Добавил:

BIV65 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Лекция_КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2023

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

	Рис. 1.29. Схема электрической	Рис. 1.30. Схема электрической цепи
		после коммутации в установившемся
	цепи
		режиме постоянного тока

Решаем полученную систему относительно искомой переменной ( ). Для этого выражаем через ( ) токи 1( ) и 2( ), используя второе и третье уравнения системы:

																			( )													( )
					( ) =				0			−										; ( )				=								.
					( ) =							−										; ( )				=								.
						1				1						1						2						2
										1						1												2
	Эти выражения подставим в первое уравнение и после элементарных
преобразований получим дифференциальное уравнение:
																			( )
							(				+						)					+ ( ) =									0		.
							(				+						)					+ ( ) =											.
								1							2															1
								1							2															1
	Решение дифференциального уравнения находим в виде
													( ) =								( ) +						.
																		св							вын
1. Характеристическое уравнение (																						+			) + 1 = 0 и его корень
1. Характеристическое уравнение (																				1		+			) + 1 = 0 и его корень
			1 2																	1				2
1	= −		1 2		определяет свободную составляющую
1	= −	(1+ 2)			определяет свободную составляющую
		(1+ 2)																						1 2
																						−		1 2
						св	( ) =							1				=				−	( 1+ 2)						= − ,
			(1+ 2)			св						1							1												1
где τ =			(1+ 2)		– постоянная времени для данной цепи.
где τ =					– постоянная времени для данной цепи.

		1		2

2. Вынужденную составляющую определим из схемы после коммутации в

установившемся

режиме

постоянного тока (рис. 1.30)

вын

уст

−

Полное решение

( ) =

Постоянную

интегрирования

определим из начальных

условий

) = (0_) =

0. При подстановке в полное решение

= 0 получим:

)

= 0.

Отсюда

= −

Окончательное

решение принимает вид:

( ) = 0 (1

− − ) ;

τ =

(1 + 2)

1 2

( )

Рис. 1.31. График зависимости

График

изменения тока

тока ( )

приведен на рис.1.31.

Пример 1.7.2

Для

цепи,

представленной

на

рис. 1.32, определить напряжение

( ) путем составления и решения дифференциального уравнения. Источник постоянного тока I0 подключается к разветвленной цепи с

емкостью Для определения независимых начальных условий воспользуемся

законом коммутации (0+) = (0−). Для этого изобразим схему в установившемся режиме постоянного тока до коммутации, в которой емкость должна быть представлена в виде обрыва (рис. 1.33).

Заметим, что искомое напряжение совпадает с напряжением на резистивном сопротивлении 2, через которое протекает ток . Ток можно

найти по правилу делителя тока в параллельной ветви:
	+ 2	3
= 0		=		0.
= 0	+ 2 + 2	=	5	0.				6
Напряжение найдем, используя закон Ома:					(0		) = 2 =	6	.
Напряжение найдем, используя закон Ома:					(0	−	) = 2 =	5	.
						−		5	0

Рис. 1.32. Схема электрической цепи Рис. 1.33. Схема электрической цепи

до коммутации в установившемся режиме постоянного тока

Цепь после коммутации представлена на рис. 1.34, а. Резистивные сопротивления в данной цепи включены между узлами 1 и 2 и соединены параллельно, заменим их одним эквивалентным сопротивлением:

э = 22 +2∙2 = .

Получившаяся после такого преобразования схема представлена на рис. 1.34, б.

Далее заменим генератор тока, представляющий собой параллельное соединение независимого источника тока 0 и резистивного сопротивленияэ = , эквивалентным генератором напряжения, представляющим собой последовательное соединение независимого источника напряжения с задающим напряжением 0 и резистивного сопротивления (рис. 1.34, в).

а)

б)

с)

Рис. 1.34. Схема электрической цепи после коммутации

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для получившегося контура:

( ) +

( ) =

( )

где

( ) =

После подстановки ( ) в уравнение по второму закону Кирхгофа

получим дифференциальное уравнение:

( )

+ ( ) = .

Решение дифференциального уравнения находим в виде

( ) =

св

( ) +

вын

1. Характеристическое уравнение + 1 = 0 и его корень = −

определяет свободную составляющую

( ) = 1 =

−

= − ,

св

где τ = – постоянная времени для данной цепи.

Вынужденную

составляющую

определим из схемы после коммутации

в установившемся режиме постоянного

тока (рис. 1.35)

уст

= .

вын

Полное решение:

Рис. 1.35. Схема электрической цепи

( ) =

− + .

после коммутации в установившемся

режиме постоянного тока

3.	Постоянную				интегрирования 1 определим														из начальных	условий
	(0		) = (0		) =	6	.		При				подстановке				в		полное решение	= 0
	(0	+	) = (0	−	) =	5	.		При				подстановке				в		полное решение	= 0
		+		−		5	0
получим:
									(0			)	=		+ =		6	.
									(0			)	=		+ =		5	.
											+		1		0		5		0
Отсюда						=		6 0		− =				0		.
Отсюда						=				− =						.
					1		5					0			5
							5								5
Окончательное					решение					принимает

вид:

( ) = 05 − + 0;

τ = .

График изменения тока ( ) приведен на рис.1.36.

Рис. 1.36. График зависимости напряжения ( )

Пример 1.7.3

Определить функцию тока через резистор R1 в схеме, представленной на рис. 1.37, после размыкания ключа, используя общую формулу (1.21):

i1(t) = i1(∞)+ [i1(0+) i1(∞)] e–t/ .

Параметры цепи: I0 = 3 A; R1 = R2 = R3 =10 Ом; C = 10–4Ф.

1. До коммутации в цепи был установившийся режим постоянного тока. Схема для этого режима изображена на рис. 1.38, из которой определим независимое начальное условие uC(0+) = uC(0–) . Заметим, что искомое напряжение совпадает с напряжением на резистивном сопротивлении R3. Ток через этот резистивное сопротивление проще всего определить, заменив источник тока I0 с параллельным сопротивлением R1 на источник напряжения U0 = I0R1 с последовательным сопротивлением R1. После этого образуется последовательная цепь и ток i3(0–) = I0R1 / (R1 + R2 +

R3),

а напряжение uC (0–) = I0R1R3 / (R1 + R2 + R3) = 10 В.

	Рис. 1.37. Схема электрической	Рис. 1.38. Схема электрической цепи
		до коммутации в установившемся
	цепи

режиме постоянного тока

2. Начальное значение i1(0+) определим из схемы рис. 1.39 для t = 0+ (ключ разомкнут), в которой известно напряжение uC (0+) = 10 В.

Из уравнений Кирхгофа имеем:

1(0+) + 2(0+) = 0;

1(0+) ∙ 1 − 2(0+) ∙ 2 = (0+) = 10 В.

Подставив значения R1 и R2 и решив полученную систему уравнений,

получим 1(0+) = 2 .

3. Установившееся значение искомой переменной в режиме постоянного тока в цепи после коммутации (рис. 1.40) равно 1уст = 0 =

3 .

4. Постоянная времени цепи = RЭC , где RЭ – определяется как эквивалентное сопротивление относительно зажимов реактивного элемента при удаленных источниках (разомкнутых источниках тока и замкнутых на коротко источниках напряжения) (рис.1.41).

i2(0+)

2уст

uC(0+)=10 В

uCуст

i1(0+)

i1уст

Рис. 1.39. Схема электрической цепи

Рис. 1.40. Схема электрической цепи

после коммутации в момент времени = 0+

после коммутации в установившемся

режиме постоянного тока

Из рис. 1.35 следует, что RЭ = R1 + R2 = 20 Ом.

Таким образом = 0,002 с. Функция искомого тока:

i1(t) = 3 + [2 3] e–500t = 3 e–500t.

График i1(t) изображен на рис. 1.42.

Рис. 1.41. Схема для определения RЭ

Рис. 1.42. График зависимости тока 1( )

Контрольные вопросы

1.Что такое переходный процесс? В каких цепях он возникает и почему?

2.Что называют начальными условиями задачи?

3.Сформулируйте законы коммутации. Каков их физический смысл?

4.От чего зависит порядок дифференциального уравнения цепи?

5.Когда режим в цепи называется свободным, когда вынужденным?

6.Чем отличаются дифференциальные уравнения, описывающие свободные и переходные колебания в цепи? Чем отличаются их решения?

7.Как находится характеристическое уравнение цепи по заданному дифференциальному уравнению?

8.Что называют постоянной времени цепи? Как от нее зависит длительность переходного процесса?

9.Как определяются постоянные времени RC- и RL-цепей?

10.Как практически оценивается время переходного процесса?

11.Как определяются и от чего зависят собственные (свободные) колебания в цепи?

12.Как определяются и от чего зависят вынужденные колебания в цепи?

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
17.06.2023455.46 Кб16ЛБ5_Компьютерный анализ частотных характеристик разветвлённых rc и rl цепей с использованием программы fastmean .docx
#
17.06.2023602.57 Кб3Лб5_КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗВЕТВЛЕННЫХ RC И RL ЦЕПЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ FASTMEAN .pdf
#
17.06.202360.96 Кб4ЛБ6.xmcd
#
17.06.2023151.93 Кб9ЛБ6_Компьютерный анализ частотных характеристик последовательного колебательного контура .docx
#
17.06.2023638.21 Кб1Лб6_КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ FASTMEAN.pdf
#
17.06.20231.23 Mб12Лекция_КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.pdf
#
17.06.202360.8 Кб3Наглядно_06.05.2020_ЛБ.xmcd
#
17.06.202363.48 Кб1Наглядно_21.05.2020_ЛБ.xmcd
#
17.06.20236.33 Mб3ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ_Бакалова.pdf
#
17.06.202327.22 Кб8Ответы_к_тесту_2.docx
#
17.06.202341.27 Кб8Отеты к тесту.docx