Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

8.13В уравнении x2 2ax b = 0 коэффициенты a и b берутся наудачу из интервала 1;1 . Определить функцию распределения случайной величины

, равной модулю разности корней указанного уравнения.

8.14На плоскости задана декартова система координат. Через точку с координатами 0;s , s > 0, наугад проведена прямая. Определить плотность

распределения случайной величины , представляющей собой координату точки пересечения проведенной прямой с осью абсцисс.

8.15 На плоскости задана декартова система координат. Через точку с координатами 0;s , s > 0, в произвольно выбранном направлении проведена прямая. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины , равной расстоянию от начала координат до прямой.

8.16Через точку с координатами 0;s , s > 0, проведена прямая в

произвольно выбранном направлении. Определить функцию распределения и плотность распределения случайной величины , равной длине отрезка прямой от точки 0;s до точки ее пересечения с осью абсцисс (Ox).

8.17 На плоскости задана декартова система координат. В квадрате с вершинами 1;0 , 0;1 , 1;0 , 0; 1 наудачу выбирается точка. Определить функцию распределения и плотность распределения случайной величины ,

представляющей собой абсциссу выбранной точки.

8.18В квадрате с вершинами в точках с координатами 0;0 , 0;1 ,

1;0 , 1;1 наудачу выбирается точка. Найти функцию распределения и

плотность распределения случайной величины , равной сумме координат

выбранной точки.

8.19В квадрате с вершинами в точках с координатами 1;1 , 1;1 ,

1; 1 , 1; 1 наудачу выбирается точка. Определить функцию

распределения случайной величины , равной произведению координат

выбранной точки. .

61

8.20В квадрате с вершинами в точках 1;0 , 0;1 , 1;0 , 0; 1

наудачу выбирается точка. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины , равной отношению координат выбранной точки.

8.21 В круге единичного радиуса с центром в начале координат выбирается точка. Найти плотность распределения случайной величины ,

представляющей собой расстояние от выбранной точки до центра круга

8.22 Внутри шара радиуса R наудачу выбирается точка. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины ,

представляющей собой расстояние от выбранной точки до центра шара.

8.23Решить задачу 8.22 в случае выбора точки наудачу внутри n-

мерного шара

8.24 В круге единичного радиуса с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины , представляющей собой ``x''-координату выбранной точки

8.25 Внутри трехмерной сферы единичного радиуса с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Найти плотность распределения случайной величины , представляющей собой ``x''-координату выбранной точки.

8.26Решить задачу аналогичную задаче 8.25 в случае когда точка выбирается наудачу внутри сферы единичного радиуса в n-мерном пространстве

8.27На окружности единичного радиуса с центром в начале координат наудачу отмечается точка. Найти плотность распределения случайной величины , представляющей собой ``x''-координату выбранной точки.

8.28В трехмерном пространстве задана декартова система координат.

На поверхности сферы единичного радиуса с центром в начале координат

62

наудачу выбирается точка. Определить плотность распределения случайной

величины , представляющей собой ``x''-координату выбранной точки.

8.29Решить задачу аналогичную задаче 8.28 в случае выбора точки на поверхности сферы в n-мерном пространстве.

8.30На торцевых срезах отрезка цилиндрической трубы длины L и

радиуса R наудачу выбирается по одной точке. Определить функцию распределения случайной величины , равной расстоянию между выбранными

точками.

8.31На скрещивающихся ребрах куба со стороной, равной единице,

наудачу выбираются по одной точке. Определить функцию распределения и

плотность распределения случайной величины , равной расстоянию между

выбранными точками.

8.32На противоположных сторонах квадрата со стороной, равной единице, наудачу выбирается по точке. Определить функцию распределения и плотность распределения случайной величины , равной расстоянию между этими точками

8.33Случайная величина имеет функцию распределения F x и

плотность распределения p x . Найти функцию распределения и плотность

8.34Функция распределения случайной величины , непрерывна в 0.

Найти распределение случайной величины = .

63

Найти функцию распределения случайной величины = 12 .

8.36Случайная величина имеет геометрическое распределение с

параметром p. Определить распределение случайной величины 1 ( 1) . 2

8.37 При изготовления шариков для подшипников неизбежен некоторый разброс их радиусов. Считая радиус шарика случайной величиной с функцией распределения F x и плотностью p x найти функцию распределения и плотность распределения веса шарика . Плотность материала шарика обозначим через .

8.38Случайная величина имеет нормальное распределение с

параметрами 0 и 1. Найти плотность распределения случайной величины

= 2 .

8.39Определить плотность распределения случайной величины = 2 ,

где распределена нормально с параметрами a и 1.

8.40Найти плотность распределения случайной величины =1/ 2 , где

- случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону.

8.41Случайная величина равномерно распределена на отрезке 0;1 .

Найти плотности распределения случайных величин 1. 1 = 2 1; 2.

2 = ln(1 ).

8.42Случайная величина имеет распределение Коши с плотностью

64

8.43 Случайная величина n2 имеет плотность распределения

8.44Случайная величина имеет показательное распределение с

равными вероятностями может принять два значения: 0 или 1; -- равномерно распределена на отрезке 0;1 . Найти функции распределения следующих случайных величин: 1. 1 = ; 2. 2 = / 2; 3. 3 = .

8.47Выразить плотность распределения суммы двух независимых случайных величин и через плотности слагаемых.

8.48Имеется два радиоактивных образца. Число вспышек за единицу времени на специальном экране от каждого образца случайно и распределено по закону Пуассона соответственно с параметрами 1 и 2 . Как будет

распределено число вспышек на экране от совместного действия обоих образцов ?

8.49 Показать прямыми вычислениями, что распределение суммы двух независимых нормально распределенных величин снова нормально.

65

8.50Срок службы детали, определяющей исправность работы прибора,

является случайной величиной, имеющей показательное распределение с параметром . Найти распределение времени работы 1 прибора, если в запасе имеется еще одна деталь и замена испортившейся детали происходит мгновенно. Решить эту задачу для времени n в предположении, что в запасе n

деталей.

8.51Случайные величины 1 и 2 независимы и распределены каждая

стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения

8.53Компоненты вектора скорости молекулы некоторого газа,

находящегося в состоянии термодинамического равновесия, независимы и все

распределены по нормальному закону с параметрами 0 и 2 = at b > 0, где t -

-температура. Определить распределение случайной величины --

абсолютной величины скорости молекулы (распределение Максвелла).

8.54 Показать, что если случайные величины 1, 2 ,..., n независимы и

распределены нормально с параметрами 0 и 1, то 12 22 ... n2 имеет

распределение 2 с n степенями свободы.

8.55Случайные величины и независимы и распределены

66

8.56Найти плотности распределения суммы , если и

независимы, имеет равномерное распределение на отрезке [0;1] и

распределения F x , а равномерно распределена на отрезке a;b . Показать,

что имеет плотность F x a F x b . b a

8.58Найти распределение разности двух независимых случайных величин и , равномерно распределенных на отрезке 1;1 .

8.59Найти плотность распределения разности двух независимых случайных величин и , каждая из которых имеет доказательное

распределение с плотностью e xInd x > 0 .

8.60 Выразить плотность распределения произведения двух независимых неотрицательных случайных величин и через плотности сомножителей.

8.61Определить плотность распределения произведения независимых случайных величин и , плотности которых соответственно равны

8.62Определить плотность распределения вероятности случайной

8.65Найти плотность распределения случайной величины = , где

иимеют стандартное нормальное распределение и независимы.

8.66Найти плотность распределения случайной величины = , где

инезависимы и имеют одинаковые показательные распределения.

8.67Случайные величины и независимы и имеют равномерное распределение на 0;a . Найти плотности распределения случайных величин 1.

1 = ; 2. 2 = ; 3. 3 = ; 4. 4 = .

8.68В условиях задачи 8.67 показать, что распределение случайных

8.69Случайные величины 1, 2 ,..., n независимы; случайная величина

i имеет гамма-распределение с параметрами и i , i 1,n. Найти

1 2

если 1 и 2 независимы и равномерно распределены на [0;1].

8.71Случайные величины независимы и имеют показательное

1 2 ... n

68

8.72 Найти плотность распределения вероятности частного двух независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью

xe x2/2Ind x 0 .

(1/ m) 2

8.73 Найти плотность распределения случайной величины m , (1/ m) n2

где m2 и n2 независимые и имеют распределение 2 соответственно с m и n

степенями свободы (распределение Фишера с m и n степенями свободы).

8.74Пусть 1, 2 ,..., n -- независимые, одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения F x . Найти функцию распределения случайных величин: = min 1, 2,..., n и = max 1, 2,..., n .

8.75Случайные величины 1, 2 ,..., m , m 1,..., m n независимы и все

распределены по стандартному нормальному закону. Найти плотность

69

Раздел № 9 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. ДИСПЕРСИЯ. КОВАРИАЦИЯ. МОМЕНТЫ

9.1 Задача 13 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , равной суммарному числу очков, выпавших при бросании 5 игральных костей.

9.2 Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , равной суммарному числу очков, выпавших при бросании игральной кости n раз.

9.3Найти математическое ожидание случайной величины , если известны математические ожидания и : = 3 4 , E = 2, E = 6.

9.4Бросают 2 кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков, если известно, что выпали разные грани.

9.5Имеется n ключей, один и только один из которых открывает замок. Этот ключ неизвестен и определяется путем проб. Найти математическое ожидание числа проб до того, как замок будет открыт в двух случаях: 1. опробованные ключи, с помощью которых не удалось открыть замок, в дальнейшем уже не пробуются; 2. опробование ключей производится без фиксации того, какие ключи уже опробовались.

9.6Решить задачу 9.5 в предложении того, что среди n ключей имеется 2 таких, с помощью которых можно открыть замок.

9.7Для группы из n человек найти математическое ожидание числа дней года, на которые приходится по k дней дней рождения (год состоит из 365

дней и все комбинации дней рождения равновероятны).

9.8 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 1, равной числу испытаний до первого успеха включительно в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Решить аналогичную задачу для случайной величины r , равной числу испытаний до r -го успеха.

9.9Обозначим n = max{ n,n n}, где n -- число успехов в схеме

Бернулли с n испытаниями и вероятностью успеха p. Найти lim E n .

n n

70