2. Двоичная система счисления. Преобразование чисел и правила выполнения арифметических действий над двоичными числами

Двоичная система счисления (или система счисления с основанием 2) это положительная целочисленная позиционная система счисления, позволяющая представить различные численные значения с помощью двух символов. Чаще всего это 0 и 1.

      В двоичной системе основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). В развернутой форме двоичные числа записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.          Например, развернутая запись двоичного числа 101₂ будет иметь вид:

101₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Двоичной системой счисления пользовался в начале 17 в. Т.Харриот. Позднее Г.Лейбниц обратил на двоичную систему внимание миссионеров, отправлявшихся для проповеди христианства в Китай в надежде убедить китайского императора в том, что Бог (единица) сотворил все из ничего (нуля). Однако вплоть до 20 в. двоичную систему рассматривали как своего рода математический курьез, и время от времени раздавались предложения перейти от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатеричной, но отнюдь не двоичной системе.

В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний – либо «выключено» (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо «включено» (цепь замкнута, двоичная цифра 1).

Десятичная система	Двоичная система	Десятичная система	Двоичная система
0	0	9	1001
1	1	10	1010
2	10	11	1011
3	11	12	1100
4	100	13	1101
5	101	14	1110
6	110	15	1111
7	111	16	10000
8	1000

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Для преобразования из двоичной системы в десятичную и обратно используют следующую таблицу:

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1.

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1 называется двоичной точкой.

Допустим, вам дано двоичное число 110011. Какому числу оно эквивалентно? Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего, запишите данное число следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1.
				1	1	0	0	1	1
				32	+16			+2	+1

Затем, начиная с двоичной точки, двигайтесь влево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110011 равнозначно 51. Либо (запись ведется справа налево): .

Двоичное число 1101010000101 будет равно 6789, так как:

1х2⁰ + 1х2² + 1х2⁷ + 1х2⁹ + 1х2¹¹ + 1х2¹²