Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

Добавил:

karavashkinaviydetzamenya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

, где k , C =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2023

Размер:

1.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Раздел № 10 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

10.1 Вычислить характеристическую t и производящую функцию

P z следующих		распределений:		биномиального		распределения	с
параметрами	n и	p;	распределения		Пуассона	с параметром	;
геометрического распределения с параметром					p; распределения Паскаля (см.
задачу 8.10).
10.2	Заготовки в количестве n штук поступают на устройство, которое

разрезает их пополам. Полученные детали поступают на контроль. Заготовка может быть бракованной независимо от других с вероятностью p. В этом случае обе детали идут в брак. В остальных случаях устройство работает без брака. Найти характеристическую функцию t числа бракованных деталей.

10.3Вычислить характеристические функции следующих

распределений:	нормального с параметрами	и 2 ;	-распределения с
параметрами	и ; показательного распределения		с параметром ;
равномерного	распределения на отрезке	a;a ;	двустороннего

экспоненциального распределения с плотностью 1e x ; распределения Коши с

				2
параметром (коэффициент масштаба).
10.4			Вычислить характеристическую функцию случайной величины
2 , где		-- случайная величина со стандартные нормальным распределением
(см. задачу 8.38).
10.5			14Показать, что для U a,a	характеристическая функция
t =	sinat

	at
10.6			Случайные величины 1, 2 ,..., n	независимы в совокупности и

распределены каждая согласно стандартному нормальному закону. Используя

аппарат характеристических функций найти характеристическую функцию

случайной величины k2 (сравнить с задачей 8.52).

k=1

10.7Случайные величины и независимы и распределены каждая

согласно стандартному закону Коши. Используя аппарат характеристических

функций, найти распределение . Распределение Коши с параметром 2

(коэффициент масштаба).

10.8Случайные величины 1,..., n независимы и все распределены по

закону Коши с одним и тем же параметром (коэффициентом масштаба) для

всех		,	k		. Показать, что среднее арифметическое	1	n		имеет тот же
				1,n
						n
	k						k=1	k

закон распределения, что и любая из величин k .

10.9Вычислить характеристическую функцию случайной величины,

				;			1
распределенной на отрезке						с плотностью		cosx.
			2				2
					2
10.10 Найти характеристическую функцию распределения случайной
величины	1	, где распределена по стандартному нормальному закону (см.

2

задачу 8.40).

10.11 Найти характеристическую функцию распределения, плотность

которого p x =

chx

10.12 Величины 1,...,

n независимы

и все

распределены

по

стандартному нормальному

закону. Показать,

что

величина

k=1 k2

распределена так же, как любая из величин 1/ k2 , k 1,n (сравнить с задачей

10.8).

10.13 Определить плотность распределения, отвечающего

характеристической функции 1 t2 .

10.14 Определить распределение случайной величины ,

характеристическая функция которой равна an cos nt , an

n=0

10.15

Найти плотность распределения

случайной

величины , для

которого характеристическая функция t равна 1

Ind

, a > 0.

10.16

Характеристическая функция случайной величины задана в виде

t = e a

Определить плотность вероятности .

10.17

Показать,

что

не

является

характеристической

функция

t = 1 t2 Ind |t| 1 .

10.18

Найти

плотность

распределения

случайной

величины

= 1 2 ... n, где

k --

независимые и

равномерно

распределенные на

отрезке 0;1

случайные величины.

10.19

Показать,

что характеристическая функция случайной величины

вещественна тогда и только тогда, когда распределение этой случайной величины симметрично, т.е. F x =1 F x 0 .

10.20	Доказать, что если t -- характеристическая функция, то					t	2 -
10.20	Доказать, что если t -- характеристическая функция, то					t	2 -
- тоже характеристическая.
10.21	Показать, что функция t		такая, что при t 0, t =1 o t2 ,
является характеристической тогда и только тогда, когда t 1.
10.22	Являются ли следующие функции характеристическими
функциями	случайных	величин?	Для	функций,	являющихся

характеристическими, указать распределения, которым они соответствуют:

cost; 2. cost2 ; 3.

cos2t; 4.

cos2t; 5.

; 6.

; 7.

; 8.

; 9.

;

1 t

1 i

1 it

1 t

10. 1

sint

it t2

peit

, p q =1; 16.

; 11.

; 12.

; 13.

; 14.

;

15.

1 qe


1	e it 1 2	e it 1 2 ;		17. q pe2it n ,	p q =1; 18.	peit qe it	n ,	p q =1; 19.
2e
pr 1 qeit r			, где r	-- целое, r 0,	p q =1.
10.23			Гражданин может обратиться в мастерской в 2				окна. В первом

окне срок выполнения заявки распределен по показательному закону с параметром 1; во втором окне -- также по показательному закону с параметром 2 . Найти характеристическую функцию времени выполнения заявки, если окновыбирается случайно и гражданин обращается в первое окно с

вероятностью p,

p > 0, а во второе -- с вероятностью q =1 p,

q >0.

10.24

Заданы независимые в совокупности одинаково распределенные

случайные величины 1,

2 ,... с общей характеристической функцией t

независимая

от

них

целочисленная

неотрицательная

величина

Производящая функция

распределения

величины

равна

P z = pnzn .

n=0

Определить

характеристическую

функцию

случайной

величины

...

при 0 и = 0,

если = 0.

10.25

Показать, что функции: 1.

cost

; 2.

ecost 1; 3.

1 t2

0< <1,

2 cost

1 t2

являются характеристическими.

10.26

Показать, что для целочисленной случайной величины

производящая функция ``хвостов'' qn = > n

распределения равна

1 P x

1 x

где P x

-- производящая функция для .

10.27

Пусть --

целочисленная

случайная

величина,

производящая

функция распределения которой равна P z . Каким образом по производящей

функции определить факториальные моменты k	случайной величины ?
k = P k z \|z=1.

10.28Пусть -- целочисленная неотрицательная случайная величина с распределением p0, p1,... . Выразить вероятности pn через факториальные моменты k случайной величины .

10.2915Найти выражение через факториальные моменты ``хвостов'' --

величин qn = > n распределения неотрицательной целочисленной случайной величины.

10.30 Пусть t - произвольная характеристическая функция. Доказать,

что функция Re t также является характеристической.

10.31 Пусть t - произвольная характеристическая функция. Доказать,

что для любого вещественного t справедливы неравенства:

1.1 Re 2t 4 1 Re t ;

2.1 2t 2 4 1 t 2 ;

3.1 Re 2t 2 1 Re t 2 ;

4.1 2t 2 1 t 2 ;

5.1 2t 4 1 t .

10.32Доказать, что для любой характеристической функции t и

любого целого неотрицательного n справедливы неравенства:

1.1 Re nt n 1 Re t n n2 1 Re t ;

2.1 nt 2 n 1 t |2n) n2(1 | t 2 ;

3.1 Re t 1 n 1 Re 2nt ;

4.1 t 2 1 n 1 2nt 2 .

10.33	Доказать,	что если функция	f x	непрерывна в точке	a	и	n
сходится к	a по вероятности, то так		же и	f n сходится к	f a		по
вероятности.
10.34	Привести	пример последовательности случайных величин				n

такой, что n 0 по вероятности, но E n . Построить аналогичный пример для случая, когда n 0 с вероятностью 1.

10.35 Пусть последовательность случайных величин n сходится по

вероятности к случайной величине , а последовательность случайных величин

n с вероятностью 1. Показать, что: 1.

n n по вероятности;

по

вероятности;

если

= 0 = = 0 = 0,

то

по

вероятности.

10.36

Доказать, что если последовательность случайных величин n

сходится к

по распределению, то есть

Fn x = n < x < x = F x

точках непрерывности F x

и n

сходится к постоянной a по вероятности, то:

1. n n по распределению сходится к a (т.е. F x F x a ); 2.

n n

по

распределению сходится к a ; 3.

если a 0, то

сходится по распределению

10.37

Доказать, что из сходимости последовательности случайных

величин n

к случайной

величине

с вероятностью

единица

следует

сходимость этой последовательности к тому же пределу по вероятности.

10.38

Доказать, что если ряд

> сходится при любом > 0,

n=1

то последовательность n сходится к с вероятностью 1.

10.39 Показать, что если последовательность n сходится к по вероятности, то существует подпоследовательность n k , сходящаяся к с

вероятностью 1.

10.40 Пусть n -- последовательность независимых случайных величия таких, что их четвертые центральные моменты равномерно

1 n

ограничены. Показать, что n k=1 k E k 0 с вероятностью 1.

10.41 Пусть n означает число успехов в первых n испытаниях

неограниченной последовательности независимых испытаний таких, что в

каждом из них вероятность успеха равна				p	(схема Бернулли). Показать, что
последовательность относительных частот				n	сходится к p с вероятностью 1.
последовательность относительных частот				n	сходится к p с вероятностью 1.
				n
	10.42 Пусть n -- последовательность случайных величин таких, что
k	= k2	C , а коэффициенты корреляции		i,j	между случайными величинами
i	, j ,	i < j, равномерно относительно i,	j стремятся к нулю, когда i j .

Показать, что для такой последовательности справедлив закон больших чисел

(ЗБЧ).

10.43

Пусть Sn = 1

2 ... n .

Доказать, что если для

всех

выполняется /S

|< C ,

> n2 , то

ЗБЧ

к последовательности

не

применим.

10.44

Доказать, что если для последовательности независимых

случайных величин n

существуют такие числа >1 и C, что существуют

абсолютные

моменты

и все

они

ограничены числами

то

последовательности применим ЗБЧ.

10.45 Доказать,		что		гипергеометрическое					распределение	с
		n1 n2

вероятностями	P = k = k			m	k		сходится	к	биномиальному
			n1 n2
				m
				m
распределению Bi m, p , если				n1	p, n n .
распределению Bi m, p , если					p, n n .
			n1 n2			1	2
			n1 n2

10.46 Пусть -- случайная величина распределенная по закону Пуассона с параметром . Доказать, что распределение случайной величины

	при	сходится к стандартному нормальному распределению.



10.47		Показать, что распределение n2 при естественной нормировке

сходится к стандартному нормальному закону. Предложить три доказательства:

1.с помощью характеристических функций;

2.непосредственно анализируя плотность распределения нормированной случайной величины;

3.со ссылкой на центральную предельную теорему (ЦПТ).

10.48Доказать, что распределение случайной величины 2 n2 2n

сходится к стандартному нормальному, когда n .

10.49Доказать, что распределение Стьюдента с n степенями свободы сходится при n к стандартному нормальному закону Дать два способа доказательства:

1.непосредственно анализируя плотность распределения Стьюдента (см. задачу 8.64);

2.с использованием теоремы Чебышева.

10.50Доказать, что при увеличении числа измерений n распределение случайной величины из задачи 8.26 при надлежащей нормировке сходится к стандартному нормальному.

10.51 Независимые случайные величины n одинаково распределены

= 0,

=1.

Показать,

что

величины

... n

... 2

... n

асимптотически нормальны.

... 2

10.52

Справедлив

ли

ЗБЧ

для

последовательности

независимых

случайных

величин

таких,

что: 1.

;

ln1 n

n 1

1		n
ln
	2
1			; 3.


2

10.53 Справедливы ли ЗБЧ и ЦПТ для последовательности независимых

															1
												0
случайных величин n												0		2		n
случайных величин n										таких, что n				2				.
												1			1


												2			2
		10.54		Справедлив ли ЗБЧ и ЦПТ для последовательности независимых
																							2n			2n
случайных				величин							n	таких,		что						1.		n		1				2.
случайных				величин							n	таких,		что						1.		n		1			1 ;	2.

																								2
																								2			2
	2n				0			2n
n		1			1				1
n		1		1	1				1		.

						22n
	22n 1					22n		22n 1
		10.55 Справедливы ли ЗБЧ и ЦПТ для последовательности независимых
									n таких												0		1
случайных				величин					n таких			, что		1.					n			1	1		,	0;		2.
																				1
																				1

																						n	n
	n			0				n				n					n
n			1		1		1			, 0; 3.										, = const.
n			1		1		1			, 0; 3.		n	1			1				, = const.
				1								n	1
				1			2n
	2n				n		2n					2						2

10.56 Справедливы ли ЗБЧ и ЦПТ для последовательности независимых


случайных величин n таких,					что k с равными				вероятностями может
принимать значения из множества						.
принимать значения из множества					0,k 1	.
10.57 Доказать,	что			гипергеометрическое					распределение	с
	n1 n2

вероятностями = k = k		m k сходится к распределению Пуассона								с
	n1 n2
		m
		m
параметром > 0, если	n1		m , m				, n ,	n .
параметром > 0, если			m , m				, n ,	n .
	n1 n2						1		2
	n1 n2

10.58Пусть n -- последовательность случайных величин, для которой выполняется ЗБЧ. Обязан ли выполняться ЗБЧ для последовательности n ?

10.59Пусть n -- последовательность случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости n 0 по

вероятности сходимость n ...n n 0 по вероятности?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
27.05.20231.2 Mб8Konspekt_Tv_2020_ch_3.pdf
#
27.05.20231.2 Mб7Konspekt_Tv_2020_ch_4.pdf
#
27.05.2023737.17 Кб4Konspekt_TV_2020_ch_5.pdf
#
27.05.20231.07 Mб20Konspekt_Tv_2020_ch_6.pdf
#
27.05.2023615.38 Кб4Konspekt_Tv_2020_ch_7.pdf
#
27.05.20231.2 Mб35Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1.pdf
#
27.05.2023718.15 Кб16ТВИМЗ_ЕПИФАНОВ.docx
#
27.05.20230 б7фото к экзамену по ТВиМС.txt