2 семестр / Сборник задач. Электричество и магнетизм

2.8. Тонкая длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью < 0.

Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние r от нити? Укажите направление вектора grad .

2.9. Тонкая длинная нить, равномерно заряженная с линейной плотностью 1 < 0, расположена на оси тонкостенного длинного цилиндра радиусом R. Цилиндр заряжен с

линейной плотностью заряда 2 = 1.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (R) = 0.

2.10. Длинный тонкостенный цилиндр радиусом R 5см равномерно заряжен по поверхности с плотностью заряда 6 10 9 Кл/м2.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

2.11. Три коаксиальных тонкостенных цилиндра заряжены с линейными плотностями

зарядов 1 > 0, 2 = –2 1 и 3 = 4 1. Радиусы цилиндров R1, R2, R3 соответственно. Длина системы много больше радиальных размеров.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

2.12. Объемный заряд постоянной плотностью 8 10 6 Кл/м3 имеет форму длинного цилиндра радиусом R 4 см.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

2.13. Длинный цилиндр радиусом R представляет собой скопление зарядов с объемной r

плотностью = 0 R , где 0 – заданная положительная константа, а r – расстояние от оси цилиндра.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

2.14. Объемный заряд постоянной плотностью < 0 имеет форму длинного цилиндра радиусом R1. Коаксиально цилиндру расположена цилиндрическая поверхность той же

длины. Радиус поверхности R2, поверхностная плотность заряда > 0. Суммарный заряд системы считайте положительным.

1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

11

2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

2.15. Большая плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью 6 10 9

Кл/м2.

1. Найдите зависимость проекции вектора напряженности на ось Х, перпендикулярную

плоскости, и постройте график Eх(х).

2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как функцию координаты и постройте график (х). Примите (0) = 0.

2.16. Три большие тонкие равномерно заряженные пластины расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Поверхностные плотности зарядов пластин 1, 2 и 3

зависимости Ех(х). Ось Х направлена перпендикулярно пластинам. Начало координат находится на первой пластине.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, найдите разность потенциалов между крайними пластинами.

3.Постройте график (х). Примите (0) = 0.

2.17. Объемный заряд постоянной плотностью имеет форму большого плоского слоя толщиной d.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на ось, перпендикулярную плоскому слою, и постройте график Eх(х).

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию координаты и постройте график (х). Примите (0) = 0.

2.18. Объемный заряд постоянной плотностью 2 10 8 Кл/м3 имеет форму

большого плоского слоя толщиной d 2 см. Справа на расстоянии b 1 см параллельно слою расположена большая тонкая пластина, равномерно заряженная с поверхностной

плотностью 8 10 10 Кл/м2.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности поля на ось Х, перпендикулярную поверхности слоя, и постройте график Eх(х).

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите разность потенциалов между серединой слоя и пластиной.

3.Постройте график (х). Примите (0) = 0.

4.Определите силу, действующую на единицу площади плоскости.

2.19.Сфера радиусом R равномерно заряжена положительным зарядом Q. Снаружи на расстоянии b от поверхности сферы расположен точечный заряд q того же знака.

1. Определите силу взаимодействия зарядов.

2. Рассчитайте работу сил поля по уменьшению расстояния между точечным зарядом и поверхностью сферы в три раза.

2.20.Шар радиусом R равномерно заряжен положительным зарядом Q. На продолжении радиуса шара расположен тонкий стержень длиной ℓ, по которому равномерно распределен заряд q. Расстояние от поверхности шара до середины стержня b.

12

Определите силу, действующую на стержень.

2.21. Две длинные параллельные нити, находящиеся на расстоянии b друг от друга, равномерно заряжены с линейными плотностями 1 > 0 и 2 = –2 1.

1.Определите силу, действующую на единицу длины каждой нити.

2.Рассчитайте работу внешних сил, отнесенную к единице длины, при увеличении расстояния между нитями в два раза.

произвольной точке с координатой x отрезка b (см. рис.).

Кзадаче 2.22

2.23.Тонкая длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью 1,2 10 8 Кл/м. Перпендикулярно нити расположен тонкий равномерно заряженный стержень. Длина стержня 8,0 см, заряд Q 2,0 10 10 Кл. Середина стержня расположена на

расстоянии b 5,0 см от нити.

Определите силу, действующую на стержень.

2.24.Тонкая длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью > 0. В одной

плоскости с нитью, под углом к ней расположен тонкий равномерно заряженный стержень. Длина стержня ℓ, заряд Q > 0. Середина стержня расположена на расстоянии b от нити.

Определите силу, действующую на стержень.

2.25.Потенциал электростатического поля в некоторой области зависит только от координаты х следующим образом: а) = а х + с; б) = – а х2 + с.

Определите напряженность такого поля как функцию координаты.

13

3.Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в среде

Для описания электрического поля в диэлектрике используют вектор электрического смещения и вектор поляризации (поляризованность). Теорема Остроградского-Гаусса для этих векторов имеет следующий вид:

,d своб ,

D S Qохв

,d связ .

P S Qохв

Связь между характеристиками поля определяется соотношениями:

где диэлектрическая проницаемость среды.

Рассмотрим в качестве примера поле, создаваемое большим равномерно заряженным по объему слоем диэлектрика с проницаемостью . Поставим задачу определения напряженности электростатического поля в произвольной точке, считая

известными объемную плотность заряда ( > 0) и толщину слоя d.

Sосн

Рис. 3.1

Для расчета напряженности электростатического поля целесообразно придерживаться следующего алгоритма:

1. Определить направление вектора E D E .

В нашем случае в каждой точке вектор напряженности будет направлен перпендикулярно поверхности слоя от средней плоскости (см. рисунок 3.1).

2. Выбрать систему координат.

14

Для определения положения точки в пространстве по отношению к бесконечной плоскости достаточно одной координаты. Введем ось Х (см. рисунок 3.2).

3. Обозначить области пространства, где напряженность подчиняется разным законам. Обозначим

внутри слоя – I снаружи слоя – II, III

горизонтально расположенный цилиндр, симметричный относительно средней плоскости слоя. Его основания должны иметь координаты х и – х (именно в этих точках будем определять вектор смещения). Поток через боковую поверхность такого

цилиндра равен нулю ( dS E ). Основания расположены симметрично относительно средней плоскости слоя напряженность поля одинакова во всех точках этих поверхностей.

Охваченный заряд – заряд, вырезанный из слоя поверхностью интегрирования,

т.е. заключенный внутри цилиндра с площадью основания Sосн и высотой 2х (см. рис. 3.2 а).

Qохвсвоб Sосн 2х .

Приравнивая поток и охваченный заряд, получим: 2D Sосн Sосн 2х ,

D х .

15

правилам, следовательно, и выражение для расчета потока вектора электрического смещения не изменится.

Охваченный заряд – заряд, вырезанный из слоя поверхностью интегрирования,

т.е. заключенный внутри цилиндра с площадью основания Sосн и высотой d (см. рис. 3.2 б).

5. Рассчитать зависимость потенциала от координаты x x

Расчет начинаем с выбора точки нулевого потенциала: пусть (0) 0 .

Нуль потенциала (опорная точка) выбран в I области, следовательно, расчет

Аналогично, для произвольной точки с координатой x d2

16

x d 2 d 2 x . 8 0 4 0 2 0

6. Построить графики.

На графиках изображают проекции векторов D и E на направление оси Х: Dx и Ex , а также распределение потенциала x .

I:Dx х ; Ex x . (При х < 0 проекции отрицательны.)

0

Замечания:

График x не может иметь разрывов!

Функция x возрастает, если Ex 0 , и убывает, если Ex 0 . График x гладкий, если график напряженности не имеет разрывов.

График x имеет изломы (углы), если график напряженности претерпевает разрыв (см. рис. 3.3).

17

3.1. Определите напряженность и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментом pe 4 10 12 Кл м на расстоянии r 10 см от центра диполя, в

направлении, составляющим угол 60 ° с вектором pe . Расстояние r много больше плеча диполя.

3.2. Два диполя с электрическими моментами pe1 1 10 12 Кл м и pe2 4 10 12 Кл м

находятся на расстоянии r 2 см друг от друга. Расстояние r много больше плеча каждого диполя.

Найдите силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой.

однородном электрическом поле напряженностью E 10 кВ/м.

1. Определите изменение потенциальной энергии диполя при его повороте на угол

60 °.

2. Рассчитайте момент силы, действующей на диполь в конечном положении.

3.4. Шар из диэлектрика ( = 3) радиусом R 4 см равномерно заряжен с объемной плотностью 8,7 10 9 Кл/м3.

1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженности поля на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал поля как функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите ( ) = 0.

3.Получите зависимость проекции вектора поляризации на радиальную ось и

постройте график Рr(r).

4.Определите объемную плотность связанных зарядов.

5.Найдите поверхностную плотность связанных зарядов.

3.5. Решите задачу 3.4 при условии, что диэлектрическая проницаемость шара меняется по закону 2 Rr .

3.6. Сфера радиусом R1 заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда > 0. С внешней стороны к сфере примыкает слой диэлектрика ( = 2) с внешним радиусом R2.

1.Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженности на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.

2.Определите поляризованность диэлектрика как функцию радиальной координаты и

постройте график Рr(r).

3. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

3.7. Длинный диэлектрический цилиндр ( = 3) радиусом R 4 см равномерно заряжен с положительной объемной плотностью 7 10 10 Кл/м3.

1.Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженности поля на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

3. Рассчитайте поляризованность диэлектрика как функцию радиальной координаты и

18

постройте график Pr(r).

3.8. Два коаксиальных тонкостенных цилиндра заряжены с линейными плотностями зарядов 1 > 0 и 2 = –2 1. Радиусы цилиндров R1 и R2 соответственно. С внешней

стороны ко второму цилиндру примыкает слой диэлектрика ( = 5) толщиной b. Длина системы много больше ее радиальных размеров.

1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженности поля на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

3.Рассчитайте поляризованность диэлектрика как функцию радиальной координаты и

постройте график Pr(r).

4. Найдите поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика.

3.9. Длинный цилиндрический слой из диэлектрика ( = 3) внутренним радиусом R1 и

внешним R2 равномерно заряжен с положительной объемной плотностью .

1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженности

поля на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.

2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите разность потенциалов между внутренней и внешней поверхностями диэлектрика.

3.10. Эбонитовая ( = 3) плоскопараллельная пластина помещена в однородное

перпендикулярны E0 .

1.Найдите модуль вектора электрического смещения поля внутри пластины.

2.Определите поверхностную плотность связанных зарядов на гранях пластины,

перпендикулярных E0 .

3.11. Большой плоский слой диэлектрика ( = 7) толщиной d равномерно заряжен по

объему с объемной плотностью .

1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения, напряженности

и поляризации Dх(х), Eх(х) и Рх(х), постройте их графики. Ось Х перпендикулярна плоскому слою. Начало координат совпадает с серединой слоя.

2. Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как функцию координаты и постройте график (х). Примите (0) = 0.

3.12. Пространство между обкладками плоского конденсатора наполовину заполнено

слюдой ( = 7). Разность потенциалов между обкладками U, расстояние d. Для двух случаев: а) граница слюда-воздух параллельна обкладкам; б) граница слюда-воздух перпендикулярна обкладкам

1.Найдите векторы электрического смещения и напряженности в слюде и в воздухе.

2.Определите величину скачков D и Е на границе слюда-воздух.

3.13. На плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d1 1,5 см, подается напряжение U 39 кВ.

1. Будет ли пробит конденсатор, если напряженность пробоя (ионизации) воздуха Е1 30 кВ/см?

19

2. Будет ли пробит конденсатор, если между его обкладками параллельно им ввести стеклянную пластинку ( = 7) толщиной d2 0,3см? Напряженность пробоя стекла Е2 100 кВ/см. При введении пластины конденсатор остается подключенным к источнику.

3.14. В пространстве, наполовину заполненном парафином ( = 2), создано однородное электрическое поле, напряженность которого в воздухе E0 2 106 В/м. Граница воздух-парафин плоская и образует угол = 60° с силовыми линиями поля в воздухе.

1.Определите модули векторов электрического смещения, напряженности поля и поляризованности в парафине и углы, которые они составляют с границей раздела сред.

2.Найдите плотность связанных зарядов на границе парафин-воздух.

3.15.В однородное электрическое поле помещен металлический шар. Изобразите силовые линии и эквипотенциальные поверхности поля внутри и вне проводника.

3.16.Два металлических шара радиусами R1 и R2 расположены на большом расстоянии друг от друга. Шары соединены тонким проводником. Первому шару сообщают заряд Q. Определите поверхностную плотность заряда на каждом шаре после удаления проводника.

3.17.Металлический шар радиусом R1 с зарядом Q находится в центре толстостенного металлического шарового слоя внутренним радиусом R2 и внешним R3.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности поля на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите ( ) = 0.

3. Рассчитайте поверхностную плотность индуцированного заряда на внутренней и внешней поверхностях шарового слоя.

3.18. Металлический шар радиусом R1 с зарядом Q1 находится в центре толстостенного металлического шарового слоя внутренним радиусом R2 и внешним R3. Заряд шарового слоя Q2 = –2 Q1.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности поля на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите ( ) = 0.

3. Рассчитайте поверхностную плотность заряда на внутренней и внешней поверхностях шарового слоя.

3.19. В условии задачи 3.18 пространство между проводниками заполнено

диэлектриком ( = 4).

1. Найдите зависимости проекций векторов электрического смещения и напряженности

на радиальную ось Dr(r) и Er(r) и постройте графики.

2. Определите поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика.

3.20. Металлический шар радиусом R1 окружен сферическим слоем фарфора ( = 6), примыкающим вплотную к шару и имеющим наружный радиус R2. Потенциал центра

шара 0 ( ( ) = 0).

Определите потенциал шара после удаления диэлектрика.

20