Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Ряды / Ryady_5

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
12.06.2023
Размер:
91.43 Кб
Скачать
f (x)

 

 

Лекция № 6

 

 

 

Ряды Фурье

 

Определение 1. Функциональный ряд вида

 

 

a0

 

 

+ an cos nx + bn sin nx ,

(1)

2

n =1

 

где a0 , a1 ,..., an , ... ,b1 , ..., bn , ... коэффициенты ряда, называется тригонометрическим рядом.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом

T = 2π .

Рассмотрим задачу. Дана периодическая функция с периодом T = 2π . Как и при каких условиях можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции?

Пусть f (x) можно представить тригонометрическим рядом, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x) =

+ an cos nx + bn sin nx .

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

n =1

 

 

 

 

Будем считать, что ряд (2) сходится равномерно. Тогда его можно почленно

интегрировать в промежутке [−π; π] . Определим коэффициенты ряда. Для

этого

проинтегрируем его в этом промежутке

 

 

 

 

π

 

 

 

a0

π

π

π

 

 

 

f ( x)dx =

dx + an cos nxdx + bn sin nxdx .

(3)

 

 

 

 

−π

 

2

−π

n =1

−π

−π

 

 

Все интегралы в правой части выражения (3), кроме первого, равны нулю. В

силу чего получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

=

f ( x)dx .

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

Затем умножим ряд (2) на cos mx и опять проинтегрируем

 

π

 

a

π

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) cos mxdx =

 

0

cos mxdx +

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

−π

 

 

−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

π

 

 

 

 

 

+an cos mx cos nxdx +bn cos mx sin nxdx.

(5)

 

 

 

 

 

n=1

 

−π

 

 

 

−π

 

Рассмотрим отдельно в выражении (5) интегралы:

 

 

π

n ¹ m :

 

 

cos mx cos nxdx =

−π

m = n :

 

 

 

 

Несложно вычислить

1

 

π

 

 

(cos(m + n)x + cos(m - n)x)dx = 0;

2

−π

 

 

 

 

π

 

1

π

cos2 nxdx =

(1+ cos 2nx)dx = π.

 

−π

2

−π

 

 

π

π

1

 

π

cosmxdx =0;

cosmxsinnxdx =

 

(sin(n+m)x +sin(nm)x)dx =0.

2

−π

−π

−π

 

 

Тогда из выражения (5) следует

a =

1

π

f (x) cos nxdx.

 

 

(6)

n

π

 

 

 

 

 

−π

Аналогично, умножая ряд (2) на sin mx и интегрируя, получаем

b =

1

π

f ( x) sin nxdx .

 

π

(7)

n

 

 

 

 

 

−π

Определение 2. Коэффициенты тригонометрического ряда (2), определяемые по формулам (4), (6), (7), называются коэффициентами ряда Фурье, а сам ряд (2) – рядом Фурье.

Замечание 1. Интегралы в формулах (4), (6), (7) можно вычислять по любому отрезку, длина которого равна , что следует из свойства интеграла для

a+T

T

периодической функции с периодом Т: a:

f (x)dx =f (x)dx .

a

0

Условия разложения функции в ряд Фурье

Что нужно для того, чтобы ряд Фурье сходился, и сумма полученного ряда равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Определение 3. Функция f (x) называется кусочно– монотонной на отрезке [a; b] , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x1 , x2 ,..., xn на интервалы (a; x1), (x1 ; x2 ),..., (xn ; b) так, что на каждом из этих интервалов функция монотонна.

В дальнейшем будем рассматривать кусочно– монотонные функции, имеющие разрывы только первого рода. Такие условия принято называть условиями Дирихле.

 

 

О а

x1

x2

x3

x4

b

x

Теорема (Дирихле). Пусть функция

f (x)

с периодом T = 2π удовлетворяет

условиям Дирихле в промежутке [−π ; π]. Тогда её ряд Фурье сходится

в каждой

точке x [−π ; π] и сумма этого ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

S (x) =

+ an cos nx + bn sin nx

 

 

 

 

 

 

 

2

n=1

 

 

 

 

 

равна:

S(x) = f (x) во всех точках непрерывности f (x) ;

 

 

 

1.

 

 

 

2.

S(x) =

f (x +0) + f (x −0)

во всех точках разрыва;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

S(x) =

f (−π +0) + f (π −0)

на концах промежутка.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 2. Поэтому для разрывных функций ряд Фурье пишут в виде

f (x) ~ a0 +an cos nx +bn sin nx .

2 n=1

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) =π +x

при −π ≤x с периодом T =2π . у

 

 

 

 

3π

 

 

 

 

−π

π

3π

х

Вычислим коэффициенты Фурье:

 

 

 

a0

=

1 π

(π + x)dx =

1

 

π x +

x 2

 

 

π

= 2π ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π π

π

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

π

 

 

 

 

 

 

 

 

π +x =u

 

 

du =dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

=

 

 

 

(π +x)cosnxdx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinnx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

 

 

cosnxdx =dv

 

 

v =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(π + x)

 

 

π

 

 

 

1

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin nxdx = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

sin nx

−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πn

πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

π

 

 

 

 

 

π +x =u

du =dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

=

 

 

 

(π +x)sinnxdx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosnx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

sinnxdx =dv

 

 

v =−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(π + x)

 

 

 

 

 

 

π

1

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

2π cos π n

 

2(1)n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos nxdx = −

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

cos nx

 

−π

+

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

π n

 

π n

 

 

π n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Фурье для данной функции имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = π + 2

 

 

 

 

 

 

 

sin nx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Фурье для функций с периодом T = 2l

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функция

 

f (x) , заданная на [l ; l ], является периодической с периодом T

= 2l. Введём новую

переменную t =πx x =

lt

. Тогда

f

lt

 

 

будет функцией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

с периодом T =2π и её можно разложить в ряд Фурье на [−π; π], т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

lt

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

+

an cos nt + bn sin nt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

2

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, возвращаясь к переменной x и учитывая, что dt =π dx ,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

π

 

lt

 

1 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

=

 

 

f

 

 

 

 

dt a0 =

 

 

f ( x)dx ;

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

π

 

 

l l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

π

 

lt

 

 

 

 

 

 

1 l

 

π nx

 

 

 

an

=

 

 

f

 

 

 

 

 

cos ntdt

 

 

an

=

 

 

 

 

f ( x) cos

 

dx ;

(8)

π

 

 

 

 

 

 

l

l

 

 

−π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

1 π

 

lt

 

 

 

 

 

 

 

1 l

 

π nx

 

 

 

bn =

 

π

f

 

 

 

sin ntdt

 

 

bn =

 

l

f ( x) sin

 

dx .

 

π

π

 

l

l

 

Тогда ряд Фурье для

этого случая принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

cos π nx + bn sin π nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

+ an

.

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 , −2≤ x ≤0;

 

T = 2l = 4

Пример 2. Периодическую функцию

f (x) =

0< x <2 с периодом

 

4 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложить в ряд Фурье.

По формулам (8) вычислим коэффициенты:

a0

an

bn

 

 

 

1

0

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2dx +

4dx = x

 

0−2 + 2x

 

02 = 2 + 4 = 6 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−2

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

2cos π nx dx +

1

 

2

 

 

 

π nx dx =

 

2

 

 

π nx

 

0

 

 

 

 

4

 

 

sin π nx

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

4cos

 

 

sin

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

−2

2

2

0

 

 

 

2

 

 

π n

2

 

 

−2

 

 

π n

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

π nx

 

0

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2sin π nx dx +

4sin π nx dx = −

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

cos π nx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−2

2

2

0

 

 

 

 

2

 

 

 

π n

 

−2

 

π n

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(−1)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

(1−(−1)n )−

 

((−1)n −1) =

 

 

 

=

 

 

 

(1−(−1)n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πn

πn

πn

πn

 

πn

При этом, если n = 2k bn = 0 , а если

n =2k −1 bn

=

4

=

4

 

,

 

π(2k −1)

и тогда

 

 

 

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

π (2k −1)x

 

 

 

 

 

 

 

 

4

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = 3 +

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

π

 

 

2k −1

 

 

 

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Ряды