Ряды / Ryady_1

a n =

1

=

A

+

B

=

A(n + 1) + B n

A(n + 1) + B n = 1

n (n + 1)

n n + 1

n (n + 1)

Сравнивая

коэффициенты

при одинаковых степенях n, получим систему

Следовательно,

общий член ряда имеет вид

a n

=

1

=

1

−

1

.

n(n + 1)

n

Тогда частичную сумму Sn

n + 1

можно представить в виде

Sn

= a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a n

=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

= 1−

+

−

+

−

+ ... +

−

+

−

.

3

3

2

2

4

n −1

n

n

n +1

Sn =

1 −

1

.

n

+ 1

Вычислим сумму ряда

1

1

S = lim S n

= lim

1 −

= lim 1 − lim

= 1 − 0 = 1.

n + 1

1

n → ∞

n → ∞

n → ∞

n → ∞ n +

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 3. Проверить на сходимость ряд

a + aq + aq 2 + ... + aq n + ...

− бесконечную геометрическую прогрессию.

Как

известно,

сумма

первых

п членов геометрической прогрессии

при q ¹ 1 равна

Sn

=

a − aqn

.

1− q

Тогда имеем следующие четыре случая:

a

aqn

a

1.

Если | q |< 1, то

limqn = 0

limSn = lim

−

=

.

n→∞

n→∞

n→∞ 1−q

1−q

1−q

2.

Если | q | > 1 , то

lim q n = ∞ lim Sn

= ∞ , т.е.

ряд расходится.

3.

q = 1 ,

n → ∞

n → ∞

вид a + a + a +...+ a +... и тогда

Если

то

данный

ряд

имеет

S

n

= na

lim S

n

= ∞

, т.е. ряд расходится.

n→ ∞

= 0 ,

4.

Если q = −1 ,

то ряд имеет вид a − a + a −...+ a −...

и тогда Sn

если

частичная сумма имеет четное число членов и Sn = a , если нечётное число,

т.е.

lim Sn

не существует,

следовательно,

ряд расходится.

n→∞

4.

Разность между

суммой

ряда S

и

частичной

суммой Sn

Определение

называется остатком ряда и обозначается rn = Sn − S , т.е.

∞

rn =

∑ ak .

Так как для сходящихся рядов lim Sn

= S , то lim rn

= lim (Sn - S ) = 0

,

n→∞

n→∞

n→∞

∞

∞

1.

Если ряды ∑ an

и ∑ bn сходятся, т.е. имеют соответственно суммы S и

n =1

n =1

∞

Q, то сходится ряд ∑Aan + Bbn

, где А, В − const, а его сумма равна AS + BQ.

n =1

∞

2.

Если сходится ряд ∑ an

, то сходится и ряд, полученный из данного

n =1

∞

Теорема(необх. усл. сходимости).

Если ряд ∑an сходится, то общий член

ряда стремится к нулю при

n →∞,

т.е.

lim an = 0n. =1

Действительно,

n→∞

имеем

Sn − Sn −1

= a1 + a2 +K + an−1 + an − a1 − a2 −K − an−1 = an ,

тогда lim a

n

= lim S

n

− lim S

n −1

= S − S = 0 , что и требовалось доказать. Чтд

n → ∞

n → ∞

n → ∞

Следствие. Если же lim an

¹ 0

, то ряд расходится. Обратное, вообще говоря,

n→∞

неверно, что будет показано ниже.

∞

1

Определение 5. Ряд вида ∑

называется гармоническим.

n

n = 1

1

Для этого ряда выполняется необходимое условие, так как lim

= 0 .

n → ∞ n

В то же время данный ряд является расходящимся. Покажем это позже.

Признаки сходимости рядов с положительными членами

Пусть даны два ряда с положительными членами:

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ;

(1)

b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... .

(2)

Теорема(признак сравнения). Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с

некоторого

номера,

выполняется

неравенство an £ bn и ряд (2)

сходится,

то

сходится и ряд (1). Аналогично, если an

³ bn и ряд (2) расходится, то расходится

и

ряд (1).

Доказательство. Пусть Sn и

Qn соответственно частичные суммы рядов (1)

и (2), а Q − сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем

Sn < Qn

Sn < Qn < Q .

Так как

Sn - и ограничена,

то

lim Sn = S , т.е. ряд (1) сходится.

n→∞

2

+

2

+

2

+ ... +

2

+ ... .

2

× 3

3

n

n

3 2 × 3

3

× 3

Сравним с членами ряда

1

+

1

+

1

+ ... +

1

+ ... .

3

32

33

3n

Начиная с n ³ 3 ,

имеем

2

<

1

.

n

n

n

× 3

1

3

∞

1

Так как ряд ∑

сходится

q =

<1 , то данный ряд также сходится.

3

n

3

n =1

∞

1

2) Исследовать на сходимость ряд

∑

.

1

1

n=2

ln n

Очевидно, что

<

n > 2 . Так как ряд с большими членами

ln n

для всех

n

Если

для двух

рядов (1) и (2) с положительными членами выполняется

условие

a

= const

lim

n

(¹ ¥ ; ¹ 0) , то

n → ∞ b

n

из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1)

следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.

Если

lim

an

=0

,

то из сходимости ряда (2)

следует сходимость ряда (1).

n→∞b

n

Обратное утверждение неверно.

Если

lim

an

=∞

то из расходимости ряда (2)

следует расходимость ряда (1).

n→∞b

,

n

Обратное утверждение неверно.

∞

1

Пример 5. 1) Исследовать на сходимость ряд

∑ sin

.

n = 1

n

∞

В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ∑

1

,

n =1 n

sin

1

sin α

n

1

Тогда

lim

=

замена :

= α

= lim

= 1,

1

n

α

n →∞

α →0

∞

1)

гармонический ∑

1

, который расходится;

n =1 n

∞

1

2)

обобщённый гармонический ряд ∑

, который, как будет показано далее,

p

n =1

n

сходится при p > 1 и расходится при p

£ 1;

∞

3)

геометрический ∑qn , который сходится при | q|<1 и расходится при