mat_analiz

§ 9. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f (x) имеет производную в каждой точке некоторо-

го множества Х. Тогда, как уже указывалось выше, производная этой функции, рассматриваемая на множестве Х, представляет собой функцию аргумента x.Эта функция также может иметь производную. Производная от

Если существует производная от второй производной, то ее называют производной третьего порядка или третьей производной от функции f (x) и обо-

Аналогично от производной третьего порядка можно перейти к производной четвертого порядка и т.д.

Производную от производной (n −1)-го порядка (если она существует)

называют производной n -го порядка или n -ой производной. Для обозначения используются символы:

Таким образом, по определению

y (n ) = (y (n−1))′.

Производные, начиная с производной второго порядка, называются производными высших порядков.

Иногда для обозначения производных высших порядков используются

первой производной.

157

Пример 34. Дана функция y = x 6 +ln x. Найти y (4).

прямолинейно и функция S = f (t )-закон этого движения, то f ′′(t0 ) представ-

ляет собой ускорение движущейся точки в момент времени t0 . В этом состо-

ит механический смысл второй производной.

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков.

Пусть на множестве Х задана функция y = f (x ), х – независимая пере-

менная. Дифференциал dy = f ′(x )dx данной функции является функцией от х

(заметим, что при этом дифференциал dx независимой переменной х рассматривается как величина, не зависящая от х). Рассмотрим дифференциал от этой функции, то есть дифференциал от dy как функции независимой переменной х (при этом считаем значение dx дифференциала независимой переменной тем же самым). Этот дифференциал называют дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом от функции y = f (x).

Таким образом, дифференциал второго порядка или второй дифференциал функции y = f (x) определяется как дифференциал от дифференциала данной функции и обозначается символом d 2 y.

Итак, d 2 y = d (dy).

Аналогично, дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции (при этом значение dx считаем тем же самым).

Обозначается символом Итак, d 3 y = d (d 2 y ).

От дифференциала третьего порядка можно перейти к дифференциалу четвертого порядка и т.д.

158

Дифференциалом n -го порядка или n -ым дифференциалом функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала (n −1)-го порядка этой функции (при этом значение dx считаем тем же самым). Обозначается симво-

лом d n y.

Таким образом, d n y = d (d n−1 y ) (n >1).

Подчеркнем, что определяя дифференциалы высших порядков, дифференциал независимой переменной все время рассматриваем как постоянную величину. Учитывая это, будем иметь:

Методом математической индукции можно доказать, что для любого натурального n справедлива формула:

(При этом предполагаем, что существуют соответствующие производные.)

Здесь символы dx 2 , dx 3 , dx n обозначают соответствующие степени

159

При рассмотрении в § 8 дифференциала функции, было отмечено, что он обладает свойством инвариантности формы: если y = f (x), то dy = f ′(x )dx ,

независимо от того, является ли x независимой переменной, или же x −функция другой переменной. Дифференциалы же высших порядков этим свойством не обладают. Таким образом, формула (13) при n >1 справедлива, вообще говоря, только в том случае, когда x - независимая переменная. Если же x - функция некоторой другой переменной, то эта формула в общем случае неверна.

Рассмотрим, например, дифференциал второго порядка функции y = f (x ). Выше показано, что если x - независимая переменная, то

(14)

Пусть теперь x не является независимой переменной, то есть x =ϕ(t ).

Тогда dx = ϕ′(t )dt и, следовательно, dx уже нельзя считать постоянной. В этом случае, используя правило вычисления дифференциала произведения, получим

Ясно, что для d 2 y равенство (15) является более общим, так как в том

случае, когда x - независимая переменная, имеем d 2 x = 0 , а следовательно, второе слагаемое в равенстве (15) равно нулю, тем самым получаем формулу (14).

Пример 36. Дана функция y = 2x3 − 4x2 + 7x . Найтиd 2 y

а) при условии, что x -независимая переменная;

б) при условии, что x -функция от другой независимой переменной.

Решение. а) Так как y′ = 6x 2 −8x + 7, y′′ =12x −8 , то d 2 y = (12x −8)dx 2 .

160

б) В этом случае пользоваться формулой (13) нельзя. Следует использовать правило вычисления дифференциала произведения.

Получаем:

+ (6x 2 −8x + 7) d (dx )= (6x 2 −8x + 7)′ dx dx + (6x 2 −8x + 7)d 2 x = (12x −8)dx 2 + + (6x 2 −8x + 7)d 2 x.

Задания для самостоятельной работы

1. Найти производные второго порядка следующих функций:

S (t )= t 3 + 2t 2 +t, где S - путь (в метрах), t - время (в секундах). Найти ускоре-

ние движущейся точки через 2 секунды после начала движения.

5. Найти дифференциал второго порядка для следующих функций:

а) y = 5 x2 ; б) y = ctg x ( x -независимая переменная).

161

§10. Дифференцирование параметрически заданных функций

Пусть функции x = ϕ(t) и y = Ψ(t) определены в некоторой окрестности точки t0 , причем функция x = ϕ(t) непрерывна и строго монотонна в указан-

ной окрестности. Тогда существует обратная к x = ϕ(t) функция t = χ(x) , и в некоторой окрестности точки x0 =ϕ(t0 ) определена функция y от x:

y= Ψ[χ(x )].

Втаком случае говорят, что эта функция y от x задана параметрически уравнениями x = ϕ(t) , y = Ψ(t) . Обозначим эту функцию так: y = Φ(x) .

Если функции x = ϕ(t) и y = Ψ(t) в точке t0 имеют производные и

ϕ'(t0 ) ≠ 0 , то функция y = Φ(x) имеет производную в точке x 0 =ϕ(t 0 ) , причем

Φ′(x0 ) = Ψ′′(t0 ) ,

ϕ(t0 )

или кратко (используя другие обозначения производной и опуская обозначение аргумента)

Покажем справедливость приведенного утверждения. Действительно, применяя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования обратной функции, получаем:

162

Пример 37. Функция y от x задана параметрически уравнениями:

Задания для самостоятельной работы

1. Найти y′x и y′xx′ для функций, заданных параметрически уравнениями:

а) x = t, y = t 3 ; б) x = sin t, y = sin 2t .

2.Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к эллипсу

x= a cost, y = bsin t в точке, для которой t = π6 .

3.Функция задана параметрически уравнениями: x = et , y = 2e −t . Соста-

вить уравнение касательной, проведенной к графику этой функции в точке М, для которой t = 0.

§ 11. Основные теоремы дифференциального исчисления

Рассмотрим теоремы, которые ввиду их важности, называют основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема 4 (теорема Ферма). Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наи-

большее или наименьшее значение. Тогда, если в точке x0 существует произ-

водная, то она равна нулю.

163

Доказательство. Предположим для определенности, что функция y = f (x) в точке x0 принимает наибольшее значение. Тогда

Из (16) и (17) вытекает, что f ′(x 0 )= 0.

Аналогично рассматривается случай, когда функция y = f (x) в точке x0

принимает наименьшее значение.

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если функция y = f (x) во внутренней точке x0 промежутка X принимает наи-

большее или наименьшее значение и дифференцируема в этой точке, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке (x0 , f (x0 )), параллельна оси Ox (рис. 5).

y

Рис. 5

164

Теорема 5 (теорема Ролля). Пусть функция y = f (x)

1)непрерывна на [a,b];

2)дифференцируема на (a,b);

3)принимает равные значения на концах отрезка, то есть f (a)= f (b).

Тогда существует хотя бы одна такая точка c (a,b), что Доказательство. Поскольку y = f (x) непрерывна на [a,b], то она

принимает на этом отрезке свое наибольшее значение и свое наименьшее значение. Обозначим их соответственно M и m . Рассмотрим два возможных случая:

1. M = m . Тогда функция на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значе-

ние. А поэтому f ′(x )= 0 в любой точке рассматриваемого промежутка. Таким

образом, в качестве c можно взять любую точку, принадлежащую интервалу

(a,b).

2. M > m . Поскольку по условию теоремы f (a)= f (b), то по крайней ме-

ре одно из значений M или m функция принимает в некоторой точке

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в следующем: если функция y = f (x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и на концах отрезка [a,b] принимает равные значения, то найдется хотя бы одна точка c (a,b), такая, что касательная, проведенная к графику данной функции в точке (c; f (c)), параллельна оси Ox (рис.6).

y

165

Теорема 6 (теорема Лагранжа). Пусть функция y = f (x) непрерывна на

[a,b] и дифференцируема на (a,b).

Тогда найдется такая точка c (a,b), что выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим на [a,b] вспомогательную функцию

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на [a,b], поскольку является раз-

ностью между непрерывной функцией f (x ) и линейной функцией. F(x) на интервале (a,b) имеет (конечную) производную, равную

На концах отрезка [a,b] функция F(x) принимает одинаковые значения:

F(a)= F(b)= 0.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию теоремы Лагранжа (рис.7).

166