Шемякин лекции 2023 / Л10. Элементы теории чисел. Ред.1 - копия

Лекция Элементы теории чисел

1

Арифметика классов вычетов

•Данная арифметика используется в несимметрических криптографических системах.

•- RSA;

•- Эль Гамаль;

•- КС на эллиптических кривых.

Несимметричность означает, что ключи шифрования и расшифрования разные.

При этом:

- определение одного ключа по другому

2

является вычислительно трудной задачей.

Примеры вычислительно-сложных задач:

-разложение большого простого числа на простые множители;

-определение индекса числа в простом поле, кольце классов вычетов, в поле Галуа (логарифмирование).

Большим целым числом на настоящий момент считают такое, что в его десятичной записи не менее 200 знаков.

а ˃ 2 500

3

Кольцо классов вычетов Z(m)

•Кольцо – множество элементов с двумя операциями, например сложением и умножением.

по сложению – противоположный

элемент найдётся для любого элемента кольца Z(m)

a -a / а +(-a) = 0.

по умножению – обратный элемент для заданного не обязательно существует.

4

•Пусть Z – кольцо целых чисел.

Выберем в нём число m, зададим множество представителей классов

вычетов

{0, 1, 2, … m-1}

и обычные действия арифметики, сложение и умножение.

Результат этих действий зададим остатком от деления на m.

с= a + b ( mod m )

с= a * b ( mod m )

5

• Это и будет кольцом Z(m).

Пример 1.

m = 2 – двоичное поле, сложение по модулю 2, правильное наименование – GF(2).

Пример 2.

m = 6 – кольцо классов вычетов по модулю 6,

правильное наименование – Z(6).

2*3 = 0 ( mod 6 )

5*8 = 4 ( mod 6 ) -5 +17 = 0 ( mod 6 )

6

•Все привычные свойства – коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность здесь сохраняются.

7

Поле классов вычетов

•Поле классов вычетов по модулю простого числа – подмножество кольца классов вычетов.

Правильное наименование GF(p). p – простое число.

по сложению – противоположный элемент найдётся для любого элемента поля

a -a / а +(-a) = 0.

по умножению – обратный элемент найдётся для любого элемента поля

a a-1 / а * a-1 = 1.

8

Пример 3.

p = 13 – поле классов вычетов по модулю 13, правильное наименование – GF(13).

5*8 = 1 ( mod 13 )

-5 +17 = 12 = -1 ( mod 13 ) 7-1 = 2 ( mod 13 ) 7*2 = 1 ( mod 13 )

9

Поле Галуа

Определим кольцо Z[x] полиномов над полем GF(2).

Это множество полиномов с коэффициентами { 0, 1 }. Полиномы можно складывать и перемножать по привычным правилам.

В этом кольце выберем неприводимый и примитивный полином f(x).

Поле Галуа – множество классов вычетов по модулю полинома f(x) над полем

GF(2).

10