mat_analiz

чит приращение ∆y = f (x 0 + ∆x )− f (x 0 ). На графике рассматриваемой функции (см. рис. 3) отметим точки M 0 (x 0 ; f (x 0 )) и M (x 0 + ∆x; f (x 0 + ∆x )). Построим секущую M 0 M .

Рис. 3

Через β обозначим угол, который образует секущая M 0 M с положи-

тельным направлением оси Ox . Заметим, что β зависит от приращения ∆x .

Отсюда, учитывая равенство (7), заключаем, что существует lim β , то

∆x →0

есть β стремится к некоторому углу, обозначим его через β0 , при этом

А, следовательно, и секущая M 0 M будет стремиться занять положение прямой M 0T , которая проходит через точку M 0 и расположена под углом β0

к положительному направлению оси Ох. Таким образом, M 0T есть касательная к графику функции y = f (x ) в точке M 0 (x0 ; f (x0 )).

147

Учитывая равенство (8), получаем:

f ′(x 0 )= tgβ0 .

Так как tgβ0 есть угловой коэффициент рассматриваемой касательной,

то последнее равенство означает, что производная функции y = f (x) в задан-

ной точке x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к гра-

фику этой функции в точке M 0 (x0 ; f (x0 )). В этом состоит геометрический смысл производной.

Получим уравнение касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 ; f (x0 )). Как известно , прямая, проходящая через точ-

ку M 0 (x0 ; f (x0 )) и имеющая угловой коэффициент k , описывается уравне-

нием:

y − f (x0 )= k(x − x0 ).

Поскольку угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 ; f (x0 )), равен производной этой функции в точке x0 , то есть k = f ′(x 0 ), то уравнение касательной имеет вид:

Заметим, что исторически как раз проблема построения касательной к кривой и привела выдающегося немецкого ученого Г.В. Лейбница к определению понятия производной.

Воспользовавшись уравнением (9), запишем искомое уравнение: y −8 = 4(x −1).

Окончательно после преобразований получаем: y = 4x + 4.

148

2.Механический смысл производной

В§ 1 при рассмотрении задачи о скорости движения материальной точки указывалось, что если материальная точка движется прямолинейно по закону S = f (t), то скорость V движения этой точки в момент времени t0 оп-

ределяется так:

то получаем:

V = f ′(t0 ).

Таким образом, приходим к следующему выводу: если материальная точка движется прямолинейно, причем функция S = f (t) представляет собой

закон этого движения, то есть скорость движения точки в момент вре-

мени t0 . В этом состоит механический смысл производной.

Пример 29. Точка движется прямолинейно по закону S = t3 + 2t + 8, где

S(t)- путь, выражен в метрах, t - время в секундах. Найти скорость движения точки через 2 секунды после начала движения.

Решение. Учитывая механический смысл производной, имеем:

V (t)= S ′(t); S ′(t)= 3t 2 + 2; S ′(2)= 3 22 + 2 =14.

Итак, искомая скорость V =14 мc .

Замечание 11. В заключение данного параграфа укажем на важную роль, которую играет производная при исследовании самых разнообразных процессов (физических, химических и др.). Производная позволяет количественно оценить насколько быстро изменяется одна величина при изменении

149

другой, если эти величины связаны между собой функциональной зависимостью.

временем t , то m′(t0 ) - скорость химической реакции в момент времени t0 ;

если функция P = P(t) характеризует зависимость между численностью по-

пуляции организмов и временем t , то P ′(t0 )- скорость роста популяции орга-

низмов в момент времени t0 ; если T = T (h)- функция, связывающая темпера-

2.Составьте уравнение касательной к графику функции y = ln(2 − x 2 )

вточке его пересечения с прямой x −1 = 0 .

(путь в метрах, время в секундах). Найти кинетическую энергию тела через 2 секунды после начала движения.

150

5.Снаряд, выпущенный вертикально вверх, вылетает со скоростью

180 мс . Найти его скорость в конце десятой секунды.

6.Дан закон изменения температуры T тела в зависимости от вре-

мени t: T = 0,4t 2 . С какой скоростью тело нагревается в момент времени

§ 8. Дифференциал функции

Наряду с понятием производной одним из основных понятий дифференциального исчисления является понятие дифференциала функции.

Пусть функция y = f (x) в точке x 0 имеет производную Тогда,

как показано выше (см. §3), приращение ∆y этой функции в точке x0 пред-

ставимо следующим образом:

Рассмотрим слагаемые правой части равенства (10). Первое слагаемое линейно зависит от ∆x. Кроме того, при ∆x → 0 оба слагаемые являются бесконечно малыми, при этом , если то первое слагаемое и ∆x имеют один и тот же порядок малости, а слагаемое α(∆x ) ∆x есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x. Следовательно, если f ′(x 0 )≠ 0, то при малых ∆x выражение f ′(x 0 ) ∆x представляет собой более важную часть приращения ∆y , чем α(∆x ) ∆x .

Выражение f ′(x 0 ) ∆x получило название дифференциала функции в точке x0 .

Итак, приходим к следующему определению.

Определение 2. Дифференциалом функции y = f (x) в точке x0 называ-

ется произведение производной этой функции в точке x0 на приращение не-

зависимой переменной.

151

(Заметим, что при этом производная в точке x0 может быть как отлич-

ной от нуля, так и равной нулю.)

Для обозначения используют символ df (x0 ) или, короче, dy.

Итак,

x0 зависит от точки x0 и приращения ∆x . Поэтому в общем виде дифферен-

циал функции представляет собой функцию от x и ∆x .

Дифференциал функции также, как и производная, имеет геометрическую интерпретацию. Обратимся к рисунку 4.

дем к графику этой функции в точке M 0 (x0 ; f (x0 )) касательную M 0T. Дадим значениюx0 аргумента x приращение ∆x. Точка M на графике функции соот-

ветствует значению аргумента x0 + ∆x. Обозначим через β0 угол наклона ка-

сательной М0T к положительному направлению оси Ох.

Как следует из геометрического смысла производной, угловой коэффициент касательной M 0T равен f ′(x 0 ), то есть tgβ0 = f ′(x 0 ). Поэтому можем за-

писать: dy = ∆x tgβ0 . Тогда из прямоугольного треугольника M 0 AB, учитывая последнее равенство, получаем, что дифференциал функции y = f (x) в точке

152

x0 равен приращению ординаты касательной M 0T , проведенной к графику

dy = dx = (x )′∆x =1 ∆x = ∆x .)

Учитывая (12), выражение дифференциала функции можно представить в следующем виде:

dy = f ′(x )dx .

Отметим, что из последнего равенства имеем:

dy = 12 ∆x или в другой записи dy = 12 dx. Заметим, что в данном примере кон-

кретное значение ∆x не задано.

Пример 32. Найти дифференциал функции y = sin x 2 +1 .

153

Решение. В этом примере не указана определенная точка x0 и не дано конкретное значение приращения ∆x . Поэтому, учитывая, что

y′ = x cos x 2 +1 , в общем виде получим:

x 2 +1

Из определения дифференциала и правил дифференцирования суммы, разности, произведения и частного дифференцируемых функций вытекают следующие правила для вычисления дифференциалов:

Подчеркнем теперь наиболее важные свойства дифференциала функ-

ции.

Прежде всего, укажем, что дифференциал функции характеризуется следующими свойствами:

1)дифференциал функции является линейной функцией от ∆x ;

2)поскольку ∆y = dy +α(∆x ) ∆x (это следует из равенства (10) и определе-

ния 2), то dy отличается от приращения ∆y на величину, которая при усло-

вии, что ∆x → 0 , представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем ∆x.

Среди других свойств дифференциала важное место занимает инвариантность формы дифференциала. Кратко поясним это свойство.

Пусть даны функции y = f (x) и x =ϕ(t) и определена сложная функция y = F(t)= f [ϕ(t)]. В этом случае x - промежуточная переменная.

154

Пусть существуют производные f ′(x )и ϕ′(t ). Поскольку t - независимая переменная, то для сложной функции имеем:

dy = F ′(t ) dt.

Отсюда, учитывая, что F ′(t )= f ′(x ) ϕ′(t ) и ϕ′(t ) dt = dx , получаем: dy = f ′(x ) ϕ′(t )dt = f ′(x )dx .

Итак, dy = f ′(x )dx , то есть дифференциал получили в той же форме, что и

при x - независимой переменной.

Как следует из определения, дифференциал dy имеет очень простое строение по сравнению с приращением ∆y, ведьdy линейно зависит от ∆x , в

то время как ∆y обычно находится в более сложной зависимости от ∆x . По-

этому вычисление дифференциала функции обычно значительно проще, чем вычисление ее приращения. Ясно, что дифференциал dy и приращение∆y в

общем случае не равны друг другу. Однако во многих случаях при малых значениях ∆x приращение ∆y заменяют дифференциалом dy. На чем же ос-

нована возможность такой замены? Выше уже было сказано о том, что при-

155

ращение ∆y функции и дифференциал dy этой же функции отличаются друг от друга на величину α (∆x ) ∆x. При ∆x → 0 эта величина является бесконеч-

зом, как абсолютная, так и относительная погрешности, возникающие в результате замены приращения ∆y дифференциалом dy, могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно малых ∆x.

Задания для самостоятельной работы

1. Найти дифференциалы следующих функций:

2. Дана функция y = x 2 +3x . Найти приращение и дифференциал этой функции в точке x 0 =1 при а) ∆x = 0,1; б) ∆x = 0,001. Оценить абсолютную и относительную погрешности, возникающие при замене приращения функции

еедифференциалом.

3.Радиус круга равен 40 см. Найти приближенно изменение площади круга, если увеличить его радиус на 0,01 см.

обозначены границы соответственно абсолютной и относительной погрешностей).

3. Площадь круга увеличится на 0,8π см2.

156