x 2 ) .

Замечание 16. Понятие экстремума функции связано с определенной окрестностью данной точки, а не со всей областью определения. Поэтому для обозначения этого понятия употребляется также термин «локальный экстремум» функции. Определенный выше локальный экстремум называют также строгим локальным экстремумом. Локальный «нестрогий» экстремум определяется следующим образом: точка x0 называется точкой максимума (ми-

177

нимума) функции y = f (x ), а значение f (x0 ) называют максимумом (миниму-

мом) этой функции, если в некоторой окрестности этой точки при x ≠ x0 вы-

полняется неравенство f (x) ≤ f (x0 ) ( ( f (x) ≥ f (x0 ) ). В дальнейшем будем рас-

сматривать так называемый «строгий» экстремум.

Замечание 17. Функция y = f (x ) на данном промежутке может иметь и

не один экстремум, причем некоторые из минимумов могут быть больше некоторых из ее максимумов.

Замечание 18. Экстремальные точки функции должны быть внутренними для области определения данной функции, конечные значения области определения функции не могут относиться к экстремальным, т.к. они не принадлежат области определения вместе с некоторой своей окрестностью слева или справа.

Замечание 19. Экстремальные значения функции нельзя смешивать с понятием наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке ее задания. Экстремальное значение функции в точке – максимальное или минимальное по отношению к близлежащим значениям. Под наибольшем (наименьшем ) значении функции на отрезке [a; b] понимают такое ее значение,

больше (меньше) которого нет ни в одной точке, включая и концы отрезка.

y = f (x ). Если производная не меняет знак слева и справа от точки x0 , то x0 не является точкой экстремума.

178

Доказательство основано на признаке монотонности функции. При смене знака f ′(x ) с «+» на «–» функция y = f (x ) от возрастания переходит к

убыванию, значит, x0 - точка максимума. Аналогично рассматриваются дру-

гие случаи.

Определение. Внутренние точки области определения, в которых функция y = f (x ) непрерывна и f ′(x ) = 0 или f ′(x ) не существует, называют-

ся критическими точками функции (или подозрительными на экстремум). Определение. Внутренние точки области определения, в которых

функция y = f (x ) непрерывна и f ′(x ) = 0 называются стационарными точка-

ми функции.

Определение. Интервал, на котором функция возрастает (убывает), называется интервалом возрастания (убывания) функции. Интервалы возрастания и убывания называются интервалами монотонности функции.

План решения задач на отыскание интервалов монотонности функции

инахождение экстремумов с помощью первой производной.

1.Найти область определения функции.

2.Найти производную данной функции.

3.Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, где

признаку монотонности сделать вывод о промежутках возрастания и убывания функции и по достаточному условию экстремума о наличии максимумов и минимумов.

Пример 48. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функ-

ции.

179

2.y′ =15x 4 −15x 2 .

3.y′ = 0 при 15x4 −15x2 = 0 ,т.е.15x2 (x2 −1) = 0 , x1 = −1 , x2 = 0 , x3 =1 - критические

точки. Других критических точек нет, т.к. y′ определена на R.

4. Критические точки разбивают область определения функции на интервалы: (− ∞;−1), (-1; 0), (0; 1), (1;∞). Исследуем знак производной в каждом интер-

вале (слева и справа от каждой критической точки):

x = 0 не является внутренней точкой области определения, значит, не является критической.

Единственная критическая точка x = 12 разбивает область определения на

180

4. Исследуем знак производной слева и справа от точки x = 12 :

y

1

2

− 2

Рис. 14

в) y = 4x + 4x .

1. Область определения (− ∞;0)U(0;+∞).

вует при x = 0 (не является критической, т.к. не принадлежит области определения функции).

4. Исследуем знак производной слева и справа от критических точек:

(0;4), имеет максимум y(− 4)= −2 и минимум y(4)= 2 (см. рис. 15).

181

Рис. 15

Если поставлена задача отыскания экстремумов функции, то в ряде случаев бывает удобно пользоваться следующей теоремой:

Теорема 14 (второе достаточное условие существования экстрему-

ма).

Пусть x 0 – стационарная точка функции y = f (x ), т.е.

функция y = f (x ) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки x 0 . Тогда если f ′′(x 0 )> 0 , то точка x 0 – точка минимума функции f (x );

если f ′′(x 0 )< 0 , то x 0 – точка максимума функции f (x ).

План нахождения экстремумов функции с помощью второй производной.

Пусть функция y = f (x ) определена, непрерывна и дважды дифферен-

цируема на интервале (a; b). Тогда для нахождения экстремумов с помощью второй производной необходимо:

1)найти производную f ′(x ) и стационарные точки, то есть внутренние точки области определения функции y = f (x ), в которых производная f ′(x )= 0 ;

2)найти вторую производную f ′′(x ) и значение f ′′(x ) в каждой стационарной

точке.

Если значение f ′′(x ) в стационарной точке x 0 положительно, то есть f ′′(x 0 )> 0 , то в точке (x 0 ; f (x 0 )) – минимум функции.

Если значение f ′′(x ) в стационарной точке x 0 отрицательно, то есть f ′′(x 0 )< 0 , то в точке (x 0 ; f (x 0 )) – максимум функции.

182

Замечание 20. Это исследование функции на экстремум оказывается более удобным, если вычисление второй производной не приводит к громоздким вычислениям.

Замечание 21. Если f ′′(x 0 )= 0 или не существует, то применение этого плана не решает вопрос об экстремуме функции. В этом случае рекомендуется находить экстремумы с помощью первой производной (см. выше).

Пример 49. Найти экстремумы функции f (x )= x 4 − 4x 3 + 4x 2 .

Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

1)f ′(x )= 4x 3 −12x 2 +8x .

рис. 16).

y

1

Рис. 16

183

3.ymax = y(0)= 5 ; ymin = y(± 2 )= 4 .

4.ymin = y(± 2)= 4 .

5.ymax = y(2)=1 ; ymin = y(− 2)= −1.

6.экстремумов нет, график функции возрастает на всей области

определения.

7.ymax = y(0)=1.

8.ymin = y 1 = −1 .

e e

2. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение. Если в некотором интервале график функции y = f (x )

расположен ниже (выше) любой своей касательной, то график функции называется выпуклым вверх (вниз) на этом интервале.

На рисунке 17 изображен график функции y = f (x ), обращенный выпуклостью вверх, на рисунке 18 – график функции выпуклый вниз.

184

употребляют термин «вогнутость (выпуклость)».

Теорема 15. (достаточное условие выпуклости). Если в некотором

где c (x ; x 0 ). Значит, y − yкас. = f ′(c)(x − x 0 )− f ′(x 0 )(x − x 0 )= (f ′(c)− f ′(x 0 ))(x − x 0 ).

По теореме Лагранжа имеем f ′(c)− f ′(x 0 )= f ′′(ξ)(c − x 0 ), где ξ (c; x 0 ). Значит,

185

y

y=f(x)

f(x0) M

«+» на «–». Докажем, что М( x 0 ; f (x 0 )) – точка перегиба, в которой график функции

М( x 0 ; f (x 0 )) – точка перегиба.

Аналогично доказываются другие случаи.

Замечание 23. График функции может менять выпуклость не только при переходе через точку перегиба, но и при переходе через точку разрыва. Например, у

186