Шемякин лекции 2023 / Л10. Элементы теории чисел. Ред.1 - копия

Тест Ферма (продолжение)

Пример. n=341, b=2. 2340=(210)34mod341=(1024(mod341))10(mod341)=1.

Но с другой стороны 341=31 11, т.е. число составное.

Для любого b имеется бесконечно много псевдопростых чисел, однако их относительное количество не такое уж большое. Так для b=2 существует всего 21853 псевдопростых чисел среди чисел от 1 до 25 109. Особый случай составляют составные числа, условия т. Ферма для которых выполняются при любом b. Это

числа Кармайкла.

Всего имеется 2163 числа Кармайкла в диапазоне 1 до 25 109, а в диапазоне 1 до 1 105 всего 16 таких чисел: 561,1105,1729….75361. В тесте Ферма эти числа не различимы.

31

Тест РабинаМиллера -

•Тест-Рабина-Миллера позволяет отсеять часть псевдопростых чисел

Вероятность ошибки для Теста РабинаМиллера

Pош(n-простое) < (1/4)k

32

Тест Миллера - Рабина

Пусть число n нечетное и n 1 = 2sr, где r — нечетное. Если n простое, то для любого a 2, взаимно простого с n, выполняется условие. Разложим an-1-1 на множители

an 1 1 = a2 sr 1 = (a2 s 1r 1)(a2 s 1r + 1) =

=(a2 s 2r 1)(a2 s 2r + 1)(a2 s 1r + 1) = … =

=(a2r 1)(a2r + 1)…(a2 s 2r + 1)(a2 s 1r + 1) =

=(ar 1)(ar + 1)(a2r + 1)…(a2 s 2r + 1)(a2 s 1r + 1)

Впоследнем произведении хотя бы одна из скобок делится на n, то есть либо ar 1 (mod n), либо среди чисел ar , a2r , , a2s 1 r

найдется сравнимое с 1 по модулю n.

33

Вероятность ошибки для Теста Рабина-

Миллера

Pош(n-простое) ≤ (1/4)k

34

Понятие группы

•Группой называют множество с одной операцией ( это или сложение, или умножение),

•где есть единица (умножение) или нуль (для операции сложение)

•для каждого элемента существует обратный элемент.

•Число элементов группы называют порядком группы.

35

Несимметричные криптографические системы

• КС RSA

Используются свойства кольца классов вычетов по модулю большого составного числа

N = p*q

Стойкость КС определяется трудностью разложения на множители больших чисел.

Рекомендация: N ˃ 10 300

36

• КС Эль Гамаля

•При шифровании-расшифровании используются свойства мультипликативной группы поля классов вычетов по модулю большого простого числа p.

•Стойкость КС определяется трудностью определения индекса элемента группы, если группа имеет большой порядок. Рекомендация: p ˃ 10 200

37

•КС на эллиптической кривых

•Точки эллиптической кривой над заданным

полем GF(p) образуют группу.

•Точки можно складывать и вычитать.

•Стойкость КС определяется трудностью определения индекса элемента группы, если группа имеет большой порядок. Рекомендация:

-p ˃ 10 100

-число точек кривой должно быть непереборно большим.

38

Основные свойства конечных полей

Ясно, что степени примитивного элемента 1 , 2 , 3 , , q 1 1 образуют все элементы поля, за исключение нуля.

5. Каждое конечное поле GF q содержит хотя бы один примитивный

39

элемент [8].