Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

1.32А. Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока «герб» не выпадает два раза подряд. Построить вероятностное пространство. Найти вероятность того, что число подбрасываний не превосходит 5. Б. Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока «герб» не появится r раз. Построить вероятностное пространство. Сколько элементарных событий будет содержать событие «эксперимент заканчивается после n-го подбрасывания»?

1.33Может ли число всех событий какого-либо вероятностного пространства быть равным 129, 130, 128?

1.34Может ли быть в вероятностном пространстве: а) число элементарных событий конечно, а число событий бесконечно; б) число событий конечно, а число элементарных событий бесконечно?

1.35Число элементарных событий некоторого вероятностного пространства равно n. Указать минимальное и максимальное возможные значения для числа событий.

11

Раздел № 2 КОМБИНАТОРНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ

2.1 Урна содержит 2 чёрных и 3 белых шара. Определить вероятность того, что при выборе из нее без возвращения трех шаров, среди них будет ровно

2 белых. Построить все пространство элементарных событий для этой задачи и отметить в нем исходы, благоприятствующие событию, вероятность которого требуется найти.

2.2Из полного набора 28 костей домино наудачу берутся 5 костей.

Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна кость с шестью

очками.

2.3В ящике, содержащем 100 изделий, 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 10 случайно выбранных изделий нет ни одного дефектного.

2.4(Генуэзская лотерея). Из общего числа 90 разыгрывается 5 номеров.

Можно заранее сделать ставку на любое число номеров в пределах пяти. Если ставка сделана на "k" номеров (k 1,5) и именно эти k номеров находятся среди номеров, вышедших в тираж, то соответствующие выигрыши таковы:

если k 1, то 15 ставок;

k 2, то 270 ставок; k 3, то 5500 ставок; k 4, то 75000 ставок;

k 5, то 1000000 ставок.

Пересчитать вероятности выигрышей при ставке на любое выбранное число номеров «к». Какая часть разыгрываемых в лотерее денег останется у ее организаторов, если принять условие, что доля выигрышей в лотерее равна их вероятностям.

2.5Найти вероятности правильно угадать «к» видов спорта в лотереях

«Спортлото 5 из 36» и «Спортлото 6 из 45». На основании полученных результатов оценить, какие ставки выигрышей могут быть установлены с тем,

чтобы при длительном проведении лотерей не менее 50% участвующих в розыгрыше денег остались у организаторов лотерей.

12

2.6В лотерее из сорока тысяч билетов ценные выигрыши падают на три билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного ценного выигрыша на 1000 билетов; б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы вероятность получения ценного выигрыша была не меньше 0,5?

2.7Из урны, содержащей a белых и b чёрных шаров, без возвращения извлекается m шаров m a b . Определить вероятности следующих событий:

а) среди извлеченных шаров нет белых; б) среди извлеченных шаров ровно к белых; в) последний извлеченный шар чёрный; г) среди извлеченных шаров есть хотя бы один чёрный шар; д) l-тый извлеченный шар белый; е) ни в каких вух последовательных извлечениях не появятся шары одного цвета; ж) при m 2n в выборке одинаковое число белых и чёрных шаров.

2.8В урне имеется а красных, в белых и с чёрных шаров. Из урны без возвращения наудачу выбирается n шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет k красных, l белых и m чёрных шаров.

2.9В урне содержится n шаров s различных цветов, при этом число

шаров j - того цвета ( j 1,s) равно nj. Из урны без возвращения случайно

выбирается m шаров. Найти вероятность того, что при этом в выборке окажется m1 шаров 1-го цвета, m2 – второго, … ms – s – того цвета.

При решении задач 2.10 ÷ 2.33, обратить внимание на их аналогию задачам 7 ÷ 9.

2.10 В зале, насчитывающем n k мест, случайным образом занимают места n человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные

mмест m n .

2.11В партии из N изделий имеется n бракованных. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных на продажу r изделий будет ровно к бракованных r N,k n N .

2.12В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Как велика вероятность выигрыша для того, кто имеет к билетов m n,k n .

13

2.13В детский сад принято 2n мальчиков и 2n девочек. Найти вероятность того, что при случайном распределении детей по двум равным группам, в каждой группе мальчиков будет столько же, сколько девочек.

2.14Числа от 1 до 4N разбиваются на две равные группы. Найти

вероятность того, что а) все числа кратные N окажутся в одной группе N 1 ;

б) все числа кратные 4 окажутся в одной группе.

2.15Из чисел от 1 до N случайно выбирается к различных чисел. Какова вероятность того, что хотя бы одно из этих чисел будет кратно числу q q N ?

2.16Числа от 1 до 3N разбиваются на три равные группы. Найти вероятность того, что в одной какой-то группе окажутся: а) все числа от 1 до к

k N ; б) все числа кратные N; в) все числа кратные q 3 q 3N .

2.17Сорок участников турнира разбиваются на четыре равные группы.

Найти вероятность того, что четыре сильнейших участника турнира окажутся в

разных группах.

2.18Наудачу выбирается одно из целых чисел от 1 до 49. Какова вероятность того, что выбранное число взаимно просто с 49?

2.19Наудачу выбирается одно из целых чисел от 1 до 1000. Какова вероятность того, что выбранное число будет делителем числа 1000?

различные простые числа для j 1,s. Какова вероятность того, что случайно выбранное целое число от 1 до n будет делителем числа n?

2.21Два человека загадывают по одному делителю числа 1000. Чему равна вероятность того, что эти делители взаимно просты.

2.22Из чисел от 1 до 100 наудачу без возвращения выбираются два числа. Какова вероятность того, что ни одно из них не будет делиться ни на 2,

ни на 3.

14

2.23 Среди чисел от 1 до N случайно без возвращения выбираются n

чисел. Какова вероятность того, что разность между любыми двумя из выбранных чисел будет не меньше r 1?

2.24 Каждая из n палок разламывается на две части: длинную и короткую. Затем 2n обломков случайным образом объединяются в n пар,

каждая из которых образует новую палку. Найти вероятность того, что а) все обломки объединены в первоначальном порядке; б) все длинные обломки соединены с короткими.

2.25 В чулане находится n различных пар ботинок. Из них случайно выбирается 2r ботинок 2r n . Найти вероятность того, что а) среди выбранных ботинок отсутствуют парные; б) имеется одна комплектная пара;

в) имеется две комплектные пары.

2.26 Из колоды в 36 карт наудачу без возвращения выбирается 5 карт.

Найти вероятности того, что среди выбранных карт будут присутствовать: а) «король пик»; б) карты только красной масти; в) четыре карты одинакового значения; г) карты всех мастей; д) не менее четырёх карт одной масти; е) «десятка», «валет», «дама», «король» - все одной масти; ж) пять последовательных карт, независимо от масти; з) одна пара и одна тройка карт с одинаковыми значениями; и) три карты одинакового значения плюс две дополнительные карты разного значения; к) две пары карт одинакового значения плюс одна другая карта; л) две карты одинакового значения плюс три карты разных значений.

2.27Решить задачу 2.26 при условии, что выбор производится из колоды

в52 карты.

2.28Найти вероятности а) ÷ ж) задачи 26 в случае, когда из колоды в 36

карт (из колоды в 52 карты) наудачу выбирается 6 карт.

2.29 36 карт поровну раздаются четырём игрокам. Найти вероятности следующих событий: а) первый игрок получит не менее двух «тузов»; б)

первый игрок получил 4 «пики», второй и третий – по 2 «пики» и четвёртый – 1

карту этой же масти; в) первый игрок получил 4 «пики», 2 «трефы», 2 «бубны»

15

и одну карту червовой масти; г) второй игрок получил ровно «к» пар «туз» и «король» одной масти (k 0,4); д) первый игрок получил 2 карты одной масти, 3 карты другой масти и 4 карты - третьей; е) два каких-то игрока будут иметь по 2 «пики», а два других, соответственно, 4 и 1 «пику»; ж) при раздаче карт,

никакие два «туза» не сдавались подряд; з) первый, второй, третий и четвертый игроки получат соответственно a,b,c и d «пик», где a,b,c,d - неотрицательные целые числа, a +b +c+d = 9; и) первый игрок получит a «пик», b «треф», c «бубны» и d «червей», a, b, c, d – те же числа; к) первый и второй игроки вместе получат ровно два «туза».

2.30 Найти вероятность событий а), г), ж), з), и), к) задачи 2.29 в случае,

когда четырем игрокам поровну раздается колода в 52 карты и a,b,c,d -

неотрицательные целые числа, a +b +c+d =13.

2.31При игре в преферанс 32 карты (обычная колода без шестерок)

раздаются 4 игрокам: трем по 10 карт и одному 2 карты (прикуп). Найти вероятность следующих событий: а) у первого игрока будет a «пик», b «треф»,

третий и четвертый игроки получат соответственно a,b,c и d «пик»; a,b,c,d -

неотрицательные целые числа, a b c d 8; 0 d 2; в) взяв прикуп первый игрок сможет составить хотя бы один «марьяж», при условии, что у него на руках имеется два «короля» и одна «дама» все разных мастей («марьяж» - пара

«дама» и «король» одной масти); г) взяв прикуп, первый игрок получит все

«пики», при условии, что после раздачи он получил 6 «пик».

2.32Из множества, содержащего n элементов, наудачу выбирается непустое подмножество. Найти вероятность того, что в выбранном подмножестве четное число элементов.

2.33На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа

2,4,6,7,8,11,12,13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того,

что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.

16

2.34Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь k окрашенных граней, где a). k=3. б). k=2. в). k=1.

2.35На десяти одинаковых карточках разрезной азбуки написаны буквы

–A,A,A,E,И,K,M,M,T,T . Какова вероятность того, что а) при случайном

выборе трех карточек образуется слово KИT ; б) при случайном выборе

четырех карточек образуется слово TEMA; в) при случайном выборе всех

карточек получится слово MATEMATИKA.

2.36По одну сторону прямоугольного стола случайным образом рассаживается n друзей. Найти вероятность того, что а) два фиксированных лица A и B сядут рядом, причем B слева от A; б) три фиксированных лица A, B, C сядут рядом, причем A справа от B, а C - слева; в) найти вероятность тех же событий при случайном рассаживании друзей за круглым столом.

2.3752 карты располагаются по кругу. Найти вероятности того, что при этом не будет четырех подряд идущих тузов и того, что никакие две карты одного цвета не лежат рядом. Решить эту задачу для случая, когда карты располагаются в один ряд.

2.38Из симметрической группы Sn степени n случайно выбирается

подстановка . Найти вероятности событий: а) выбрана единичная

выбранной подстановке σ элемент i образует единичный цикл; г) в выбранной подстановке σ элемент i входит в цикл длины k; д) в выбранной подстановке σ

17

выбранной подстановке σ элементы i1,i2,...,ik лежат в одном цикле; подсчитать

эту вероятность для k 2; и) элемент i образует единичный цикл, при условии,

2.39 Урна содержит 1 чёрный и 2 белых шара. Определить вероятность того, что при выборе из нее с возвращением трех шаров, среди них будет ровно

2 белых. Построить для этой задачи все пространство элементарных событий и отметить в нем благоприятствующие условию задачи исходы.

2.40 Найти вероятности того, что при бросании симметричной монеты 5

раз: а) не выпадет ни одного «герба»; б) не выпадет ни одной «решетки»; в) не выпадет или «герба» или «решётки»; г) выпадет точно k «гербов»; д) выпадет и

«герб» и «решётка»; е) число выпадений «герба» нечётно.

2.41Решить задачу 2.40 в условиях, когда монета бросается n раз.

2.42Бросаются шесть игральных костей. Найти вероятности следующих событий: а) на всех костях выпало различное число очков; б) суммарное число

выпавших очков равно 7; в) суммарное число выпавших очков равно 34;

г) суммарное число выпавших очков равно 9; д) «пятёрка» выпала ровно на двух костях; е) «пятёрка» и «шестёрка» выпали каждая на двух костях;

ж) какая-то грань выпала не менее чем на четырёх костях; з) какая-то грань выпала не менее чем на трех костях; и) две какие-то грани выпали на двух костях; к) одна какая-то грань выпала на трёх костях, а другая на двух.

2.43 Игральная кость бросается n раз. Чему равна вероятность того, что а) «шестёрка» выпадает в точности один раз; б) «шестёрка» выпадает в точности L раз L 0,n ; в) «тройка» выпадает не менее двух раз; г) «пятёрка»

выпадает хотя бы один раз.

2.44 Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность выпадения хотя бы одной «шестёрки» была не меньше, чем 0,9.

18

2.45(Задача игрока де Мере). Показать, что при одновременном бросании четырёх костей получить хотя бы одну единицу более вероятно, чем при 24-х бросаниях двух костей получить хотя бы один раз две единицы.

2.46Найти вероятность того, что для данных 30 человек среди 12

месяцев года на 6 месяцев приходится по два дня рождения и на 6 месяцев по

три дня рождения. Считать, что для каждого человека равновероятно родиться

влюбой из 12 месяцев.

2.47Чему равна вероятность того, что в группе из шести человек все дни рождения приходятся на два каких-то месяца?

2.48Чему равна вероятность того, что при случайном выборе автобусного билета, среди 6 цифр его номера (номера с 000000 до 999999):

а) нет «нуля»; б) нет «единицы»; в) нет ни «нуля», ни «единицы»; г) нет или

«нуля», или «единицы»; д) есть и «нуль» и «единица»; е) «девятка» встретилась два раза, а «восьмёрка» - три; ж) какая-то цифра встретилась два раза, а другая

– три; з) две какие-то цифры встретились по два раза; и) нет одинаковых цифр;

к) сумма первых трёх цифр равна сумме трёх последних

2.49 Найти вероятности того, что при случайном выборе одного из всех

12-значных чисел (включая и те, которые начинаются с «нулей») среди его цифр: а) «нуль» встретится точно k раз (k 0,12); б) «пятёрка» встретится пять раз, а «тройка» - два раза; в) одна какая-то цифра встретится пять раз, а другая -

четыре; г) две цифры встретятся по четыре раза; д) будут все цифры от «нуля» до «девяти».

2.50Наугад выбирается одно из n–значных чисел. Найти вероятности событий а) ÷ е) задачи 2.47.

2.51Найти вероятности а) ÷ е) задачи 2.7 для случая, когда выбор шаров производится с возвращением.

2.52Три человека случайно рассаживаются в три лодки. Найти вероятности следующих событий: а) в каждой лодке есть человек; б) первая лодка пуста; в) есть в точности одна пустая лодка.

19

2.53 Девять студентов случайным образом размещаются в трёх аудиториях. Найти вероятность того, что а) во всех аудиториях будет по три человека; б) в первой аудитории будет 4, во второй 3 и в третьей 2 человека; в)

будет одна аудитория с 4, одна аудитория с 3 и одна аудитория с 2 студентами;

г) в одной аудитории будет 5 человек и в двух по два человека.

2.54В девять ящиков бросается семь дробинок. Чему равна вероятность того, что хотя бы в один ящик попадёт не менее двух дробинок?

2.55В восемь ящиков бросается шесть дробинок. Чему равна вероятность того, что хотя бы в один ящик попадёт не менее трех дробинок?

2.56В восемь ящиков бросается десять дробинок. Найти вероятность того, что все ящики не пусты.

2.5724 дробинки наудачу разбрасываются по 10 ящикам так, что для каждой дробинки равновозможно попадание в любой из ящиков. Найти вероятность того, что при этом будет два пустых ящика, 1 ящик с одной дробинкой, 3 ящика с двумя, 3 ящика с четырьмя и 1 с пятью дробинками.

2.58В n ящиков бросается n дробинок. Чему равна вероятность того, что ни один ящик не будет пуст?

2.59В n ящиков независимо и наудачу бросается m дробинок. Найти вероятности того, что а) ящики заполняются так, что в 1-вом ящике будет m1

дробинок, во втором - m2, … в n–том - mn дробинок; б) в 1-вом ящике будет

2.60В n различных ящиках размещают 2n неразличимых шаров. Найти вероятность следующих событий: а) ни один ящик не пуст; б) заданный ящик содержит ровно m шаров; в) ровно «k» ящиков останутся пустыми.

2.61Найти предел вероятности события б) задачи 2.59 при n .

20