Задача 11.
Найти частные производные первого и второго порядков от функции z = ln(x2 - y2 ) .
Считая последовательно постоянной y, затем x, и применяя правило диф-
ференцирования сложной функции, получим:
∂z = |
|
1 |
× (x2 - y2 )¢ |
= |
2x |
, |
|
- y2 ) |
x2 - y2 |
||||
¶x (x2 |
x |
|
|
∂z |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
× (x2 - y |
2 )¢ |
|
= - |
|
|
|
2 y |
|
. Дифференцируя вторично, получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 - y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶y (x2 - y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
¶2 z |
= |
¶ |
¶z |
= |
¶ |
|
|
2x |
|
|
|
|
= 2 |
(x2 |
- y2 ) - x × 2x |
= -2 |
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
¶x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- y |
2 |
|
|
(x |
2 |
- y |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
- y |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶x |
¶x |
|
¶x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶2 z |
|
|
|
|
¶ |
|
¶z |
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(-2 y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2x |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¶y |
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- y |
2 |
|
(x |
2 |
- y |
2 |
) |
2 |
|
|
(x |
2 |
- y |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶x¶y |
|
|
|
|
|
|
¶y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶ |
2 |
z |
|
|
|
¶ |
|
|
¶z |
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
= |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
= -2 y |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
- y |
2 |
|
(x |
2 |
- y |
2 |
) |
2 |
|
|
(x |
2 |
- y |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶y¶x |
|
|
¶x |
¶y |
|
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶2 z |
= |
|
¶ |
¶z |
= |
|
¶ |
- |
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
= -2 |
(x2 - y2 ) - y(-2 y) |
|
= -2 |
|
x2 + y2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
¶y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
- y |
2 |
|
|
|
|
(x |
2 |
- y |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
- y |
2 |
) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶y |
¶y |
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.
Найти дифференциал функции f (x, y, z) = x2 y3 / z4 .
Первый способ. По формуле (5.4): ¶f |
= |
2xy3 |
, |
¶f |
= |
3x2 y2 |
, |
¶f |
= - |
4x2 y3 |
|
|||||||||||||
z |
¶y |
|
¶z |
z5 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
z4 |
|
||||||||
df (x, y, z) = |
2xy3 |
dx + 3 |
3x2 y2 |
|
dy - |
4x2 y3 |
dz = xy2 (2 yzdx + 3xzdy - 4xydz) / |
|||||||||||||||||
|
z4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z4 |
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5): |
||||||||||||||||||||||||
df (x, y, z) = d (x2 y3 × |
1 |
) = |
1 |
|
d (x2 y3 ) + x2 y3d ( |
1 |
) = ( y3 × 2xdx + x2 ×3y2dy) |
|||||||||||||||||
z4 |
z4 |
z4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+x2 y3 × (-4dz / z5 ) = xy2 (2 yzdx + 3xzdy - 4xydz) / z5 .
,
z5 .
/ z4 +
90
Задача 13.
Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f (x, y) .
По формуле (5.4): df = fx′dx + f y′dy . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3,
считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):
d 2 f = d (df ) = d ( f ′dx + f |
′dy) = ( f ′dx + f ′dy)′ dx + ( f ′dx + f |
′dy)′ dy = |
||||||||
|
|
x |
y |
x |
y x |
x |
|
|
y y |
|
= f ′′ |
(dx)2 + 2 f ′′dxdy + f ′′ |
(dy)2 ; |
|
|
|
|
|
|
||
xx |
xy |
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
d 3 f = d (d 2 f ) = ( f ′′ |
(dx)2 |
+ 2 f ′′dxdy + |
f ′′ (dy)2 )′ dx + ( f ′′ |
(dx)2 + 2 f ′′dxdy + |
||||||
|
|
xx |
|
xy |
|
yy |
x |
xx |
|
xy |
+ f ′′ |
(dy)2 )′ dy = |
f ′′′ |
(dx)3 |
+ 3 f ′′′ |
(dx)2 dy + 3 f ′′′ dx(dy)2 |
+ |
f ′′′ |
(dy)3. |
||
yy |
y |
xxx |
|
xxy |
|
xyy |
|
|
yyy |
|
Задача 14.
Даны функция u=x2+y2+4x-6y+1, точка M0(-1,2) и вектор a = 4i − 3 j .
1.Найти градиент функции в точке М0 и наибольшую скорость изменения функции в точке М0. Построить градиент.
2.Вычислить производную функции в точке М0 по направлению вектора a .
3.Составить уравнение линии уровня функции и построить ее график при а=4.
Решение.
Градиентом функции u=f(x,y) в точке М0(х0,у0) называется вектор, коорди-
наты которого равны значениям частных производных функции в точке М0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
grad |
|
f (M |
|
) = |
du |
|
; |
du |
|
|
|
. |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dx |
|
M 0 dy |
M |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем значение частных производных функции в точке М0(-1, 2):
du |
= (x 2 + y 2 + 4x − 6 y + 1)′ |
= 2x + 4; |
du |
|
|
||
dx |
x |
|
dx |
|
|
du |
= (x 2 + y 2 + 4x − 6 y + 1)′ |
= 2 y − 6; |
du |
|
|
||
dy |
y |
|
dy |
|
|
M 0 (−1,2)
M 0 ( −1,2)
=2;
=−2;
Вектор gradf (M 0 ) = 2i − 2 j указывает направление наискорейшего воз-
растания функции f в точке М0.
91
Наибольшая скорость возрастания функции f равна модулю градиента:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
gradf (M |
|
) |
= |
du |
|
|
|
+ |
du |
|
|
|
= 22 + (−2) 2 = 2 2. |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
M 0 |
|
M |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим градиент, начало которого находится в точке М0(-1, 2):
у
М0
-1 |
0 |
1 |
|
|
х |
Задача 15.
Классический метод минимизации.
Решить задачу f (x) = x21 + x22 + x23 +x1 – x3 – x2x3 → min.
Шаг 1. Запишем систему:
|
df |
= 2x + 1 = 0 ; |
df |
= 2x |
2 |
− x = 0 ; |
df |
= 2x − 1 − x |
2 |
= 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
dx2 |
3 |
|
|
dx3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
Решив ее, получим стационарную точку |
x0 |
= |
− |
, |
, |
. |
||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
"(х0 |
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Шаг 2. Находим гессиан f |
) = |
|
0 |
2 |
|
|
. Так как, согласно крите- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
рию Сильвестра, эта матрица положительно определена, заключаем, что х0 яв-
ляется точкой минимума функции f (x).
Минимальное значение f *≈ f (х0 )= –19/12.
92
Задача 16.
Найти локальный экстремум функции z = x3 + y3 - 3xy .
Решение. Находим частные производные функции:
z |
' |
= 3x 2 − 3y; z |
' |
= 3y 2− 3x |
|
x |
|
y |
|
Приравниваем частные производные к нулю:
3x2 |
- 3y = 0 |
|
|
2 |
- 3x = 0 . |
3y |
||
|
|
|
Решаем систему уравнений:
|
2 |
- 3y = 0 |
3x |
|
|
|
2 - 3x = 0 |
|
3y |
||
|
|
|
Ûy = x23x4 - 3x
|
2 |
|
y = x |
|
-1) = 0 |
Û |
|
|
= 0 3x (x3 |
||
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
Û |
y = 0 |
x =1 |
|
|
|
|
y =1 . |
|
|
Имеем две стационарные точки (0,0) и (1,1).
Найдем вторые частные производные:
zx''2 = 6x, zxy'' = -3, zyx'' = -3, zy2''= 6 y .
Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель D и применяем достаточные условия экстре-
мума.
'' |
(0,0) |
|
|
|
|
|
'' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'' |
|
'' |
|
||||
a11 = zx2 |
= 0, a12 = zxy (0,0) = −3, |
|
|
|
a21 = zyx (0,0) = −3, a22 |
= zx2 (0,0) = 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
D = |
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
= |
|
|
0 -3 |
|
|
= 0 × 0 - (-3) ×(-3) = -9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
-3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'' |
(1,1) = 6, a12 |
'' |
|
(1,1) = -3, |
'' |
|
'' |
= 6 |
|||||||||||||||
a11 = zx2 |
= zxy |
|
|
|
a21 = zyx (1,1) = -3, a22 |
= zx2 (1,1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
D = |
|
a11 |
a12 |
|
= |
|
|
6 -3 |
|
= 6 × 6 - (-3) ×(-3) = 27 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
-3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточные условия экстремума функции двух переменных:
А) Если >0 и а11<0 (a22<0), то в точке функция имеет максимум; если
>0 (a22>0), то в точке минимум.
93
Б) Если <0, то экстремума нет.
В) Если =0, то вопрос об экстремуме остается открытым.
В точке (0,0) D<0, значит, экстремума нет. В точке (1,1) D>0 и а11>0, следо-
вательно, точка (1,1) является точкой минимума функции. Вычислим значение функции в этой точке.
z(1,1) = 1 + 1 − 3 = −1
Ответ: (1,1) – точка минимума, z(1,1) = −1.
Задача 17.
Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 - 3xy .
Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем сис-
z¢ = 3x2 - 3y = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 (0;0), |
|||||
тему x |
|
|
решая которую получаем критические точки |
||||||||||||||
z¢y = 3y2 - 3x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 (1;1) . Определим характер критических точек по достаточным условиям экс- |
|||||||||||||||||
тремума. Находим z′′ |
(x, y) = 6x, z′′ (x, y) = −3, |
z′′ |
(x, y) = 6 y . В точке |
M |
(0;0) : |
||||||||||||
|
|
xx |
|
|
xy |
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
′′ |
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
= -9 < 0 . Следо- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
zxx (M1 ) = 0 , |
zxy (M1 ) = −3 , |
|
zyy (M1 ) = 0 , D = zxx × zyy - (zxy ) |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 (0;0) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вательно, M |
1 |
(0;0) – седловая точка. В точке M |
2 |
(1;1) : z′′ |
(M |
2 |
) = 6, |
z′′ (M |
2 |
) = −3 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
xy |
|
|
|
||||
′′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zyy (M 2 ) = 6 , |
|
D = 6 × 6 - |
(-3) |
= 27 > 0 , поэтому M 2 (1;1) – точка минимума функ- |
|||||||||||||
|
|
ции z; zmin = z(M 2 ) = −1.
Задача 18. (минимизация функции нескольких переменных методом
Ньютона).
Минимизировать функцию f (х) методом Ньютона с заданной точностью
ε = 10−3 .
f (х) = х12 + 2х22 + х12 х22 + х32 + ехр(х22 + х32 ) - х2 + х3
Решение.
94
Итерационная формула метода Ньютона для минимизации функции трех
переменных имеет вид:
х |
[ j +1] |
|
х |
[ j ] |
|
−1 (f (х , х |
|
, х )[ j ])Ñf (х , х |
|
|
|
|
|||
|
х1 |
|
= |
|
х1 |
|
- Н |
2 |
2 |
, х |
3 |
)[ j ]. |
|||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|||
|
х3 |
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем градиент и матрицу Гессе функции
|
|
|
|
|
|
¶2 f |
|
|
|
|
|
¶2 f |
|
|
|
|
|
|
¶2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
¶x |
2 |
|
|
|
|
|
¶x1¶x2 |
|
|
|
¶x1¶x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
¶ |
2 |
f |
|
|
|
|
|
¶ |
2 |
f |
|
|
|
|
|
|
¶ |
2 |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
H ( f ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
¶x2¶x1 |
|
|
|
|
|
|
¶x2¶x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶ |
2 |
f |
|
|
|
|
|
¶ |
2 |
f |
|
|
|
|
|
|
¶ |
2 |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
¶x ¶x |
|
|
|
|
¶x ¶x |
2 |
|
|
|
|
¶x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂f |
= 2x + 2x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
¶x1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂f |
= 4x |
|
|
|
+ 2x |
2 x |
|
+ 2x |
|
|
× exp(x |
2 + x |
2 )-1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
¶x2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂f |
= 2x |
|
|
|
+ 2x |
|
|
|
× exp(x |
2 |
+ x2 )+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
¶x3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Составим градиент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x |
+ 2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ñf = 4x2 + 2x12 x2 + 2x2 |
|
× exp(x22 + x32 )-1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x |
+ 2x |
|
|
× exp(x |
2 |
+ x |
2 |
) |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¶2 f |
= 2 + 2x22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
¶x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¶2 f |
= 4 + 2x |
2 |
|
+ 2 × exp(x |
2 + x2 )+ 4x2 |
× exp(x |
2 |
+ x |
2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
¶x22 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
¶2 f |
= 2 × exp(x |
2 |
+ x2 )+ 4x2 |
× exp(x2 |
+ x |
2 )+ 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
¶x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95
¶2 f |
|
= 4x x |
2 |
, |
|
|
¶2 f |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
¶x1¶x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
¶x1¶x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¶2 f |
= 4x |
2 |
x |
|
× exp(x2 |
+ x2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
¶x2¶x3 |
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2x 2 |
|
|
+ 2 × exp(x |
|
4x x |
2 |
2 × exp(x |
|
|
2 ) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
H ( f ) = |
4x x |
2 |
|
|
4 + 2x2 |
2 |
+ x |
2 )+ 4x |
2 |
+ x |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4x2 x3 × exp(x2 + x3 ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
4x x × exp(x2 + x2 )
× ( 2 + 2 23)+ 2 ×2 (32 + 2 )+
2 exp x2 x3 4x3 exp x2 x3
2
Первая итерация.
|
|
|
|
х |
[0] |
|
0 [0] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть х2 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Н[0] = |
|
|
|
4 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
2 0 |
= 0 6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
4 |
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
24 |
0 |
0 |
0,5 |
|
0 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Н [0] ) |
|
= |
|
|
0 |
8 |
0 » |
0 |
|
0,16667 |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
48 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0,25 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñf [0] = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
х |
[1] |
|
|
х |
[0] |
|
|
|
|
|
|
, х )[0])Ñf (х , х |
|
, х )[0] |
||||||||
|
х1 |
|
= |
|
х1 |
|
- Н −1 (f (х , х |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
3 |
||||
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
х |
[1] |
|
|
0 [0] |
|
1 |
|
24 0 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
= |
0 |
|
|
- |
|
|
0 8 |
0 × |
-1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
96
|
х |
|
[1] |
|
|
|
|
|
|
0 [0] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
х2 |
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
- |
|
|
× |
|
|
|
- 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
48 |
|
- 0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проверим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
¶f (х[k ]) |
|
|
£ 0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × 0 |
+ 2 × 0 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
¶f (х[1] ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 × |
|
|
|
+ 2 × 0 × |
|
|
|
|
|
+ 2 × |
|
|
|
× exp |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
-1 |
= |
|
× exp |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
6 |
36 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 × |
|
|
|
- 2 |
× |
|
|
|
|
× exp |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
× exp |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
144 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
¶f (х |
[1] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
+ |
|
× |
|
-1 + exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
1 |
- exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
× |
1 |
- exp |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
× 1 |
- exp |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
1 - exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
» 0,056774 ³ 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вторая итерация. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
х |
|
[1] |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0555 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Н[1] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,3105 |
|
|
|
− 0,1824 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0,1824 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,46257 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
0,486486 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(Н[1]) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,15865 |
|
0,006485 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,006485 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,224351 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Ñf [1] = |
0,031493 |
|
|
- 0,04724 |
|
|
|
Подставим
х |
[2] |
|
|
|
х |
[1] |
- Н −1 (f (х , х |
|
, х )[1])Ñf (х , х |
|
, х )[1] |
|
|
|
|
||||||||||||
|
х1 |
|
|
= |
|
х1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х |
[2] |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
[1] |
|
0,486486 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
- |
0 |
|
|
|
0,15865 |
0,006485 |
× 0,031493 |
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х3 |
|
|
|
|
|
- 0,25 |
|
0 |
|
|
|
0,006485 |
|
|
- 0,04724 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,224351 |
|
|
|||||||||||||
|
х |
[2] |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
[1] |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
0,00469 |
= 0,161977 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
- 0,25 |
|
|
- 0,01039 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0,23961 |
|
|
|
|
||||||||||||
Проверим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
¶f (х[k ]) |
|
£ 0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
¶f (х |
|
) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= 0,000123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
¶xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0,00023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶f (х[2] ) = 02 + 0,0001232 + 0,000232 » 0,000264 < 0,001
¶xi
Необходимое условие выполнено.
|
х |
[2] |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Ответ: х2 |
|
= 0,161977 |
, f (x) = 0,795547 . |
||
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
- 0,23961 |
98
Задача 19. Геометрический способ решения ЗНЛП
F = (x − 3)2 + (x − 4)2 |
→ min, max |
||
|
1 |
2 |
|
3x1 + 2x2 ³ 7 |
|
||
|
- x2 |
£ 8 |
|
10x1 |
|
||
-18x + 4x £12 |
|
||
|
1 |
2 |
|
x1, x2 ³ 0 |
|
|
(x - 3)2 |
+ (x - 4)2 = h |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2(x - 3) + 2(x - 4)x' |
= 0 |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
x' |
= − 2(x1 − 3) = |
x1 − 3 |
|
||||||||
|
|||||||||||
2 |
|
|
2(x2 - 4) |
|
4 - x2 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
x |
|
- 3 =10(4 - x |
|
) |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10x1 - x2 = 8 |
|
|
|
|
|||||||
x* |
= 123 |
; x* |
= 422 |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
101 |
101 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= 324
f (min)
101
x**1 = 2, x**2 = 12, f (max) = 65
99