Общая постановка задачи проверки гипотез

1. Формулируют (выдвигают) нулевую гипотезу об отсутствии различий между группами, об отсутствии существенно отличия фактического распределения от некоторого заданного, например, нормального, экспоненциального и др.

Сущность нулевой гипотезы : разница между сравниваемыми генеральными параметрами равна нулю, и различия, наблюдаемые между выборочными характеристиками, носят случайный характер, т.е. эти выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

2. Формулируют альтернативную гипотезу .

1. Задают уровень значимости . Уровень значимости - это вероятность ошибки отвергнуть нулевую гипотезу Н₀, если на самом деле эта гипотеза верна. При ошибка возможна в 5% случаев.

2. Для проверки нулевой гипотезы используют критерии.

Критерий – это случайная величина , которая служит для проверки Н₀. Эти функции распределения известны и табулированы. Критерий зависит от двух параметров: от числа степеней свободы и от уровня значимости a.

Фактическую величину критерия получают по данным наблюдения .

5. По таблице определяют критическое значение, превышение которого при справедливости гипотезы маловероятно .

6. Сравнивают и .

Если , то отвергают и принимают .

Если , то принимают .

Это для параметрических критериев.

Если использованы непараметрические критерии, то наоборот: если , то принимают .

7. Вывод: различие статистически значимо или незначимо.

Проверка гипотез относительно средних

Предположим, что надо сравнить состояние больных до и после лечения. Для этого сравнивают друг с другом две независимые выборки объемов и , взятые из нормально распределенных совокупностей с параметрами и . Дополнительно предполагаем, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой. По этим выборкам найдены соответствующие выборочные средние и и исправленные дисперсии и . Уровень значимости задан.

1. Выдвигаем нулевую гипотезу : .

2. Выдвигаем конкурирующую гипотезу : .

3. Для проверки H₀ можно использовать параметрический

критерий Стьюдента, если выполняются следующие требования:

(t-критерий)

Требования к критерию Стьюдента

• НЗР и

• 

Для проверки нулевой гипотезы в этом случае можно использовать критерий Стъюдента сравнения средних.

Величину критерия находим по формуле

.

Обычно расчет ведется на ЭВМ.

Доказано, что величина при справедливости нулевой гипотезы имеет t – распределение Стъюдента с f = n₁+n₂-2 степенями свободы.

4. По таблице находим (a, f = n₁+n₂-2).

3. Сравниваем и .

Если Различие незначимо.

Если отвергается и принимается . Различие достоверно.

Пример 6.1. По двум независимым малым выборкам объемов и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей и , найдены выборочные средние . Известно, что генеральные дисперсии примерно равны, т.е. . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу : , если .

Решение.

.

=>отвергаем .

Вывод: выборочные средние различаются значимо (a 0,05).