Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

2.62Найти число различных размещений 1 неразличимых предметов одного рода и 2 неразличимых предметов другого рода по n ящикам.

2.63Сколькими различными способами могут быть расположены в ряд

1 белых, 2 чёрных и 3 красных шаров (шары одного цвета считаются

неразличимыми)?

2.64 1 букв α и 2 букв β размещаются в ряд. Отрезок этого ряда из

букв одного значения такой, что перед ним и за ним стоят буквы другого значения, называется серией. Найти вероятность того, что а) при случайном размещении образуется ровно k серий, б) найти вероятность наличия ровно k -серий.

2.65 В условиях задачи 2.64 найти вероятность того, что буквы образуют k серий, из которых k1 имеют длину 1, k2 - длину 2, … , kv - длину v

k1 ... kv k .

2.66r1 букв «а» и r2 букв «b» выстраиваются в случайном порядке.

Найти вероятность того, что n-й букве «а» будет предшествовать ровно m букв

«b».

2.67r1 букв «а» и r2 букв «b» располагаются в случайном порядке.

Найти вероятность того, что между любыми двумя буквами «а» будет стоять не менее k букв «b».

2.68 В городе с населением n+1 человек некто узнает новость. Он

передает ее первому встречному, тот еще одному и т.д. На каждом шагу впервые услышавший новость может сообщить ее любому из n человек с одинаковыми вероятностями. Найти вероятность того, что в продолжении r

каждом шагу новость сообщается группе из N случайно выбранных людей.

21

2.70 Рассматривается генеральная совокупность, состоящая из n+1

человека. Человек, которого условимся называть "прародителем", пишет два письма случайно выбранным адресатам, которые образуют "первое поколение".

Те, в свою очередь, делают то же самое, в результате чего образуется "второе поколение". Вообще, каждый из людей, образующих " r-ое поколение"

посылает два письма случайно выбранным адресатам. Найти вероятность того,

что "прародитель" не входит ни в одно из "поколений" с номерами 1,2,...,r. (Получивший более одного письма на каждое из них отвечает двумя).

22

Раздел № 3 ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

3.1Найти вероятность того, что для пяти последовательных бросаниях монеты герб выпадет хотя бы три раза подряд.

3.2Из чисел от 1 до 1000 наудачу выбирается одно. Найти вероятность того, что оно взаимно просто с числом 1000.

3.3Найти вероятность того, что число, наудачу выбранное среди целых

натуральное число, pj - различные простые натуральные числа.

3.4 Из чисел от 1 до 3600 случайно выбирается одно.

Найти вероятность того, что оно будет взаимно просто с числами 60 или 100.

3.5Из чисел от 1 до 120 наудачу выбирается одно. Найти вероятность того, что общий наибольший делитель выбранного числа со 120 равен 6.

3.6Из чисел от 1 до 180 наудачу выбирают два. Найти вероятность того, что общий наибольший делитель выбранных чисел равен 10.

3.7(Парадокс раздачи подарков) n человек решили сделать друг другу подарки следующим образом. Каждый приносит подарок. Подарки складываются вместе, перемешиваются и случайно распределяются среди участников. Доказать, что при n>3 вероятность по крайней мере одного совпадения больше вероятности того, что совпадений нет.

свет и каждый гость случайно выбирает себе шляпу из имеющихся в прихожей.

Какова вероятность того, что в точности k гостей (k 0,n) возьмут свои шляпы.

3.9Из колоды в 52 карты наудачу без возвращения выбирается 6 карт.

Найти вероятность того, что в выборке будут представлены все масти.

3.10 В урне имеются r различных цветов. Число шаров каждого цвета равно m. Без возвращения из урны извлекается n шаров (n>r-1). Найти вероятность того, что в выборке представлены все цвета.

23

3.11Найти вероятность того же события, что и в задаче 3.10 для того случая, когда шары выбираются из урны с возвращением.

3.12В n ящиков бросается n+1 дробинка. Найти вероятность того, что при этом в точности два ящика пустые.

3.13В n ящиков наудачу бросается n+2 дробинки. Чему равна вероятность того, что при этом ни один ящик не будет пустым?

3.14Найти вероятность того, что при случайном размещении r шаров по

n ящикам ровно в m ящиках окажется по k шаров, если для каждого шара

равновозможно попадание в любой ящик.

3.15Из урны, содержащей n различных шаров, одновременно извлекаются по m шаров. Найти вероятность того, что при l извлечениях с возвращением каждый шар будет вынут хотя бы один раз.

3.16Рассмотрим совокупность U всевозможных функциональных

отображений : X X, X n. Элемент x X является неподвижным для отображения U , если x x. Найти вероятность того, что при случайном выборе отображения из U оно не будет иметь неподвижных элементов.

3.17(Задача Мажордома). К обеду за круглым столом приглашены n пар враждующих рыцарей (n>1). Какова вероятность того, что при случайном размещении их за столом никакие два врага не будут сидеть рядом.

3.18(Задача о супружеских парах). За круглый стол на удачу рассаживаются n супружеских пар так, что мужчины и женщины чередуются.

симметрической группы степени n, найти вероятность того, что эта подстановка

24

будет противоречива одновременно с e и С, где e – единичная подстановка из

Sn, C=(1,2,3,…,n).

25

Раздел № 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

4.1 Точка А случайно бросается на отрезок [0,1] и делит его на две

части. Пусть t1 - длина большей части, t2 - длина меньшей части, для x

найти P t1 x и P t2 x .

4.2На паркет, составленный из правильных k -угольников со стороной

a, случайно бросается монета радиуса r. Найти вероятность pk того, что упавшая монета не заденет границу ни одного из k -угольников паркета для k = 3, k = 4 и k = 6.

4.3 На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата h наудачу бросается монета радиуса r, 2r < h. Найти вероятность pk того, что монета будет иметь общие точки с k квадратами k 1,4 .

4.4 Монета радиуса r случайно падает на паркет, изображенный на рисунке. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри маленького квадрата.

4.5 Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в геометрическую фигуру большей площади, попадет внутрь вписанной в нее фигуры, для случаев: 1. в круг вписан квадрат; 2. в круг вписан правильный шестиугольник; 3. в правильный треугольник вписан круг; 4. в квадрат вписан круг.

26

4.6 Коэффициенты уравнения x2 2ax b = 0 выбираются независимо

и наудачу из отрезка 1;1 . Найти вероятность того, что это уравнение будет иметь вещественные корни.

4.7 В уравнении x2 2ax b = 0 коэффициент a выбирается наудачу из

отрезка 1;1 , а коэффициент b наудачу на отрезке 2;2 и независимо от a.

Найти вероятность того, что уравнение не будет иметь вещественных корней.

4.8 В квадрате с вершинами в точках (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу

выбирается точка. Пусть ее координаты ( ; ). Найти вероятность того, что корни уравнения x2 x = 0 1. действительны, 2. оба отрицательны.

4.9 Два парохода должны встать под разгрузку к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что ни одному из пароходов не придется ждать освобождения причала, если время разгрузки каждого парохода

tчасов, t < 24. .

4.10В приемник может поступить два сигнала равновероятно и независимо в течение времени T . Если эти сигналы принимаются приемником одновременно, то он будет ``забит''. Найти вероятность того, что в течение времени T приемник будет ``забит'', если длительность первого сигнала 1, а

второго сигнала 2 .

4.11 Трое знакомых условились встретиться в определенном месте между 20 и 21 часами, причем договорились ждать друг друга не более 10

минут. Считая, что каждый выбирает момент своего прихода на встречу случайно в течение выбранного часа, найти вероятности того, что все трое знакомых встретятся; произойдет встреча по крайней мере двух знакомых.

4.12 На плоскости нанесена сеть из равноотстоящих параллельных прямых. Расстояние между прямыми равно a. На плоскость наудачу бросается

монета радиуса r, r < a . Найти вероятность того, что монета не пересечется ни

2

с одной из прямых.

27

4.13 На плоскости проведены две взаимно перпендикулярные совокупности параллельных прямых, которые разбивают плоскость на прямоугольники со сторонами a и b. Найти вероятность того, что хотя бы одну из проведенных прямых пересечет наудачу брошенная на плоскость: 1. монета

радиуса r, 2r < a, 2r <b; 2. игла длины 2s, 2s < a b a b 2 ab.

4.14На отрезок [0;1] наудачу бросают одну за другой три точки. Какова вероятность того, что третья по счету точка упадет между двумя первыми?

4.15На отрезке [0;1] наудачу выбирается одна точка, после чего на этом отрезке наудачу выбирается еще n точек. Найти вероятность того, что среди этих последних n точек в точности k попадет левее первоначально выбранной точки.

4.16В квадрате с вершинами 0;0 , 0;1 , 1;0 , 1;1 наудачу

квадрата на расстояние меньше, чем 1 , если известно, что от каждой из сторон

3

квадрата она удалена больше, чем на 1 . 6

4.17На окружности единичного радиуса наудачу выбирается точка.

Найти вероятность того, что 1. проекция точки на некоторый фиксированный диаметр находится от центра окружности на расстоянии не большем r, r <1; 2. расстояние от выбранной точки до одной из точек пересечения фиксированного диаметра с окружностью не превышает r.

4.18 Кусок проволоки в 20 см согнут в наудачу выбранных точках в виде прямоугольной рамки так, что концы проволоки образуют угол рамки.

Найти вероятность того, что площадь рамки не превосходит 21 квадратных сантиметров.

28

4.19Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков можно составить треугольник? Длина каждого из отрезков не превышает a и

все значения ее равновозможны.

4.20Палка длины t ломается в двух случайно выбранных местах. Найти вероятность того, что из трех полученных обломков можно составить треугольник.

4.21В условиях задачи 4.20 какова вероятность того, что из трех полученных обломков можно составить остроугольный треугольник?

4.22В условиях задачи 4.20 какова вероятность того, что длины каждого из трех обломков не превосходят a?

4.23На окружности наудачу ставятся три точки A, B и C. Найти вероятность того, что треугольник ABC будет остроугольным.

Задачи 4.24-4.27 относятся к так называемому ``Парадоксу Бертрана'' :

если ``наудачу'' выбирать хорду в некотором круге, то вычисление вероятности того, что длина хорды превзойдет некоторую константу C

(например, радиус круга или длину стороны правильного вписанного треугольника) зависит от смысла, накладываемого в понятие о случайности положения хорды в круге.

4.24На окружности радиуса r наудачу выбираются две точки и соединяются хордой. Найти вероятность того, что длина хорды больше r.

4.25На окружности радиуса r наудачу выбирается точка и через нее наудачу проводится прямая. Найти вероятность того, что построенная таким образом хорда имеет длину большую, чем r.

4.26В круге радиуса r выбирается наудачу один из диаметров, а затем на этом диаметре наудачу отмечается точка. Через отмеченную точку перпендикулярно диаметру проводится хорда круга. Найти вероятность того,

что длина построенной таким образом хорды имеет длину большую, чем r. 4.27 В круге радиуса r наудачу выбирается точка и через нее

проводится хорда, для которой выбранная точка является серединой. Найти

29

вероятность того, что длина построенной таким образом хорды будет больше,

чем r.

4.28 На плоской горизонтально расположенной фольге находится точечный источник радиоактивного излучения, посылающий лучи равномерно по всем направлениям пространства. Если параллельно фольге на единичном расстоянии от нее поставить экран, то на нем можно наблюдать точечные вспышки, вызванные радиоактивным излучением. Найти вероятность того, что очередная вспышка произойдет внутри круга радиуса R с центром,

находящимся над источником радиоактивного излучения. .

4.29 Шарик с нанесенной на нем сеткой ``меридианов'' и ``параллелей''

бросается на плоскость. Найти вероятность того, что ``географические координаты'' точки касания шарика с плоскостью будут следующими: 1. ``долгота'' - западная и находится в пределах от 80 до 110 ; 2. ``широта'' -

северная и больше 45 .

4.30На поверхности шара наудачу выбираются две точки. Найти вероятность того, что угловое расстояние между этими точками будет меньше

, 0 .

4.31Два спутника летают на высоте 600 км. Считая положение этих спутников над поверхностью Земли случайным, найти вероятность того, что зоны обзора этих спутников пересекаются. Землю считать точным шаром радиуса 6400 км.

4.321Однородный прямой круговой цилиндр случайно бросается на горизонтальную плоскость. найти вероятность того, что цилиндр упадет на боковую поверхность, если его высота h, а радиус основания r; оценить с

одинаковы?

4.33 Неоднородный прямой круговой цилиндр случайно бросается на горизонтальную плоскость. Радиус основания цилиндра r, центр тяжести расположен на оси симметрии цилиндра на расстоянии a от одного основания

30