Задача 17

При производстве двух видов продукции и используются три вида сырья , , . Известны запасы каждого вида сырья: 40, 15 и 28. Для изготовления единицы продукции вида необходимо 3 ед. сырья , 2 ед. сырья вида и 4 ед. сырья вида . Производство единицы продукции вида требует затрат 5 ед. сырья вида , 1 ед. сырья вида и 1 ед. сырья вида . При реализации одной единицы продукции вида предприятие получает прибыль в 2 ден.ед, а при реализации одной единицы продукции вида прибыль составит 4 ден.ед. Требуется составить план выпуска продукции, при котором предприятие получит наибольшую прибыль.

РЕШЕНИЕ:

1) Составим математическую модель исходной задачи.

Представим исходные данные в виде таблицы:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на единицу продукции		Запасы сырья
	П1	П2
S1	3	5	40
S2	2	1	15
S3	4	1	28
Прибыль при реализации одной единицы продукции, ден.ед.	2	4

Объектом моделирования является процесс получения максимальной прибыли от реализации выпускаемой продукции, а целью – оптимизация структуры и объема производства.

Задача относится к классу оптимизационных задач. Математическая модель для задач такого класса состоит в построении целевой функции, для которой надо найти экстремум, при ограничениях.

Для решения поставленной задачи введем обозначения:

х₁ – объем производства продукции вида П₁;

х₂ – объем производства продукции вида П₂.

Общую прибыль от реализации продукции можно определить по формуле:

(ден.ед.)

Функция F называется целевой, ее следует максимизировать. Поэтому получаем:

На целевую функцию накладываются следующие ограничения:

а) объем производства продукции не может быть отрицательным:

x₁ 0, x₂ 0.

б) ограничение по запасам сырья вида S₁:

;

в) ограничение по запасам сырья вида S₂:

;

г) ограничение по запасам сырья вида S₃:

.

Математическая модель задачи: составить оптимальный план производства продукции (х₁, х₂), обеспечивающий максимальную прибыль при реализации продукции:

при ограничениях:

Математическая модель исходной задачи составлена.

2) Решим исходную задачу симплексным методом.

Приведем задачу к канонической форме.

Чтобы перейти от общей формы записи ЗЛП к канонической, нужно ограничения-неравенства исходной ЗЛП преобразовать в ограничения-равенства добавлением к их левой части дополнительной неотрицательной переменной со знаком «+» в случае неравенства вида «» и со знаком «-» - в случае неравенства вида «».

В первое ограничение системы добавим переменную со знаком «+», во второе ограничение системы добавим переменную со знаком «+» и в третье ограничение системы добавим переменную со знаком «+». В результате получаем следующую систему ограничений:

Следовательно, исходная задача может быть записана в канонической форме так: найти максимум функции

при ограничениях:

В полученной системе уравнений системы ограничений имеются три базисные переменные. Решим систему уравнений относительно базисных переменных x₃, x₄ и x₅. Запишем базисное решение в стандартной форме:

или

.

Составим симплекс-таблицу:

Базис	Свободный член	x1	x2	x3	x4	x5
x3	40	3	5	1	0	0
x4	15	2	1	0	1	0
x5	28	4	1	0	0	1
F(X0)	0	-2	-4	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация 1. Текущий опорный план не является оптимальным, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(х) выбираем максимальный отрицательный элемент. В качестве генерального столбца будет выступать x₂. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее:

.

Таким образом, строка х₃ является генеральной. Разрешающий элемент равен РЭ = 5 и находится на пересечении генерального столбца и генеральной строки.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₃ в план 1 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₃ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=5. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₂ записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана, включая элементы индексной строки, определяем по правилу прямоугольника.

Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент и записываем в соответствующей по номеру строке новой таблицы:

, при i = r.

Все остальные элементы новой таблицы рассчитываем по формулам:

, при i ≠ r

где - элемент новой симплекс-таблицы, a_ij, - элемент предыдущей симплекс-таблицы, a_rk - разрешающий элемент , a_ik - элемент разрешающего столбца, a_rj - элемент разрешающей строки.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Свободный член	x1	x2
40 / 5	3 / 5	5 / 5
15-(40 * 1)/5	2-(3 * 1)/5	1-(5 * 1)/5
28-(40 * 1)/5	4-(3 * 1)/5	1-(5 * 1)/5
0-(40 * (-4))/5	-2-(3 * (-4))/5	-4-(5 * (-4))/5

x3	x4	x5
1 / 5	0 / 5	0 / 5
0-(1 * 1)/5	1-(0 * 1)/5	0-(0 * 1)/5
0-(1 * 1)/5	0-(0 * 1)/5	1-(0 * 1)/5
0-(1 * (-4))/5	0-(0 * (-4))/5	0-(0 * (-4))/5

После перерасчета получаем новую таблицу:

Базис	Свободный член	x1	x2	x3	x4	x5
x2	8	0,6	1	0,2	0	0
x4	7	1,4	0	-0,2	1	0
x5	20	3,4	0	-0,2	0	1
F(X1)	32	0,4	0	0,8	0	0

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальное решение задачи.

Таким образом, получаем:

;

.

Ответ. ; . Для получения максимальной прибыли от реализации выпускаемой продукции на предприятии необходимо производить 8 единиц продукции вида П₂, а продукцию вида П₁ производить не требуется. При использовании данного плана выпуска продукции предприятие получит наибольшую прибыль, которая составит 32 ден.ед.

РЕШЕНИЕ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ: