Задача 12

Мебельная фабрика изготавливает 5 видов продукции: столы, шкафы, диваны, кресла и кровати. Нормы затрат труда, древесины, ткани на производство единицы продукции каждого из видов приведены в таблице. В ней также указана стоимость реализации одного изделия, общее количество ресурсов, предельные объемы изготовления каждого вида мебели.

Ресурсы	Норма расхода ресурса на единицу продукции					Общее количество ресурсов
	Стол	Шкаф	Диван	Кресло	Кровать
Трудозатраты (человеко-час)	4	8	12	9	10	3456
Древесина	0,4	0,6	0,3	0,2	0,3	432
Ткань (м)	0	0	6	4	5	2400
Стоимость единицы продукции (руб)	2000	2500	4000	3500	3800
Выпуск (штук) минимальный	120	90	20	40	30
Выпуск (штук) максимальный	480	560	180	160	120

Требуется определить такой план производства, при котором стоимость ее реализации будет максимальной.

Задача 13

Продукция производится на трех предприятиях а затем развозится в 4 пункта назначения Стоимость перевозки единицы продукции, запасы и потребности продукции содержатся в таблице. Найти такой план перевозки продукции, при котором суммарные транспортные расходы минимальны.

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	5	4	3	4	160
	3	2	5	5	80
	1	6	3	2	60
Потребности	80	80	60	80

Решить задачу методом потенциалов.

РЕШЕНИЕ:

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные:

x₁₁ – количество груза из 1-го склада к 1-у потребителю.

x₁₂ – количество груза из 1-го склада к 2-у потребителю.

x₁₃ – количество груза из 1-го склада к 3-у потребителю.

x₁₄ – количество груза из 1-го склада к 4-у потребителю.

x₂₁ – количество груза из 2-го склада к 1-у потребителю.

x₂₂ – количество груза из 2-го склада к 2-у потребителю.

x₂₃ – количество груза из 2-го склада к 3-у потребителю.

x₂₄ – количество груза из 2-го склада к 4-у потребителю.

x₃₁ – количество груза из 3-го склада к 1-у потребителю.

x₃₂ – количество груза из 3-го склада к 2-у потребителю.

x₃₃ – количество груза из 3-го склада к 3-у потребителю.

x₃₄ – количество груза из 3-го склада к 4-у потребителю.

Ограничения по запасам:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ ≤ 160 (для 1 базы)

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ ≤ 80 (для 2 базы)

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ ≤ 60 (для 3 базы)

Ограничения по потребностям:

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ = 80 (для 1-го потребителя.)

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 80 (для 2-го потребителя.)

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ = 60 (для 3-го потребителя.)

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ = 80 (для 4-го потребителя.)

Целевая функция:

5x₁₁ + 4x₁₂ + 3x₁₃ + 4x₁₄ + 3x₂₁ + 2x₂₂ + 5x₂₃ + 5x₂₄ + 1x₃₁ + 6x₃₂ + 3x₃₃ + 2x₃₄ → min

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	5	4	3	4	160
2	3	2	5	5	80
3	1	6	3	2	60
Потребности	80	80	60	80

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 160 + 80 + 60 = 300

∑b = 80 + 80 + 60 + 80 = 300

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	5	4	3	4	160
2	3	2	5	5	80
3	1	6	3	2	60
Потребности	80	80	60	80

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

План начинается заполняться с верхнего левого угла.

Искомый элемент равен c₁₁=5. Для этого элемента запасы равны 160, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.

x₁₁ = min(160,80) = 80.

5	4	3	4	160 - 80 = 80
x	2	5	5	80
x	6	3	2	60
80 - 80 = 0	80	60	80

Искомый элемент равен c₁₂=4. Для этого элемента запасы равны 80, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.

x₁₂ = min(80,80) = 80.

5	4	x	x	80 - 80 = 0
x	2	5	5	80
x	6	3	2	60
0	80 - 80 = 0	60	80

Искомый элемент равен c₂₃=5. Для этого элемента запасы равны 80, потребности 60. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.

x₂₃ = min(80,60) = 60.

5	4	x	x	0
x	2	5	5	80 - 60 = 20
x	6	x	2	60
0	0	60 - 60 = 0	80

Искомый элемент равен c₂₄=5. Для этого элемента запасы равны 20, потребности 80. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

x₂₄ = min(20,80) = 20.

5	4	x	x	0
x	2	5	5	20 - 20 = 0
x	6	x	2	60
0	0	0	80 - 20 = 60

Искомый элемент равен c₃₄=2. Для этого элемента запасы равны 60, потребности 60. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.

x₃₄ = min(60,60) = 60.

5	4	x	x	0
x	2	5	5	0
x	6	x	2	60 - 60 = 0
0	0	0	60 - 60 = 0

Далее, согласно алгоритму, ищем элементы среди не вычеркнутых.

5	4	3	4	160
3	2	5	5	80
1	6	3	2	60
80	80	60	80

Искомый элемент равен c₁₃=3, но т.к. ограничения выполнены, то x₁₃=0.

	1	2	3	4	Запасы
1	5[80]	4[80]	3[0]	4	160
2	3	2	5[60]	5[20]	80
3	1	6	3	2[60]	60
Потребности	80	80	60	80

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 5*80 + 4*80 + 5*60 + 5*20 + 2*60 = 1240

Ответ:

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить к 2-у потребителю (20), к 3-у потребителю (60), к 4-у потребителю (80)

Из 2-го склада необходимо груз направить к 1-у потребителю (20), к 2-у потребителю (60)

Из 3-го склада необходимо весь груз направить к 1-у потребителю.