Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

9.10 Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов, если орудийному расчету для поражения цели выделено всего N

снарядов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p. Цель поражается с первого попадания. Стрельба продолжается либо до поражения цели, либо до исчерпания всех снарядов.

9.11Случайная величина принимает только целые неотрицательные

значения с вероятностями

наудачу без возвращения извлекают m шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , равной числу белых шаров в выборке.

Сравнить полученные значения с такими же величинами для случая случайной величины , когда выбор производится с возвращением.

9.14 В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание случайной величины,

равной числу нестандартных деталей среди двух отобранных.

9.15 Предположим, что в озере 15000 рыб, причем 1000 из них меченых. Из озера отловили 150 рыб. Найти математическое ожидание числа меченых рыб среди отловленных.

71

9.16Дискретная случайная величина принимает три возможных значения: x1 = 4 с вероятностью p1 = 0,5, x2 = 6 с вероятностью p2 = 0,3 и x3 с

вероятностью p3 . Найти x3 и p3 , зная, что E = 8.

9.17Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины : x1 =1, x2 = 2, x3 =3, а также известны математические ожидания

возвращением извлекаются шары. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , равной числу извлечений до того момента,

как в выборке впервые будут представлены все N шаров.

9.21В условиях задачи 9.20 найти точную и асимптотическую формулу для E r s,N -- числа ящиков, содержащих ровно r дробинок.

9.22В группе 25 студентов. Предполагая, что дни рождения студентов независимы и равномерно распределены по 12 месяцам года, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , равной числу

месяцев, на которые не приходится ни один день рождения.

9.23В N ящиков последовательно наудачу бросают дробинки.

Обозначим через k номер бросания, при котором впервые число занятых

ящиков станет равным k. Найти E k , k и асимптотическую формулу для E N

при N .

72

9.24 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 1, равной числу единичных циклов в разложении на независимые циклы случайной подстановки степени n. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины r , равной числу циклов длины r в случайной подстановке степени n.

9.25Вычислить математическое ожидание случайной величины r ,

равной числу инверсий случайно выбранной перестановки чисел 1,n.

9.26Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

9.27Найти дисперсию случайной величины -- числа появления

события A в двух независимых испытаниях, если E = 0,8.

9.28Привести пример целочисленной неотрицательной случайной величины, имеющей конечное математическое ожидание, но с бесконечной дисперсией.

9.29Доказать, что математическое ожидание случайной величины может быть определено как такое число, относительно которого второй момент случайной величины принимает наименьшее значение.

9.30Доказать формулу включения - исключения, используя результат

задачи 1.31.

9.31 Доказать, что для неотрицательной целочисленной случайной

величины верно неравенство E = n .

n=1

9.32Вычислить среднее значение и дисперсию случайной величины ,

имеющей равномерное распределение на отрезке 1;1 . То же самое для случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке a;b .

9.33 По известному ``правилу трех сигм'' вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти с точностью до 3-го знака после запятой

73

E = 0.9.

9.34Говорят, что распределение случайной величины сосредоточено

P a < a > 0, P b < b > 0

Доказать, что дисперсия случайной величины, распределение которой

сосредоточено на отрезке длины T , не превосходит T2 .

4

9.35 Случайные величины 1, 2 (возможно, зависимые) обладают конечными дисперсиями: 1 = 12 , 2 = 22 . Указать пределы, в которых может изменяться 1 2 .

9.36 Пусть k , k -- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Предположим, что k принимает только

положительные значения и что существуют математические ожидания E k = a

распределенных случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке 0;1 и -- случайная величина, равная тому k, при котором впервые сумма k = 1 ... k превосходит единицу. Найти E .

9.38 Владелец железнодорожного билета обычно выезжает из дома между 7 часами ÇÎ минами и 8 часами утра; поездка до станции обычно занимает от 20 до 30 минут. Предполагается, что время выхода и продолжительность поездки представляют собой независимые случайные

74

величины, равномерно распределенные в соответствующих интервалах.

Имеются два поезда, которыми он может ехать: первый отправляется в 8 часов

5 минут утра и идет 35 минут, а второй -- в 8 часов 25 минут утра и идет 30

минут. Предполагая, что он выезжает одним из этих поездов, определить: 1.

среднее время прибытия к месту назначения; 2. вероятность того, что он пропустит оба поезда.

9.39 Вычислить среднее значение случайной величины cos t , где - - равномерно распределена на отрезке 1;1 .

9.40 Случайная величина имеет распределение с плотностью 1cosx, 2

( x ). Вычислить математическое ожидание и дисперсию . 2

9.41Найти среднее значение и дисперсию случайной величины ,

равной времени ожидания в задаче о встрече (в условиях задачи 8.12).

9.42 Координаты двух случайных точек на прямой независимы и равномерно распределены на отрезке 0;1 . Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними.

9.43 В условиях задачи 8.50 найти математическое ожидание времени работы прибора.

9.44 Случайная величина имеет плотность распределения

x2

xe 2Ind x 0 . Вычислить математическое ожидание .

9.45Случайная величина распределена нормально со средним

равным нулю и дисперсией 2 . Вычислить математическое ожидание

случайной величины = .

9.46Плотность распределения абсолютной величины S скорости

m -- масса молекулы, T -- абсолютная температура. Найти: 1. среднее значение

75

пути, проходимого молекулой за единицу времени; 2. среднее значение

кинетической энергии.

9.47Случайная величина распределена логарифмически нормально,

то есть ее плотность имеет вид:

Определить ее математическое ожидание.

9.48Случайные величины 1,..., n независимы и равномерно распределены на отрезке 0; . Найти плотность распределения, среднее и дисперсию случайной величины = max 1, 2,..., n .

9.49Вычислить коэффициент корреляции , между случайными

9.50Вычислить коэффициент корреляции , между случайными

величинами и , совместное распределение которых задается следующей

таблицей:

9.51Найти ковариацию между частотами выпадений ``единиц'' и

``шестерок'' при бросании k раз игральной кости.

9.52Вычислить коэффициенты корреляции между частотами исходов

i в полиномиальной схеме с m исходами при n независимых испытаниях.

Вероятности исходов равны pi , i 1,m.

76

E k = a, D k = 2 , P k =1 = p, P k = 0 = q =1 p.

9.54Пусть , -- независимые случайные величины с конечными

дисперсиями. Доказать, что D D D . Каким условиям должны

удовлетворять и , чтобы выполнялась равенство D = D D .

9.55Случайная величина равномерно распределена на отрезке

9.57Случайные величины 1, 2 ,..., n m , n m независимы, одинаково

распределены и имеют конечную положительную дисперсию. Найти

2 = m 1 ... n m .

9.58 Пусть и - случайные величины с конечными моментами

второго порядка. Доказать, что E a b 2 E a0 b0 2 = 1 2 D для

D = 0, -- коэффициент корреляции и . .

9.59Случайные величины и независимы и имеют одинаковое

распределение с математическим ожиданием и дисперсией 2 . Найти

коэффициент корреляции случайных величин , , где , ,

0.

77

9.60Пусть совместное распределение случайных величин и

нормально, причем E = E = 0 и коэффициент корреляции и равен .

Найти коэффициент корреляции случайных величин 2 и 2 .

9.61Пусть 1,..., n -- независимые одинаково распределенные

случайные величины с конечным третьим моментом, причем E( i E i )3 = 0,

1 n

i 1,n. Найти коэффициент корреляции случайных величин n = n i=1 i и

S2 = 1 n ( i )2 .

n i=1

9.62 Двумерное распределение пары целочисленных случайных

P = k | = ; 4. P = k | = s ; 5. E | = s .

9.64Выразить первые четыре центральных момента k через начальные моменты k .

9.65Найти выражения первых четырех начальных моментов k через факториальные моменты k .

78

9.66Найти выражения первых четырех центральных моментов k

через факториальные моменты k .

9.67Вычислить факториальные моменты k биномиального распределения с параметрами n и p.

9.68Найти выражения первых четырех центральных моментов k

биномиального распределения с параметрами n и p. Заметить, что четвертый

центральный момент есть полином второй степени относительно n.

9.69Вычислить факториальные k моменты распределения Пуассона с

параметром .

9.70Найти выражения первых четырех центральных моментов k

распределения Пуассона с параметром .

9.71Найти факториальные моменты k геометрического распределения с параметром p.

9.72Вычислить центральные моменты k нормального распределения

спараметрами a и 2 .

9.73 Найти выражение n-го начального момента n гамма-

распределения (плотность x 1e xInd x > 0 ).

9.74 Случайная величина подчиняется бета-распределению, т.е. имеет плотность распределения

79

E 1 ... k 1 = k n n 1 ... n k 2 > n

n=1

80