Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

7.33 Счетчик Гейгера-Мюллера и источник радиоактивных частиц расположены так, что вероятность частице, вылетевшей из радиоактивного источника, быть зарегистрированной счетчиком, равна 0,0001. Предположим,

что за время наблюдения из источника вылетело 30000 частиц. Какова вероятность того, что счетчик:

1.зарегистрирует более 10 частиц;

2.не зарегистрирует ни одной частицы;

3.зарегистрирует ровно 3 частицы?

Ответ записать с точностью до 5 знака после запятой.

7.34 Какое наименьшее число частиц в условиях предыдущей задачи должно вылететь из источника для того, чтобы с вероятностью большей 0,99

счетчик зарегистрировал не меньше, чем 3 частицы?

7.35 Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 10000 человек 20-

летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 1,2 рубля страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховое общество выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность того, что:

1.к концу года страховое общество будет в убытке;

2.его доход превысит 6000 рублей;

3.его доход превысит 4000 рублей?

Ответ записать с точностью до 3 знака после запятой.

7.36 Сколько изюма должны содержать в среднем сдобные булочки для

того, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке была не менее

0,99?

7.37 На факультете 730 студентов. Вероятность рождения каждого

студента в данный день равна 1 . Найти наиболее вероятное число студентов, 365

родившихся 1 января, и вероятность того, что есть хотя бы один день в году, в

который родились ровно 3 студента. Ответ записать с точностью до 2 знака после запятой.

51

7.38Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того,

что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени

T , равна 1 . Найти вероятность того, что за время T ровно 4 станка потребуют

3

к себе внимания рабочего (вычислить точное значение этой вероятности и сравнить с результатом, получаемым по теореме Муавра-Лапласа). Ответ записать с точностью до 3 знака после запятой. Точное значение, по теореме Муавра-Лапласа 0,235;

7.39 В некоторой местности в среднем на каждые 100 выращиваемых арбузов приходится один весом не менее 10 кг. Найти вероятность того, что в партии арбузов из этой местности, содержащей 4000 штук, будет: 1. ровно 39

арбузов весом не менее 10 кг каждый; 2. не менее 25 таких арбузов. Ответ записать с точностью до 3 знака после запятой.

7.40 В камере хранения ручного багажа 80% всей клади составляют чемоданы, которые вперемежку с другими вещами хранятся на стеллажах.

Через окно выдачи были получены все вещи с одного из стеллажей в количестве 50 мест. Найти вероятность того, что среди выданных вещей было

38чемоданов. Ответ записать с точностью до 2 знака после запятой.

7.41Из таблицы случайных чисел отбирают числа, делящиеся на 3, до тех пор, пока не наберется 1025 таких чисел. Найти приближенное значение вероятности того, что потребуется таблица, содержащая не меньше 2500 чисел.

Случайными числами, если не указан закон распределения, называют реализацию независимых последовательных испытаний равновероятной полиномиальной схемы с исходами 0,9. Ответ записать с точностью до 3 знака после запятой.

7.42В таблице случайных чисел цифры группированы по две. Найти приближенное значение вероятности того, что среди пар пара встретится не менее двух раз. Ответ записать с точностью до знака после запятой.

7.43В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам

52

независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит один раз в сутки).

7.44 Предположим, что при наборе книги существует постоянная вероятность того, что любая буква будет набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает опечатку с вероятностью . После корректора автор обнаруживает каждую из оставшихся ошибок с вероятностью r=0,5. Найти вероятность того, что в книге с 1000000

печатных знаков останется после всех проверок не более 10 незамеченных опечаток. Ответ записать с точностью до 4 знака после запятой.

7.45Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток. Ответ записать

сточностью до 6 знака после запятой. ;

7.46Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости

(брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что:

1.в коробке не будет бракованных сверл;

2.число бракованных сверл окажется не более двух?

Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробку для того,

чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0.9, в ней было не менее 100 хороших?

Ответ в первых 2-х пунктах записать с точностью до 6 знака после запятой.

7.47В десяти ящиках находятся белые и черные шары. В пяти из них доля черных шаров равна 0.003, в трех 0.008 и в двух 0.01. Из каждого ящика с возвращением извлекается по 100 шаров. Какова вероятность того, что всего при этом будет вынуто не более 10 черных шаров? Ответ записать с точностью до 4 знака после запятой.

7.48Некоторая машина состоит из 10000 деталей. Каждая деталь может оказаться неисправной независимо от других с вероятностью pi , причем для

1000 деталей p1 = 0,0003, для 2000 деталей p2 = 0,0002 и для 7000 деталей p1 = 0,0001. Машина не работает, если в ней неисправны хотя бы две детали.

53

Найти вероятность того, что машина не будет работать. Ответ записать с точностью до 6 знака после запятой.

7.49 Радист принял 100 телеграмм. Из них 30 имеют длину 300 знаков, 50 -- 500 знаков и 20 -- 700 знаков. Вероятность неправильного приема одного знака равна 0,017. Телеграмма считается бракованной, если в ней искажено более 2% знаков. Какова вероятность того, что наудачу взятая телеграмма будет бракованной? Ответ записать с точностью до 3 знака после запятой.

7.50Два радиста принимают телеграммы длиной по 200 знаков.

Вероятность искажения одного знака у первого радиста 0,01, у второго -- 0,02.

Искажения знаков при приеме происходят независимо. Первый радист принял

80 телеграмм, второй -- 20. Наудачу выбрана телеграмма и в ней обнаружено

три ошибки. Какова вероятность того, что эта телеграмма принята первым радистом? Ответ записать с точностью до 4 знака после запятой.

7.51 При проведении телепатического опыта индуктор независимо от предшествующих опытов выбирает с вероятностью 0,5 один из двух предметов и думает о нем, а реципиент угадывает, о каком предмете думает индуктор.

Опыт был проведен 100 раз, и при этом было получено 60 правильных ответов.

Какова вероятность такого же или большего числа угадываний, если никакой связи между индуктором и реципиентом нет? Ответ записать с точностью до 4

знака после запятой.

7.52 Некоторый товар продается партиями по 1000 изделий со

следующими условиями: если в партии обнаруживается несколько бракованных изделий, то продавец платит покупателю неустойку по правилу,

приведенному в таблице:

54

Определить математическое ожидание величины неустойки, если вероятность для каждого изделия быть бракованным равна 0,006. Ответ записать в рублях с точностью до 3 знака после запятой.

7.53 Для экспериментальной проверки закона больших чисел были произведены следующие опыты: 1. монета была брошена 4040 раз, герб выпал

2048 раз (Бюффон); 2. монета была брошена 12000 раз, относительная частота выпадения герба оказалась равной 0,5016; 3. монета была брошена 24000 раз;

относительная частота выпадения герба оказалась равной 0,5005. Для каждого из опытов найти: 1. какова вероятность того, что при повторении опыта отклонение относительной частоты от 0,5 не превзойдет наблюденного; 2.

какую величину отклонения относительной частоты от 0,5 можно гарантировать с вероятностью 0,999? Ответ записать с точностью до 2 знака после запятой при поиске вероятности и с точностью до 3 знака после запятой при поиске отклонения.

7.54Проводилось много опытов по скрещиванию желтого (гибридного)

гороха. По известной гипотезе Менделя вероятность появления зеленого гороха в таких опытах равна 0,25. При 34153 опытах скрещивания в 8506 случаях был получен зеленый горох. 1. Допуская, что вероятность появления зеленого гороха во всех опытах была равна 0,25, найти вероятность того, что относительная частота отклонения от 0,25 будет не более чем 0,005; 2. в том же предположении найти вероятность того, что при повторении такого же числа опытов отклонение относительной частоты от 0,25 будет не более того,

которое имело место в предыдущих опытах. Ответ записать с точностью до 3

знака после запятой.

7.55 Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков не больше, чем девочек? Ответ записать с точностью до 5 знака после запятой.

55

7.56 В водоем выпущено 100 меченых рыб. Вскоре после этого из

водоема было выловлено 400 рыб, среди которых оказалось 5 меченых.

Определить общее количество рыб N в этом водоеме: 1. с вероятностью 0,9;

2.с вероятностью 0,6.

7.5711Вероятность некоторого события равна p в каждом из n

испытаний. Найти вероятность того, что: 1. частота наступления события при

n =1500 отклонится от p = 0,4 в ту или другую сторону меньше, чем на 0,02;

2. число появлений события будет при тех же n и p заключено между (a) 570

и 630; (b) 600 и 660; (c) 620 и 680; (d) 580 и 640. Ответы записать с точностью до 4 знака после запятой.

7.58 Процентное содержание цементита на металлографическом шлифе определяется с помощью острия, которым прикасается к шлифу в случайно выбранном месте и отмечают число попаданий на изучаемую структуру. Каким должно быть процентное содержание цементита для того, чтобы с вероятностью большей 0,95 при 400 наблюдениях острие более 100 раз попадало на цементит? Ответ записать с точностью до 1 знака после запятой.

7.59 Театр вмещает 1000 человек и имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли. Решить задачу для двух случаев: 1. зрители приходят парами и каждая пара независимо от других с вероятностью 0,5 выбирает любой из входов; 2. зрители приходят поодиночке.

7.60 12Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,5; в девятку -- с вероятностью 0,3; в восьмерку -- 0,1; в

семерку -- 0,05; в шестерку -- 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал 1. более 940 очков; 2. более 900 очков; 3.

менее 920 очков? Ответ записать с точностью до 4 знака после запятой.

56

7.61 Игральная кость бросается 1000 раз . Найти пределы, в которых с вероятностью 0,99 будет лежать сумма N выпавших очков. Ответ записать с точностью до 5 знака после запятой.

7.62 Игральная кость подбрасывается до тех пор пока сумма выпавших очков не превысит 700. Оценить вероятность того, что для этого потребуется: 1. более 210 бросаний; 2. менее 180 бросаний; 3. от 190 до 210 бросаний?

Ответ записать с точностью до 4 знака после запятой

7.63В урне было 3 белых и 3 черных шара. Один шар из урны потерян.

Для определения цвета потерянного шара из урны с возвращением извлечено

50 шаров и замечено, что в выборке белые шары появлялись чаще, чем черные.

Какова вероятность p того, что потерян черный шар? Сколько извлечений n

шаров из урны надо произвести для того, чтобы цвет шаров с меньшей частотой появления с вероятностью 0,99 совпадал с цветом утерянного шара?

Ответ для вероятности записать с точностью до 3 знака после запятой.

7.64 В урне 100 шаров, белых и черных. Известно, что 55 шаров одного цвета и 45 -- другого. Из урны произведено с возвращением 1000 извлечений и замечено, что в выборке черные шары представлены в меньшем числе, чем белые. Какова вероятность того, что в урне черных шаров меньше чем белых?

Ответ записать с точностью до 5 знака после запятой.

7.65В урне находится 100 шаров. Известно, что среди них белых либо

40, либо 35. Из урны с возвращением извлечено 500 шаров и замечено, что в выборке белый шар появился не менее 190 раз. На этом основании сделано заключение, что белых шаров в урне 40. Какова вероятность того, что это заключение ошибочно? Ответ записать с точностью до 2 знака после запятой.

7.66 В ящике было 50 белых и 50 черных шаров. Один из шаров,

неизвестного цвета, утерян. Чтобы определить цвет утерянного шара из ящика с возвращением извлекаются 10000 шаров. Какова вероятность того, что шары того же цвета, что и утерянный в выборке появятся реже, чем шары противоположного цвета? Ответ записать с точностью до 4 знака после запятой.

57

7.67 В ящике 50 белых и 50 черных шаров. Один из шаров неизвестного цвета, утерян. Для определения цвета утерянного шара из урны можно с возвращением извлекать шары и отмечать их цвет. Сколько извлечений надо проделать для того, чтобы с вероятностью не меньшей чем 0,999 шары того же цвета, что и утерянный, в выборке появлялись реже, чем шары противоположного цвета.

7.68В условиях задачи 7.67 произведено 2500 извлечений с возвращением и в выборке белый шар появился 1232 раза. Какова вероятность того, что утерян белый шар? Ответ записать с точностью до 4 знака после запятой.

7.69В каждом из 10 ящиков лежит по 100 шаров. При этом в 6 из них -

-по 60 белых шаров ( 1-й тип ящиков), в 3 -- по 55 белых шаров (2-й тип) и в одном -- 50 белых шаров (3-й тип). Случайно выбирается ящик и из него с возвращением извлекаются 1000 шаров, среди которых оказалось 52 белых. Из ящика какого типа наиболее вероятно выбирались шары?

7.70Имеется 10 урн, в каждой из которых находится 100 шаров,

белых и черных. В шести урнах -- 55 белых шаров и 45 черных (1-й состав шаров); в четырех урнах -- 55 черных и 45 белых (2-й состав шаров). Из наудачу выбранной урны с возвращением извлечено 100 шаров и из них оказалось 48 белых. Какой состав шаров в выбранной урне наиболее вероятен?

58

Раздел № 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИЙ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

8.1 Случайная величина имеет следующее распределение

вероятностей:

Найти выражение и построить график функции распределения. .

8.2Игральную кость бросают n раз. Найти функцию распределения числа выпадений шестерки.

8.3Можно ли подобрать константу C так, чтобы функция Cx 3

определяла плотность распределения вероятностей на 1. луче 1; ; 2. луче

0; ; 3. отрезке 2; 1 .

была плотностью распределения вероятностей на ; (распределение Коши)?

8.5 При каких значениях параметров и можно подобрать константу C таким образом, чтобы функция Cx 1e x была плотностью распределения вероятностей на луче 0; ? Для тех значений и , для которых это возможно, определить константу C (соответствующее допустимым значениям и распределение называется гамма-

распределением , ).

8.6При каких значениях параметров p и q можно подобрать

константу C таким образом, чтобы функция Cxp 1 1 x q 1 была плотностью

распределения вероятностей на интервале 0;1 ? Для тех значений p и q, для которых это возможно, определить константу C (соответствующее допустимым значениям p и q распределение называется бета-распределением

p,q ).

59

8.7 Каким условиям должны удовлетворять величины a, b и C для того, чтобы при подходящем выборе нормирующего множителя D функция

Dexp{ ax2 2bx cy2 } определяла плотность распределения вероятностей на плоскости (здесь x и y - декартовы координаты точки на плоскости)?

8.8Плотность распределения случайной величины задана на всей

весами pk , k 0 ).

8.10 Имеется n целей, по которым ведется стрельба. Для поражения цели достаточно попадания в нее одного снаряда. Стрельба ведется до поражения всех целей. Вероятность попадания в любую из целей при одном выстреле равна p. Определить распределение случайной величины , равной числу израсходованных снарядов (распределение Паскаля).

8.11Из урны, содержащей N различных шаров, наудачу с возвращением извлекаются шары. Определить распределение случайной величины , равной числу извлечений, произведенных до того момента, когда

ввыборке будут представлены все N шаров.

8.12Два друга договорились о встрече с 12 до 13 часов дня.

Пришедший первым на место встречи ожидает второго. Найти распределение случайной величины , равной времени ожидания.

60