Дисперсия, ее основные математические свойства.
Основные математические свойства дисперсии сводятся к следующему:
Если индивидуальные значения признака уменьшить или увеличить на некоторое постоянное число А, то дисперсия не изменится
Если индивидуальные значения признака разделить или умножить на некоторое постоянное число К, то дисперсия, уменьшиться или увеличиться в K^2
Дисперсия, рассчитанная от постоянной А, всегда больше дисперсии, рассчитанной от средней, на вполне определенную величину – на квадрат разности между средней этой постоянной, т.е. ( )
Следствие из третьего свойства. Если постоянную приравнять к 0, то дисперсия будет равна разности между средним квадратом значений признака (
) и квадратом средней
33.Способы расчета дисперсии
Существуют два способа расчета дисперсии:
Способ моментов (условного нуля);
По четвертому свойству
Дисперсия альтернативного признака.
Альтернативными называются признаки, которые встречаются в двух вариантах, при этом наличие одного из них исключает наличие другого. Если признак присутствует то он принимает значение 1, если отсутствует 0
Вывод формулы
Варианты (x) |
1 |
0 |
Частоты (f) |
p |
q |
Для расчета дисперсии альтернативного признака необходимо рассчитать среднюю по формуле
При этом p+q=1
Теперь можно определить дисперсию альтернативного признака
Виды дисперсий и правило их сложения.
Общая дисперсия, для ее расчета используется исходная формула или упрощенные способы ее расчета. Она выступает мерой вариации признака по всей совокупности, обусловленной всеми факторами, определяющими колеблемость изучаемого признака.
Групповая дисперсия
используется для оценки вариации признака в данной группе, обусловленной всеми прочими факторами, кроме фактора, положенного в основание группировки.
Внутригрупповая дисперсия
выступает мерой вариации изучаемого признака по всей совокупности, обусловленной всеми прочими факторами, кроме фактора, положенного в основание группировки.
Межгрупповая групповая
используется для оценки вариации результативного признака, вызванной фактором, положенным в основание группировки.
Правило сложения дисперсий
Общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий
Правило сложений дисперсий положено в основу расчета коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения
Коэффициент детерминации
Коэффициент эмпирического корреляционного отношения
Правило сложения дисперсий альтернативного признака
Межгрупповая дисперсия альтернативного признака
Внутригрупповая дисперсия альтернативного признака
Использование правила сложения дисперсий в анализе связей. Расчет показателей оценки тесноты связи.
Правило сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, т.к. позволяет выявить значимость результатов от определенных факторов. На его основе вычисляются эмпирические корреляционные отношения, которые рассчитываются как отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии результативного признака.
Эмпирические корреляционные отношения показывают тесноту связи между признаками
Эмпирические корреляционные отношения принимает значение от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем больше влияние факторный признак оказывает на результативный, тем теснее между ними связь и наоборот.
0,1-0,3 – слабая; 0,3-0,5 – умеренная;0,5-0,7 – заметная
0,7-0,9 – высокая 0,9-0,99 – весьма высокая
Коэффициент детерминации рассчитывается как возведенные в квадрат эмпирические корреляционные отношения
Он характеризует долю общей колеблемости результативного признака, вызванную действие факторного признака положенного в основание группировки.