Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

и b, b> a от другого основания цилиндра. Найти вероятность того, что цилиндр упадет: 1. на основание, расположенное ближе к центру тяжести; 2. на основание, более удаленное от центра тяжести; 3. на боковую поверхность.

31

Раздел № 5 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И НЕЗАВИСИМОСТЬ

5.2Верно ли равенство P A|B P A|B =1?

5.3 Доказать, что если A и B независимы, то независимы A и B, A и

B, A и B.

5.4 Доказать, что если P A| B = P A| B , то события A и B

независимы.

5.5Пусть событие A таково, что оно не зависит от самого себя.

Показать, что тогда P A равно 0 или 1.

5.6 Два человека купили по одной карточке лотереи ``6 из 49'' и

независимо друг от друга отметили по 6 номеров. Найти вероятности событий:

каждый получит минимальный выигрыш (угадает три номера); каждый получит какой-либо выигрыш (угадает три или больше номеров).

5.7Среди 25 экзаменационных билетов 5 ``хороших''. Два студента по

очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что первый студент взял ``хороший'' билет; второй студент взял ``хороший'' билет; оба студента взяли ``хорошие'' билеты.

5.8 Рассматривается случайная перестановка четырех символов ``a'', ``b'', ``c'' и ``d'', и пусть A -- событие ``символы ``a'' и ``b'' стоят рядом'', B --

событие ``символы ``c'' и ``d'' стоят рядом''. Зависимы или нет события A и B?

5.9Могут ли несовместные события A и B быть независимыми?

5.10Имеется N деревянных детских кубиков, на каждом из них может быть наклеена картинка с изображением буквы A или B, или обе эти картинки вместе. Будем говорить, что произошло событие A, если наудачу выбранный кубик имеет картинку с буквой A, и событие B, если кубик имеет картинку B.

Можно ли наклеить картинки таким образом, чтобы чтобы события A и B

были независимы?

32

5.11Бросается две монеты. Найти вероятность того, что на обеих монетах выпал ``герб'' при условии, что хотя бы на одной из них ``герб'' есть.

5.12Бросается три игральных кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет единица. Найти вероятность того же события при условии, что на всех костях разное число очков.

5.13Известно, что при бросании 10 костей появилась по крайней мере одна единица. Найти вероятность, что появились две или более единицы.

5.14В урне 7 белых и 3 черных шара. Без возвращения извлекается 3

шара. Известно, что среди них есть черный шар. Какова вероятность того, что

другие два шара белые?

5.15Два стрелка стреляют по одному разу по одной и той же мишени.

Вероятность попадания в цель первого стрелка 0,7, второго - 0,4. В мишени есть одно попадание. Какова вероятность того, что в мишень попал второй стрелок? То же самое при условии, что в мишень есть хотя бы одно попадание?

5.16 Стрелок A попадает в мишень с вероятностью 0,6, стрелок B -- с

вероятностью 0,5 и стрелок C -- с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени и ровно две пули попали в цель. Какова вероятность того, что C попал

вмишень?

5.17Разыскивая специальную книгу студент решил обойти три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно есть в ее фондах книга или нет. И если книга есть, то одинаково вероятно занята она другим читателей или нет. Что более вероятно - достанет студент книгу или нет, если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?

5.18На остановку прибывают автобусы маршрутов с номерами из

множества 1,k. Номера последовательно прибывающих автобусов получаются по схеме равновероятного выбора с возвращением из урны, содержащей шары с теми же номерами. Найти вероятность pk того, что до появления автобуса маршрута с номером 1 ни на одном из остальных маршрутов не придет более

одного автобуса. При каком минимальном k 2 эта вероятность меньше 1 ? 2

33

бракованное изделие принимается с вероятностью k . Изделие принимается,

если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий: 1. бракованное изделие будет принято; 2. изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.

5.21Отрезок 0;a случайной точкой делится на две части, из которых

случайно выбирается одна часть. Обозначим r - длину выбранной части. Найти

x , 0 x a, предполагая, что координата случайной точки равномерно распределена на отрезке 0;a , и вероятности выбора любой из полученных частей отрезка одинаковы.

5.22 При переливании крови нужно учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33.7%

имеют первую группу, 37.5% -- вторую, 20.9% -- третью и 7.9% -- четвертую группу крови. С точностью до четвертого знака после запятой 1. найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора; найти вероятность того, что переливание можно осуществить, если имеются два донора; 2. найти вероятность того, что переливание можно осуществить, если имеются три донора.

5.23 Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказного срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99; при

34

перегреве -- 0,95; при вибрации и перегреве -- 0,8. Найти вероятность p1

отказа этого реле при работе в жарких странах ( вероятность перегрева равна

0,2 вероятность вибрации 0,1) и вероятность P2 отказа при работе в

передвижной лаборатории ( вероятность перегрева 0,1? вероятность вибрации

0,3), предполагая перегрев и вибрацию независимыми событиями.

5.24 В условиях задачи 5.23 найти границы, в которых могут изменяться

вероятности p1 и p2 , если отказаться от предположения о независимости перегрева и вибрации.

5.25 При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 1 . Вероятность принять здорового человека за больного равна . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна . 1. Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при

= 0.01.

5.26Прибор, обладающий надежностью (вероятностью безотказной работы за время t), равной p, представляется недостаточно надежным. Для

повышения надежности он дублируется еще одним точно таким же работающим прибором. Если первый прибор за время t отказал, происходит автоматическое переключение на дублирующий. Приборы отказывают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что система из двух приборов проработает безотказно время t если переключающее устройство имеет надежность pn .

5.27 В условиях задачи 5.26 сколько нужно поставить дублирующих приборов с той же надежностью p, что и основной, чтобы надежность системы приборов была не ниже заданной величины ?

5.28 При одном цикле обзора радиолокационной станции объект обнаруживается с вероятностью p; при следующем цикле обзора он теряется с

35

вероятностью r; если при следующем цикле обзора он не потерян, то слежение

за объектом продолжается. Сколько потребуется циклов обзора для того, чтобы

свероятностью не менее установить устойчивое слежение за объектом?

5.29Происходит воздушный бой между истребителем и бомбардировщиком. Начинает стрельбу истребитель; он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью 0,2. Если бомбардировщик не сбит, он отвечает истребителю огнем и сбивает его с вероятностью 0,3. Если истребитель не сбит, он продолжает атаку, подходит к

бомбардировщику ближе и сбивает его с вероятностью 0,4. Найти вероятности

следующих исходов воздушного боя: исход A -- ``сбит бомбардировщик'',

исход B -- ``сбит истребитель'', исход C -- ``ни один из самолетов не сбит''

A = 0,424; B =0,24; C =0,336.

5.30По цели одновременно выстрелили n орудий. Вероятности попадания в цель равны pi , i 1,n. События, состоящие в попадании в цель

различных орудий независимы. Для поражения цели достаточно одного попадания. Определить вероятность поражения цели. .

5.31 Производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью гарантировать хотя бы одно появление события

A? .

5.32 Вероятность того, что n проводящих ток элементов находятся в

исправном состоянии равны соответственно p1,..., pn . Считая, что элементы выходят из строя независимо друг от друга, определить вероятность

последовательно; 2. параллельно.

5.33 Дан двухполюсник вида, представленного на рисунке

36

Каждый из элементов A, B, C в исправном состоянии проводит ток, а в неисправном -- не проводит. Вероятности неисправности элементов A, B, C

равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4. Считая, что элементы выходят из строя независимо один от другого найти вероятность того, что двухполюсник будет проводить ток.

5.34 Электрическая схема между точками A и B составлена по схеме,

представленной на рисунке

Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Вероятности выхода из строя за время T элементов цепи следующие: для элемента ``К1'' -- 0,1, для элемента ``К2'' -- 0,2, для элемента ``Л1'' -- 0,4, для элемента ``Л2'' -- 0,7, для элемента ``Л3'' -- 0,5.

Найти вероятность разрыва цепи между точками A и B за промежуток времени T .

5.35 Буквы в тексте встречаются с вероятностями p1,..., pm , где m -

число букв алфавита. Считая появление букв на различных местах текста независимыми событиями, определить вероятность того, что две буквы, взятые на различных местах текста, будут одинаковыми. .

37

5.36Доказать, что если P A = 0.9 и P B = 0.8, то P A| B =0.875.

5.37Доказать, что P A2 | A1 1 P A2 .

A1P

При каких k на подмножествах можно определить вероятность P и события

A1,..., Ak так, чтобы A1,..., Ak были независимыми в совокупности и 0< Ai <1,

i 1,k)?

5.44 Вы принимаете участие в игровом шоу и должны выбрать одну из трех дверей. За одной из них скрывается автомобиль, за двумя другими -- по козе. Вы решили выбрать дверь 1, а ведущий шоу открывает дверь 3, за которой оказывается коза. Ведущий спрашивает, не желаете ли Вы изменить решение и

38

выбрать дверь 2. Следует ли Вам менять свое решение, если 1. ведущий знает,

за какой из дверей скрывается автомобиль; 2. ведущий открыл дверь наугад?

39

Раздел № 6 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

6.1В трех урнах имеются белые и черные шары в следующих составах;

впервой урне - 3 белых и 1 черный; во второй - 6 белых и 4 черных; в третьей - 9 белых и 3 черных. Из урны, взятой наудачу, извлекается шар. Найти вероятность того, что он белый.

6.2В 10 урнах находятся по 12 шаров. При этом 2 урны содержат по 6

белых шаров, 3 -- по 4 и 5 -- по 3. Наудачу выбирается урна и из нее без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что среди них будет ровно 2 белых шара.

6.32 В первой урне 3 белых и 2 черных шара, а во второй 1 белый и 2

черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, после чего из второй урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот последний шар -- белый. Тот же вопрос для случая, когда из первой урны во вторую перекладывается два шара. .

6.4В одной урне 3 белых и 2 черных шара, в другой -- 1 белый и 2

черных. Из первой урны во вторую перекладываются два шара, после чего из второй урны с возвращением 4 раза извлекается по одному шару. Найти вероятность того, что среди извлеченных из второй урны шаров будет один черный и три белых. .

6.53Из урны, в которой было 6 белых и 4 черных шара, утеряно 4

шара. После этого из урны с возвращением извлекается 4 шара. Найти

вероятность того, что среди извлеченных шаров 2 белых и 2 черных. .

6.6В первой урне 2 белых и 3 черных шара; во второй -- 2 белых и 2

черных, в третьей -- 3 белых и 1 черный. Из первой урны во вторую перекладывается один шар. Затем один шар перекладывается из второй урны в третью. Наконец, из третьей урны один шар перекладывается в первую. Найти вероятность того, что после всех этих операций состав шаров в урнах останется без изменения.

40