17. |
у = |
− 4x |
|
|
0 ≤ x ≤ 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 £ x £ 4 |
|
|||||||||
|
|
x - 4 |
|
|
|
|||||||||||
18. |
у = |
x3 |
|
|
- 5х - x × ln x на отрезке [1,5; 2] |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19. |
у = x4 + 8x3 - 6х2 - 72х + 90 на отрезке [1,5; 2] |
|||||||||||||||
20. |
у = x6 + 3x2 + 6х -1 на отрезке [− 1; 0] |
|||||||||||||||
21. |
у = |
x7 |
|
- x3 - |
x2 |
- x |
на отрезке [1; 1,5] |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
22. |
у = |
|
1 + x |
|
|
на отрезке [1,1; e] |
||||||||||
|
|
ln x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
23. |
у = e− x |
|
- Cos x на отрезке [− 2; 1] |
|||||||||||||
24. |
у = x3 - 2x2 - 7х + 4 |
на отрезке [− 0,5; 3] |
||||||||||||||
25. |
у = |
е− х |
|
|
|
на отрезке |
[0,1; 2] |
|||||||||
х |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
у =10е3 |
|
на отрезке [− 1; 2] |
|||||||||||||
26. |
х2 |
|||||||||||||||
27. |
у = |
х |
|
|
|
на отрезке |
[1,1; 4] |
|||||||||
ln x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
28.у = (2 + е− х )x на отрезке [− 1; 2]
29.у = ln(2 - Cosx) на отрезке [− 1; 2]
30.у = 3x2 - 6xSinx на отрезке [0;3]
31. |
у = 2 + 3 × Cos2x × Sin2x |
на отрезке |
[− 5; − 4] |
32. |
у = x4 + 2x2 - 8х + 16 |
на отрезке |
[3; 9] |
Раздел 3. Безусловная оптимизация функции многих переменных.
Задача 1.
Установить, являются ли выпуклыми множества U.
1) |
U = {(x1 , x2 ) | x1 x2 > 1, |
x1 > 0} |
|
|
||||||
2) |
U = {(x , x |
2 |
) | x |
2 |
³ x 2 |
} |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
3) |
U = {(x1 , x2 ) | x1 x2 < 1, |
x1 > 0, x2 > 0} |
||||||||
4) |
U = {(x , x |
2 |
) | x - x |
2 |
£ 2, |
x 2 + x |
2 |
£ 4} |
||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
5)U = {(x1 , x2 , x3 ) | x3 ³ x12 + x22 }
6)U = {(x1 , x2 , x3 ) | x12 + x22 £ 1}
7) |
U = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 + x3 £ 1, x1 ³ 0, x2 ³ 0} |
|||||||||
8) |
U = {(x , x |
2 |
, x |
3 |
) | x 2 |
+ |
x22 |
+ |
x32 |
³ 1} |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.
Убедиться в
1)f (x1 , x2 ) =
2)f (x1 , x2 ) =
3)f (x1 , x2 ) =
выпуклости функции f(x) во всем пространстве Εn.
4x12 + x22 - 2x1 x2 + 6x1 - x2 - 2
1 + x12 + x22
x12 + x22 - cos x1 − x2
2
Задача 3.
Указать множества U, на которых функции f(x) являются выпуклыми.
1)f (x) = x12
x2
2)f (x) = x12 + 2x22 - sin(x1 - x2 )
Задача 4.
При каких a, b и c функция f (x) = ax12 + bx1 x2 + cx является выпуклой.
Задача 5.
При каких значениях а функция f (x) = x12 + x22 + x32 + ax1 x выпукла в Е3.
Задача 6.
Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти её градиент Ñf(x(0))
в точке x(0) и убедиться в выпуклости f(x) в En.
f (x) = x2 |
+ 2x |
2 |
+ 3x2 |
+ 2x x |
2 |
- x x |
+ 2x + x , x(0) |
= (1;0;-1) |
||
1 |
|
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
|
Задача 7.
Найти экстремумы функций 2-х переменных: 1) z = x2 + xy + y2 - 3x - 6 y
111
2) z = xy2 (1 - x - y) (x > 0, y > 0)
3)z = xy + 50 / x + 20 / y (x > 0, y > 0)
4)z = x3 + 3xy2 -15x -12 y
5)z = (2x2 + y2 )e−( x2 + y2 ) .
Задача 8.
Совершить один шаг градиентного спуска из точки х(0) с шагом a0 и срав-
нить значения f(x(0) ) и f(x(1) ).
f (x) = x2 |
+ 2x |
2 |
+ e x1 + x2 , |
x(0) = (1;1), a)α |
0 |
= 0,1; |
б)α |
0 |
= 0,265; |
в)α |
0 |
= 0,5. |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9.
Показать, что градиенты Ñf(x(k) ) и Ñf(x(k+1) ) в последовательных точках итерационного процесса метода наискорейшего спуска ортогональны, т. е.
( f ¢(x(k ) ), f ¢(x(k +1) )) = 0, |
k = 0,1,... |
Задача 10.
Для функции f(x) найти величину шага α0 метода наискорейшего спуска из
точки х(0), если |
f (x) = 2x 2 |
+ x 2 + x x |
2 |
+ x |
+ x |
2 |
, |
x (0) |
= (0;0). |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Минимизировать методом наискорейшего спуска квадратичную функцию |
|||||||||||||||||||||||
|
f (x) = 7x 2 + 2x x |
2 |
+ 5x 2 + x -10x |
2. |
, |
заканчивая |
|
вычисления |
при |
|||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
¶f (x(k ) ) |
|
|
£ 0,01, |
|
i = 1,2,..., n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Минимизировать функцию |
f (x) = x 4 |
+ 2x 4 |
+ x 2 x 2 |
+ 2x |
+ x |
2 |
. методом со- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
пряженных |
|
|
направлений, |
|
|
|
|
заканчивая |
|
вычисления |
при |
|||||||||||||
|
¶f (x (k ) ) |
|
£ 10−3 , |
|
i = 1,2,..., n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13.
Показать, что точка минимума выпуклой квадратичной функции находится
с помощью одной итерации метода Ньютона из произвольного начального при-
ближения х(0) Rn.
Задача 14.
Построить линии уровня и траектории подъема.
1) |
f (x) = 6x |
|
+ 32x |
2 |
− x |
2 |
− 4x 2 |
→ min, |
x 0 = (7;4) |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||
2) |
f (x) = 2x |
2 |
|
− x 2 |
, |
|
x |
0 = (0;−1) |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
f (x) = 2(x |
|
− 1)2 |
+ 3(x |
2 |
− 2)2 |
, |
x 0 |
= (3;3) |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
f (x) = (x |
|
− 2)2 |
|
− (x |
2 |
− 3)2 , |
x 0 |
= (6;4) |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 15. (по вариантам)
1.Построить график поверхности заданной функции в трехмерной системе координат. Графически отобразить линии уровня функции.
2.Найти точку минимума аналитически.
3.Методом покоординатного спуска с точностью ε = 10−3 и ε = 10−5 .
4.Методом наискорейшего спуска.
5.Методом сопряженных градиентов.
6.Методом Ньютона.
7.Проверить вычисления при различных начальных векторах Х0 и просле-
дить зависимость числа итераций от выбора Х0 .
8.Графически представить траектории движения к экстремуму, полученные соответствующими методами.
9.Сравнить эффективность численных методов по числу итераций.
10.Выполнить задания для функций по вариантам и оформить отчет: (по-
становка проблемы, описание всех методов, результаты, выводы).
Варианты:
1. f ( X ) = 64х12 + 126х1х2 + 64х22 −10х1 + 30х2 + 13
113
2.f ( X ) = 2х12 − х1х2 + х22 − х1 − х2 + 1
3.f ( X ) = 129х12 − 256х1х2 + 129х22 − 51х1 −149х2 − 27
4.f ( X ) = х14 − 2х1х2 + х24 − х12 − х22
5.f ( X ) = 254х12 + 506х1х2 + 254х22 + 50х1 + 130х2 −111
6.f ( X ) = (х1 − 4)2 + 10(х2 − 5)2 − 5
7.f ( X ) = 151х12 − 300х1х2 + 151х22 + 33х1 + 99х2 + 48
8.f ( X ) = х12 + 2х22 − 4х1 − 4х2
9.f ( X ) = 85х12 + 168х1х2 + 85х22 + 29х1 − 51х2 + 83
10.f ( X ) = 16(х1 + 5)4 + 3(х2 −1)2
11.f ( X ) = 211х12 − 420х1х2 + 211х22 −192х1 + 50х2 − 25
12.f ( X ) = х12 + 10х22 − 4х1 −11х2
13.f ( X ) = 194х12 + 376х1х2 + 194х22 + 31х1 − 229х2 + 4
14.f ( X ) = (х1 − 2)4 + 300(х2 + 2)2
15.f ( X ) = 45х12 − 88х1х2 + 45х22 + 102х1 + 268х2 − 21
16.f ( X ) = 99х12 + 196х1х2 + 99х22 − 95х1 − 9х2 + 91
17.f ( X ) = х13 + х23 − 3х1 x2
18.f ( X ) = 20(х1 − 4)4 + 300(х2 − 5)2
19. f ( X ) = х12 + х1 х2 + х22 + х1 − х2 + 1
20.f ( X ) = 2х12 + 4х1 х2 + 8х22 + 100
21.f ( X ) = х14 − 2х1 х2 + х24 + x12 − x22
114
Раздел 4. Условная оптимизация функции многих переменных.
Задание 1. Определить глобальные экстремумы функций на множестве:
Решить задачи по вариантам.
1. z = x12 + x22
при условиях:
3x1 + 4x2 £ 24 |
||
|
x1 |
³ 0 |
|
||
|
x2 |
³ 0 |
|
2. z = (х1 - 2)2 + (х2 - 3)2
при условиях:
x |
+ 2x |
|
£12 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
x1 + х2 £ 9 |
|||
|
|
x1 ³ 0 |
||
|
|
х2 ³ 0
3. z = (х1 - 4)2 + (х2 - 6)2
при условиях:
2x1 + 3x2 £ 12 |
||
|
|
x1 + х2 ³1 |
|
|
|
|
|
x1 ³ 0 |
|
|
|
|
х2 ³ 0 |
|
|
||
4. |
z = х1 × х2 |
при условиях: |
|||||
2x1 + x2 £10 |
|||||
x |
+ x |
2 |
£ 6 |
||
1 |
|
|
|
³ 2 |
|
x |
+ 2х |
2 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
x1 ³ 0 |
||||
|
³ 0 |
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5. z = 2х1 + 3х2 - 2х12
при условиях:
x |
+ 2x |
|
£ 4 |
|
|
1 |
|
2 |
|
x1 + х2 £ 2 |
||||
|
|
x1 ³ 0 |
||
|
|
|||
|
х2 |
³ 0 |
|
|
|
|
|
6. z = (х1 - 6)2 + (х2 - 2)2
при условиях:
x1 + 2x2 £ 83x1 + х2 £15
x1 + x2 ³ 1x1 ³ 0х2 ³ 0
7. z = x1 + 3x2
при условиях:
(х - 5)2 |
+ (x |
2 |
- 3)2 |
³ 9 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
(х1 - 5)2 |
+ (x2 - 3)2 £ 36 |
|||||
|
x1 + x2 ³ 8 |
|
||||
|
|
|||||
|
|
x1 |
³ 0 |
|
||
|
|
|
||||
|
|
х2 |
³ 0 |
|
||
|
|
|
8. z = 2(х1 - 5)2 + (х2 - 7)2
при условиях:
|
x1 + x2 £ 9 |
|
|
x1 + 2х2 £19 |
|
|
x1 ³ 0 |
|
|
|
х2 ³ 0 |
|
115
9. z = 2х1 + х2 - х12
при условиях:
3x1 + 2x2 £12 |
|
|
x1 ³ 0 |
|
|
|
0 £ x2 £ 3 |
|
10. z = 2(х1 - 7)2 + 4(х2 - 3)2
при условиях:
x1 |
+ 2x2 |
³ 2 |
|
|
|
||
x |
+ х |
|
£ 6 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2x1 + x2 £10 |
|
|
|
||||
|
x1 ³ 0 |
|
|
|
|||
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
||
11. z = x1 + x2 |
|
|
|
||||
при условиях: |
|
|
|||||
(х - 5)2 |
+ (x |
2 |
- 3)2 |
³ 9 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(х1 - 5)2 + (x2 - 3)2 £ 36 |
|||||||
|
|
|
x1 + x2 ³ 8 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x1 ³ 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
х2 ³ 0 |
|
||
|
|
|
|
|
12. z = x1 × x2
при условиях:
x1 + 2x2 ³ 2x1 + х2 £ 62x1 + x2 £10x1 ³ 0
х2 ³ 0
13. z = 2х |
+ 3х |
2 |
- 0,2х2 |
- 0,2х2 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
при условиях: |
|
|
||||||
x |
+ 3x |
|
£13 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2x1 + х2 £10 |
|
|
|
|
||||
|
x1 ³ 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. z = x1 + x2 |
|
|
|
|
||||
при условиях: |
|
|
||||||
(х - 5)2 |
+ (x |
2 |
- 3)2 ³ 9 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
(х1 - 5)2 + (x2 - 3)2 £ 36 |
||||||||
|
|
x1 + x2 ³ 8 |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x1 ³ 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
х2 ³ 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
15. z = 3х |
+ 6х |
2 |
- 0,3х2 |
- 0,3х2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
при условиях: |
|
|
|||
9x1 + 8x2 £ 72 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x1 + 2х2 £10 |
|
|
|
||
|
x1 ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х2 ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. z = 3х + у |
|
|
|
||
при условиях: |
|
|
|||
|
х2 + у2 £ 40 |
|
|
|
|
|
х2 + у2 ³ 4 |
|
|
|
|
|
x1 ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 ³ 0
116
17. z = x1 × x2 |
19. z = 2 - х2 |
- х2 |
|
1 |
2 |
при условиях: |
- 3)2 ³ 9 |
при условиях: |
||||||||||
(х - 5)2 + (x |
2 |
|
х |
|
£ 4 - х |
2 |
|
|||||
|
1 |
|
|
- 3)2 £ 36 |
|
|
|
|
||||
(х - 5)2 + (x |
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|||||
|
1 |
|
|
х1 + х2 ³1 |
||||||||
|
|
x1 + x2 ³ 8 |
|
|
|
x ³ 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x1 ³ 0 |
х2 ³ 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
х2 ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
20. z = х2 - х12 |
|||||||
18. z = (х1 - 3) |
|
+ 2(х2 - 2) |
при условиях: |
|||||||||
при условиях: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
х1 + 4х2 £16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3х1 + х2 £15 |
|
|
|
|
|
2 |
|
£ 3 |
||||
|
x1 |
³ 0 |
|
|
|
2x1 + 3х2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 ³ 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х2 ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
£ x1 £ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.
Исследуйте на условный экстремум методом исключения части перемен-
ных функцию:
а) u = x2 + y 2 при условии связи x + y =1;
|
a b |
|
|
|
|||
б) u = x + y при условии связи |
1 |
+ |
1 |
= |
1 |
; |
|
x2 |
|
a2 |
|||||
|
|
y |
2 |
|
|
||
в) u = x × y при условии связи x2 + y 2 |
=1; |
|
|
г) u = x2 + y 2 + 2z при условии связи x − y + z = 1;
д) u = x − 2 y + z при условии связи x + y 2 - z 2 =1;
е) u = x × y 2 × z3 при условии связи x + 2 y + 3z = 6 , (x > 0, y > 0, z > 0) ;
ж) u = x − 2 y + 2z при условии связи x2 + y 2 |
+ z 2 =1. |
|||||||||
Ответ: а) umin |
= u( |
|
ab2 |
, |
a2b |
|
) = |
a2b2 |
; |
|
a |
2 + b2 |
a2 + b2 |
a2 + b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
117 |
|
|
б) umin = u( |
2 |
a, |
2 |
a) = 2 |
2 |
a ; umax = u(− |
|
2 |
a, − |
|
2 |
|
a) = −2 |
2 |
a |
|||||||||||
в) umax = 0,5 в точках (1 |
|
|
|
|
|
|
) и (−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2, 1 |
2 |
|
2, − 1 |
2) ; |
|
|
||||||||||||||||||||
umin = −0,5 в точках (−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2, 1 |
2) и (1 |
2, − 1 |
2) ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
г) umin = u(0,4;−0,4, 0,2) = 0,4 |
; д) нет точек экстремума; |
|||||||||||||||||||||||||
е) umax = u(1, 1, 1) = 1 ;ж) umin |
= u(− 1 3, 2 3, − 2 3) |
= −3 ; |
umax = u(13, − 23, 23) = 3
2. Исследуйте на условный экстремум методом Лагранжа:
а) функцию u = x × y × z при условии связи x2 + y 2 + z 2 = 3
б) функцию u = x × y × z при условиях связи x2 + y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 0 .
Ответ: а) umin = −1 в точках (-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1),(-1,-1,-1), umin = −1 в точках (1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1,-1,-1);
б) umin = − 1(36) в точках (16, 16, − 26) , (16, − 26, 16) ,
(− 26, 16, 16)
umax = 1(36) в точках (− 16, −6, 26) , (−16, 26, − 16) ,
(26, − 16, − 16)
118
Библиография
1.Кремер Н.Ш. Исследование операций для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2006.
2.Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2007.
3.Гончаров В.А. Методы оптимизации: учеб. пособие для студентов вузов по спец. 010501(010200) «Приклад. математика и информатика», 230105(220400) «Програм. обеспечение вычислит. техники и автоматизир. систем» / В. А.
Гончаров. – М. : Юрайт : Высш. образование, 2010.
4. Базара, Шетти. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. – М.:
Мир, 1982.
5. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы оптимизации. –
М.: Высш. шк., 1983.
6. Пантелеев А. В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:
учебное пособие, 2-е издание – М.: Высш. шк. , 2005, – 544 с.
7. Аттетков А. В. , Зарубин В. С., Канатников А. Н. Введение в методы опти-
мизации : учебное пособие. – М. : Финансы и статистика, 2014.
8.Васильева О. А. , Ларионов Е. А., Лемин А. Ю., Макаров В. И. Методы оп-
тимизации : учебное пособие. – М. : Московский государственный строи-
тельный университет, ЭБС АСВ, 2014.
9.Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт: Практическая оптимизация .– М.: Мир, 1985.
10.Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:
Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2002, -544 с.
119