Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

6.7Монета подбрасывается пять раз. При каждом бросании в урну,

которая первоначально содержала 2 черных и 3 белых шара, добавляется черный шар, если выпадает ``герб'' и белый шар, если выпадает ``решетка''

Затем из урны без возвращения выбирают 3 шара. Какова вероятность того, что среди этих 3 шаров будет ровно 2 черных?

6.8Вероятность того, что в течение часа в кассу за билетом обратится

отойдут от кассы, не взяв билета.

6.9 На фабрике, изготовляющей болты, машины A, B, C производят соответственно 25%, 35% и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Случайно выбранный болт оказался дефектным. Найти вероятность того, что он изготовлен, соответственно,

машиной A, B и C.

6.10Прибор может работать в трех режимах: нормальном,

форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60%

случаев работы прибора, форсированный в 30% и недогруженный в 10%.

Надежность прибора (вероятность безотказной работы в течение заданного времени t) для нормального режима равна 0,8; для форсированного 0,5; для недогруженного 0,9. Найти полную (с учетом случайности условий)

надежность прибора.

6.114 Сообщение может передаваться по одному из каналов связи,

достоверности сообщение передается два раза по одному и тому же каналу,

41

который выбирается наугад. Найти вероятность того, что хотя бы один раз оно будет передано правильно.

6.12 5 Производится посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, пользуясь, помимо приборов, еще и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна p1.

Если аэродром затянут низкой облачностью, то летчик сажает самолет,

ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна p2 . Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надежность (вероятность безотказной работы) . При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна p3 , p3 < p2 . Статистика показывает, что в k% случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события A -

-``благополучная посадка самолета''. .

6.13Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент t0 = 0

столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента t1, испытает столкновение в промежуток времени t1;t1 h , равна

h o h , h 0. Найти вероятность того, что время свободного пробега будет

больше t . e t .

6.14Имеется три урны. В первой - 5 черных и 5 белых шаров; во второй -- 3 черных и 7 белых; в третьей - 6 черных и 4 белых. Наудачу выбирается одна из урн и из нее без возвращения извлекается два шара. Один из них оказался белым, другой черным. Найти вероятность того, что шары извлекались из первой урны.

6.156Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин

дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина. (Считать, что в данном коллективе мужчин и женщин одинаковое число).

42

6.16В урне 10 белых и 5 черных шаров. Один шар потерян. Из урны без возвращения извлекается два шара и оба оказываются белыми. Найти вероятность того, что потерян белый шар.

6.17В урне имеется n шаров, белых и черных. Состав шаров в урне неизвестен и равновозможно, что он любой. Из урны извлекается один шар.

Какова вероятность, что он белый?

6.18 В условиях задачи 6.17 из урны без возвращения извлекается r, r < n, шаров и из них k > 0 оказались белыми. Какой состав шаров в урне после этого наиболее вероятен.

6.19Решить задачу 6.18 для случая, когда выбор r шаров из урны производится с возвращением.

6.207 В урне находятся белые и черные шары, всего 6 шаров.

Всевозможные составы шаров в урне предполагаются равновозможными. Из урны с возвращением извлекаются 4 шара, среди которых оказалось 3 белых.

Какой состав шаров в урне наиболее вероятен и какова вероятность этого состава. Решить ту же задачу для случая, когда выбор производится без возвращения.

6.21 По линии связи передается одна из четырех трехбуквенных комбинаций AAA, BBB, CCC, DDD с вероятностями, равными соответственно 0,5; 0,2; 0,2 и 0,1. Каждая буква принимается правильно с вероятностью 0,7 и с равными вероятностями искажается на любую другую букву. Принята комбинация ADD. Какая комбинация вероятней всего была передана и с какой вероятностью? Предполагать, что различные буквы искажаются независимо.

6.22 По линии связи передается одна из трех четырех буквенных комбинаций AAAA, BBBB, CCCC с вероятностями, равными соответственно

0,41; 0,3 и 0,29. При этом буквы А и В принимаются правильно с вероятностью 0,6; а с вероятностью 0,2 могут быть приняты неправильно за любую другую букву. Буква C принимается правильно с вероятностью 0,8 и

искажается на любую другую букву с вероятностью 0,1. Принята комбинация

43

CACB. Какая комбинация вероятней всего передавалась и с какой

вероятностью.

6.23 По каналу связи сообщение передается последовательностью

символов трех качеств: ``+'', ``-'', ``0''. Вероятности появления этих символов при передаче равны соответственно 0,5; 0,3; 0,2. На приемном конце каждый из этих символов может быть принят неправильно. Вероятности правильного приема символов задаются таблицей 1.

Найти: 1. вероятности появления символов на приемном конце;

2. вероятность того, что был передан ``+'', если принят ``-''; 3. вероятность того,

что был передан ``+'', если принят ``0''.

Таблица 1. Вероятности правильного приема символов из задачи 6.23.

6.24Проводится следующая схема зависимых испытаний (схема Пойа).

Первоначально в урне находится a черных и b белых шаров. В каждом испытании наудачу выбирается один шар, отмечается его цвет, шар

возвращается в урну, куда добавляется еще c шаров того же цвета, что и

вынутый. Показать, что в любом испытании вероятность вынуть черный шар

Априорные вероятности этих состояний H1 = 0,7; H2 = 0,3. Имеются два

источника информации, которые приносят сведения о состоянии объекта;

первый сообщает, что объект не функционирует, второй - что функционирует.

Первый источник вообще дает правильные сведения с вероятностью 0,9, а с вероятностью 0,1 -- ошибочные. Второй источник менее надежен: он дает

44

правильные сведения с вероятностью 0,7, а с вероятностью 0,3 -- ошибочные.

На основе анализа донесений найти новые (апостериорные) вероятности

гипотез.

6.26Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно

6.27Испытывается прибор, состоящий из двух узлов: ``1'' и ``2''.

Надежности (вероятности безотказной работы за время ) узлов ``1'' и ``2''

известны и равны p1 = 0,8 и p2 = 0,9. Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятности гипотез: H1 -- ``неисправен 1-й узел''; H2 -- ``неисправен 2-й узел''; H3 -- ``неисправны оба узла''.

45

Раздел № 7 БИНОМИАЛЬНАЯ И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМЫ. ТЕОРЕМЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА И ПУАССОНА

7.1 Задача 9 Урна содержит 4 черных и 6 белых шаров. Определить вероятность того, что при выборе с возвращением 8 шаров среди них будет 5

белых.

7.2Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадет по три единицы.

7.3Найти вероятность того, что в 2n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p и неуспеха q=1-p появятся m+n успехов, 0≤m≤n, и все испытания с четными номерами закончатся успехом.

7.410Вероятность того, что деталь, сошедшая с конвейера, дефектна,

равна r ; вероятность того, что дефектная деталь не будет обнаружена равна q.

Найти вероятность того, что при проверке n деталей среди них 1. не будет обнаружено ни одной дефектной; 2. будет обнаружено не менее двух дефектных; 3. будет обнаружено ровно две дефектных.

7.5В схеме Бернулли длины n>m вероятность успеха равна b. Найти вероятность того, что первый успех произойдет в n-ом испытании.

7.6В условиях задачи 7.5 найти вероятность того, что: 1. r-му успеху будет предшествовать s неуспехов; 2. r-й успех произойдет в n-ом испытании.

7.7Из совокупности пяти символов a, b, c , d, e производится выборка с возвращением объема 25. Найти вероятность того, что в этой выборке будет содержаться по пять символов каждого вида.

7.8Наудачу взятый человек будет шатеном, брюнетом, блондином или рыжим соответственно с вероятностями 0,4; 0,3; 0.2 и 0,1. Найти вероятность того, что в группе из шести человек будет 1. хотя бы один блондин; 2. не менее четырех шатенов; 3. равное число шатенов и брюнетов.

7.9Из множества S =1,N случайно и независимо выбираются два подмножества A1 и A2 так, что каждый элемент из S независимо от других

46

элементов с вероятностью p включается в Ai , а с вероятностью q =1 p не включается, i 1,2. Найти вероятность того, что A1 A2 = .

7.10 Из множества S =1,N независимо выбираются r подмножеств A1,

A2 ,..., Ar . Механизм выбора такой же, как в задаче 7.9 . Найти вероятность того,

что выбранные подмножества попарно не пересекаются.

возвращением из урны выбирается n шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет k красных, s белых и m черных шаров.

j=1

извлекаются m шаров. Найти вероятность того, что при этом будет извлечено m1 шаров 1-го цвета, m2 шаров 2-го цвета,..., ms шаров s-го цвета.

7.14 n ящиков разбиты на s групп, так что в j-той группе nj ящиков,

s

j 1,s, nj = n. Дробинки наудачу бросаются в ящики так, что дробинка с

j=1

равной вероятностью может попасть в любой из n ящиков. Найти вероятность того, что общее число дробинок, попавших в ящики первой группы, будет равно m1, второй группы -- m2 ,..., s-той группы - ms . Установить тождество этой задачи с предыдущей.

7.15 Круговая мишень радиуса 20 см разделена на пять зон концентрическими окружностями, радиусы которых равны соответственно 4, 8, 12 и 16 см. Вероятность непопадания в мишень равна 0,2, а при условии попадания равновероятно попадание в любую точку мишени. Произведено 6

выстрелов. Определить вероятность того, что в каждой из зон будет хотя бы одно попадание.

47

7.16 В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал

6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает k очков, k 0,5.

7.17 Игроки A и B играют ряд партий, каждая из которых заканчивается проигрышем для одного из них и выигрышем для другого.

Вероятность того, что игрок A выигрывает отдельную партию у игрока B

равна p. Вероятность того, что игрок B выигрывает отдельную партию у игрока A равна q =1 p. Перед началом игры было обусловлено сколько партий нужно выиграть каждому из них, чтобы считаться победителем, но игра была прервана, когда один из них не выиграл еще достаточного для победы числа партий. Какова вероятность победы игрока A, если ему необходимо выиграть еще m партий, а игроку B еще n партий. .

7.18 Движением частицы по целым точкам прямой управляет схема Бернулли с вероятностью p исхода 1. Если в данном испытании схемы Бернулли появилась 1, то частица из своего положения переходит в правую соседнюю точку, в противном случае - в левую. Найти вероятность того, что за

nшагов частица из точки 0 перейдет в точку m.

7.19В урне имеется 10 шаров четырех цветов: белых шаров четыре, а

красных, синих и зеленых по два. Из урны с возвращением извлекается 5

шаров. Чему равна вероятность того, что в выборке хотя бы один цвет появился

не менее трех раз.

7.20В круг вписан квадрат, который разбивает его на 5 частей. Наудачу

вкруге выбираются 9 точек. Найти вероятность того, что при этом в одной какой-то области выбрано 4 точки, в другой 3 и в третьей -- 2 точки.

48

7.21В круг вписан правильный шестиугольник, который разбивает его на семь частей. В круг наудачу бросается восемь точек. Найти вероятность того, что в каждую часть круга попадет хотя бы одна точка.

7.22Вокруг окружности описан правильный треугольник, который разбивается этой окружностью на 4 части. Внутри треугольника наудачу выбирается 7 точек. Найти вероятность того, что хотя бы в одной из частей будет не менее 5 точек.

7.23Вокруг окружности описан квадрат, который разбивается этой окружностью на 5 частей. Внутри квадрата наудачу выбирается 6 точек. Найти вероятность того, что в каждой из частей будет хотя бы одна точка.

7.24Сообщения, передаваемые по каналу связи, составляются из трех знаков A, B, C. Из-за помех каждый знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и принимается ошибочно за любой из двух знаков с вероятностью 0,2. Для увеличения вероятности правильного приема каждый

знак передается 5 раз. За переданный знак принимается знак, который чаще всего встречается в принятой пятерке знаков. Если наиболее частых знаков -

два, то из них выбирается равновероятно один. Найти вероятность правильного приема знака при указанном способе передачи.

7.25 Испытания в полиномиальной схеме с исходами 1, 2, 3,

имеющими вероятности p1, p2 , p3 соответственно, p1 p2 p3 =1,

заканчиваются, когда впервые не появится исход 3. Найти вероятность того,

что испытания закончатся исходом 1. .

7.26 Игрок A подбрасывает 3 игральные кости, а игрок B -- 2 кости.

Эти испытания они проводят вместе и последовательно до первого выпадания

“6” хотя бы на одной кости. Найти вероятности событий:

1.A1 -- ``впервые “6” появилось у игрока A, а не B'';

2.A1 -- ``впервые “6” появилось у игрока B, а не A'';

3.A3 -- ``впервые “6” появилось одновременно у игроков A и B

''.

49

7.27 В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен.

Определить вероятность того, что:

1.в каждый вагон вошло по два человека;

2.в один вагон никто не вошел, в другой вошел один человек, в

два вагона -- по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека.

7.28Два стрелка производят по три выстрела каждый в свою мишень.

Один стрелок при каждом выстреле с одинаковой вероятностью выбивает любое количество очков от 7 до 10, а для другого вероятность выбить 7 и 10

очков равны 1 , а вероятность выбить 8 и 9 очков равны 3 каждая. Найти

вероятность того, что :

1.первый стрелок выбьет 25 очков;

2.второй стрелок выбьет 25 очков;

3.оба стрелка выбьют одинаковое количество очков.

7.29В n ящиков бросается s дробинок, так что для каждой дробинки равновероятно попадание в любой из ящиков. Считая бросания различных дробинок независимыми испытаниями, найти вероятность того, что при этом не будет ни одного пустого ящика.

7.30В условиях задачи 7.29 найти вероятность того, что не будет ни одного ящика, в который попала в точности одна дробинка.

7.31В условиях задачи 7.29 найти вероятность того, что будет в точности t пустых ящиков.

7.32Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить:

1.не менее 3 семян сорняков;

2.не более 15 семян сорняков;

3.ровно 6 семян сорняков?

Ответ записать с точностью до 5 знака после запятой.

50