6. Примеры решения задач

Задача 1.

Найти все гамильтоновы циклы в графе

Матрица смежности данного графа равна А=

0	1	0	1	0
0	0	0	1	1
0	1	0	0	1
0	0	1	0	0

 модифицированная матрица смежности равна В=

0	b	0	d	0
0	0	0	d	e
0	b	0	0	e
0	0	c	0	0
a	0	c	0	0

Положим ≡А. Матрица  получается равной

0	0	d	b	b
e	0	d+e	0	0
e	0	0	b	b
0	c	0	0	c

Заключение

В данной работе были рассмотрены основные понятия теории графов. Большое внимание уделили вопросу существования гамильтоновых циклов, рассмотрели ряд теорем. Рассмотрели задачи, связанные с поиском гамильтоновых циклов и их алгебраический метод построения.

Отметим, что придумано много развлекательных и полезных задач, связанных с поиском гамильтоновых циклов. Сформулируем две из них.

1. (Задача про банкет) Компанию из нескольких человек требуется рассадить за круглым столом таким образом, чтобы по обе стороны от каждого сидели его знакомые. Очевидно, для решения этой задачи нужно найти гамильтонов цикл в графе знакомств компании.

2. (Задача о шахматном коне.) Можно ли, начиная с произвольного поля шахматной доски, обойти конем последовательно все 64 поля по одному разу и вернуться в исходное поле?

Выяснили, что пока неизвестно никакого простого критерия или алгебраического метода, позволяющего ответить на вопрос, существует или нет в произвольном графе G гамильтонов цикл.

Список использованных источников

1. Берж К. Теория графов и ее применения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

2. Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++. Алгоритмы на графах.— СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002.

3. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973

4. Ресурсы интернет: http://www.studfiles.ru/dir/cat14/subj266/file9941/view94323.html

Приложение 1. Историческая справка

Уи́льям Ро́уэн Га́мильтон (англ. William Rowan Hamilton; 4 августа 1805 — 2 сентября 1865) — выдающийся ирландский математик и физик XIX века.

Содержательный мемуар «On a general method in Dynamics», помещенные в «Philosophical Transactions» в 1834—1835 годах, заключает в себе самые важные открытия по механике и теории интегрирования систем дифференциальных уравнений, развитые потом Якоби. В этой работе Гамильтон привел систему дифференциальных уравнений (второго порядка) движущейся материальной системы к удвоенному числу дифференциальных уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде, и открыл новый метод получения решения этих уравнений, заключающийся в том, что нужно найти полный интеграл некоторого дифференциального уравнения с частными производными первого порядка и тогда искомые решения составятся по некоторым общим формулам без каких бы то ни было интегрирований.

Этот же мемуар указал возможность получения дифференциальных уравнений движения, исходя из нового принципа, названного принципом Гамильтона, являющегося развитием принципа наименьшего действия, установленного ранее Мопертюи, Эйлером и Лагранжем. Созданная им гамильтонова динамика оказалась в XX веке фундаментом теории микромира.

Гамильтону же принадлежит введение в механику особого наглядного приема изображения изменений величин и направлений скорости точки, совершающей какое-либо прямо— или криволинейное движение.

1837: аксиоматическая теория комплексных чисел как пар вещественных.

В ходе исследований Гамильтон попутно ввёл понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он ввел векторное произведение, предложил оператор набла. Интересно отметить, что оба главных открытия Гамильтона — новая формулировка механики и кватернионы — сыграли существенную роль в XX веке при возникновении квантовой механики, причем эта роль была не случайна. Во всяком случае, механику Гамильтон сознательно сформулировал в виде классического (коротковолнового) предела волновой теории (аналогично тому, как в его время геометрическая оптика была осознана как коротковолновый предел волновой оптики).