2. Схема однофакторного дисперсионного анализа

Схема проведения однофакторного дисперсионного анализа следующая.

1. Полученные данные заносят в таблицу, подобную табл. 9.1, где в верхней части по горизонтали указывают градации регулируемого фактора А, а по вертикали — номера испытаний. Данные группируют по столбцам, каждый из которых соответствует одному уровню фактора.

Таблица 9.1. Данные для однофакторного дисперсионного анализа

Номер испытания	Уровни фактора А
	А1	А2	...	Аj	...	Аm
1	x11	x12		x1j		x1m
2	x21	x22		x2j		x2m
...
i	xi1	xi2		xij		xim
...	...	...	...	...	...	...
n	xn1	xn2		xnj		xnm
Групповое cреднее			...		...

2. Вычисляют групповые выборочные средние

и общее выборочное среднее

,

где N = n · m.

3. Рассчитывают межгрупповую сумму квадратов, которая показывает отклонение групповых средних от общего выборочного среднего и определяется влиянием различных уровней фактора А:

.

Внутригрупповая сумма квадратов показывает отклонение наблюдений x_ij от соответствующих групповых средних и учитывает разбросы значений x_ij внутри каждой группы, вызванные случайными признаками при постоянном значении фактора А:

.

Общая сумма квадратов определяется по формуле:

или Q_общ = Q_факт + Q_ост.

4. Определяют числа степеней свободы:

• для межгруппового или факторного варьирования (отклонения):

f_факт = m – 1;

• для внутригрупповой или остаточной вариации:

f_ост = N – m;

• для общего варьирования:

f_общ = N – 1.

Следует отметить, что числа степеней свободы находятся между собой в определенных соотношениях:

f_общ = f_факт + f_ост.

5. Находят выборочные дисперсии как отношение сумм квадратов отклонений к соответствующим числам степеней свободы:

• факторная выборочная дисперсия:

;

• остаточная выборочная дисперсия:

;

• общая выборочная дисперсия:

.

6. Определяют эффективность влияния фактора А на результативный признак. Для этого сравнивают расчетный критерий Фишера и его табличное значение. Влияние фактора А считается значимым на уровне значимости α, если выполняется неравенство:

.

Значения F_табл(α; f₁, f₂) находят по таблице (см. табл. П8 и П9 в приложении) для заданного уровня значимости α, f₁ = m – 1 и f₂ = N – m. Если неравенство не выполняется, то влияние фактора А на результативный признак считается несущественным.

Результаты вычислений сводятся в табл. 9.2.

Таблица 9.2. Оформление результатов вычислений однофакторного дисперсионного анализа

Изменчивость	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Оценка дисперсий
Межгрупповая (факторная)	m – 1
Внутригрупповая (остаточная)	N – m
Общая	N – 1

Пример 9.1. Проверить, влияет ли степень тяжести хронической обструктивной болезни легких на объем форсированного выдоха за 1 с (в % должного) — табл. 9.3.

Таблица 9.3. Исходные данные для примера 9.1

Номер испытания	Степень тяжести заболевания
	легкая	средняя	тяжелая
1	70	61	45
2	75	56	49
3	74	62	50
4	80	60	45
5	72	53	47
6	76	52	42

Определим групповые выборочные средние:

;

;

;

Общая выборочная средняя:

.

Найдем суммы квадратов отклонений.

Определим число степеней свободы:

f_факт = m – 1 = 3 – 1 = 2;

f_ост = N – m = 6·3 – 3 = 15;

f_общ = N – 1 = 6·3 – 1 = 18 – 1=17.

Найдем выборочные дисперсии:

;

;

.

Расчетное значение F-критерия равно:

.

По таблице Фишера–Снедекора (см. таблицы в приложении) найдем:

F_табл(0,05; 2, 15) = 3,7; F_табл(0,01; 2, 15) = 6,4.

Поскольку F_расч > F_табл, то степень тяжести хронической обструктивной болезни легких достоверно влияет на объем форсированного выдоха с вероятностью 0,99.

При проведении экспериментальных исследований не всегда удается получить на каждом уровне фактора А одинаковое количество наблюдений. В этом случае рассмотренные формулы будут иметь несколько иной вид.

Пример 9.2. Исследовалось влияние различных режимов питания (фактор А) на увеличение массы экспериментальных животных (кг) (табл. 9.4). Проверить влияние фактора А на массу животных. Считать, что выборка взята из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями.

Таблица 9.4. Исходные данные для примера 9.2

Количество животных i	Уровни фактора А
	A1	A2	A3	A4
1	2,4	1,6	2,0	2,4
2	2,5	2,1	1,6	2,2
3	2,1	1,9	1,8	–
4	2,6	1,7	–	–
5	–	1,7	–	–
	2,4	1,8	1,8	2,3

Выборочные средние:

;

;

;

;

Для нахождения межгрупповой (факторной) суммы квадратов, учитывая неодинаковое количество испытаний, используют формулу:

,

где n₁ = 4; n₂ = 5; n₃ = 3; n₄ = 2; тогда:

Q_факт = 4 · (0,4)² + 5 · (–0,2)² + 3 · (–0,2)² + 2 · (0,3)² = 1,05.

Остаточная сумма квадратов равна:

Q_общ = 1,68 + 0,4 = 2,08.

Определим число степеней свободы:

 для факторного варьирования:

f_факт = m – 1 = 4 – 1 = 3;

 для остаточного варьирования:

f_ост  = N – m = 14 – 4 =10;

 для общего варьирования:

;

f_общ = N – 1 = 14 – 1 = 13.

Определим выборочные дисперсии:

 факторная выборочная дисперсия:

;

 остаточная выборочная дисперсия:

;

 общая выборочная дисперсия:

.

Вычислим расчетное значение F-критерия:

.

По таблицам найдем:

F_табл(0,05; 3, 10) = 3,71;

F_табл(0,01; 3, 10) = 6,55.

Поскольку F_расч > F_табл, то влияние различных режимов питания на массу экспериментальных животных значимо с вероятностью 0,99 (уровнем значимости α = 0,01).