Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

x;k,n k 1 (см. задачу 15.16). Найти EX k и X k .

12.19Пусть X = X1,...,Xn -- выборка из равномерного на отрезке 0;1

распределения U 0;1 . Найти cov X i ,X j , i, j 1,n.

12.20Найти для выборки из равномерного на отрезке a;b

101

случаев обычно записывают в виде последовательности пар ar, r , где

r > 0, или в виде таблицы, называемой статистическим рядом Статистический ряд для дискретной случайной величины .

Наглядным представлением таких данных является полигон частот,

который представляет собой ломаную с вершинами в точках ar, r .

Можно рассматривать также статистический ряд ar, r и

соответствующий полигон относительных частот.

12.22Наблюдаемые значения целочисленной величины для 12 опытов оказались равными 5; 1; 4; 0; 1; 4; 3; 5; 0; 5; 5; 2. Построить статистические ряды этих данных и полигон частот.

12.23Построить статистические ряды и полигоны частот для следующих данных:

1). 1; 2; 5; 3; 0; 1; 2, 7; 5; 4; 9; 2; 6; 4. 2) 5; 1; 0; 2; 1; 4; 3; 0; 3; 1; 0; 4.

12.24Пусть n есть число успехов в n испытаниях Бернулли с

результаты следующего эксперимента (Бюффон): при n = 4040 бросаниях монеты наблюдалось 2048 выпадений ``герба''? Указание. Воспользоваться теоремой Муавра-Лапласа, монету считать симметричной.

12.25 Используя такой же подход, как в задаче 12.24, проверить соответствие теории следующих данных: среди n =10000 целых ``случайных чисел'' (от 0 до 9) числа, не превосходящие 4, встретились 5089 раз.

102

12.26 Проводились опыты с бросанием одновременно 12 игральных костей, при этом наблюдалось число , костей с числом очков 4, 5 или 6.

Построить полигон относительных частот этих данных.

12.28Наблюдения над непрерывной случайной величиной, округленные

сточностью до 10 2 , оказались равными 0,59; 0,16; 0,44; 0,48; 0,90; 0,19; 0,65; 0,42; 0,35; 0,84; 0,28; 0,63; 0,54; 0,12; 0,18; 0,67; 0,94; 0,63; 0,33; 0,03. Построить гистограмму и полигон частот этих данных, взяв в качестве

третьего знака после запятой выборочные среднее X и дисперсию S2 .

103

12.29 В опытах наблюдалась неотрицательная непрерывная случайная величина. Вариационный ряд выборки объема n = 50 оказался следующим

(вычисления производились с точностью до 10 2): 0,01; 0,01; 0,04; 0,17; 0,18;

0,22; 0,22; 0,25; 0,25; 0,29; 0,42; 0,46; 0,47; 0,47; 0,56; 0,59; 0,67; 0,68; 0,70; 0,72; 0,76; 0,78; 0,83; 0,85; 0,87; 0,93; 1,00; 1,01; 1,01; 1,02; 1,03;

1,05; 1,32; 1,34; 1,37; 1,47; 1,50; 1,52; 1,54; 1,59; 1,71; 1,90; 2,10; 2,35; 2,46; 2,46; 2,50; 3,73; 4,07; 6,03. Построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон частот для этих данных с интервалами

; 0,555; 0,046; 0,321; 2,945; 1,974; 0,258; 0,412; 0,906; 0,513; 0,525;

0,595; 0,881; 0,934; 1,579; 0,161; 1,179; 1,055; 0,007; 0,769; 0,971; 0,712;

1,090; 0,631; 1,501; 0,488; 0,162; 0,136; 1,033; 0,303; 0,448; 0,748;

0,690; 0,756; 1,618; 0,345; 0,511; 2,051; 0,457; 0,218; 1,372; 0,225;

0,378; 0,761; 0,181; 0,736; 0,960; 1,530; 0,482; 1,678; 0,057; 1,229;

0,486; 0,856; 0,491; 1,983; 1,376; 0,150; 1,356; 0,561; 0,256;

0,212; 0,219; 0,779; 1,010; 0,598; 0,918; 1,598; 1,065; 0,415; 0,169;

0,313; 0,005; 0,899; 0,012; 0,725; 0,147; 0,121; 1,096; 0,181; 1,393;

1,163; 0,911; 1,231; 0,199; 0,246; 1,239; 2,574. Определить ее основные характеристики: построить эмпирическую функцию распределения,

гистограмму и полигон частот (точку x = 0 взять в качестве границы интервалов, ширину которых положить равной 0,5); сравнить полигон частот с плотностью стандартного нормального закона.

12.31 Рассматривая приведенные в задаче 12.27 данные как независимые наблюдения над дискретной случайной величиной, принимающей значения,

совпадающие с серединами соответствующих интервалов (т. е. значения 0,5;

104

соответствующая квантиль называется медианой распределения F .

12.32Убедиться, что выборочная p-квантиль p выражается через

порядковые статистики X k выборки X = X1,...,Xn следующим образом:

p = X np 1 Ind{np N} X np Ind{np N},

где a - целая часть числа a.

12.33 Вычислить с достаточной точностью выборочные среднее X и

дисперсию S2 и p-квантили при p 0,25;0,5;0,75 для данных задачи 12.29.

При исследовании свойств графика плотности распределения функции часто рассматриваются такие характеристики, как коэффициенты

центральный момент распределения k-го порядка. Если заменить в формулах теоретические моменты эмпирическими (выборочными) Sk , то

12.34 19Вычислить с необходимой точностью выборочные среднее X и

дисперсию S2 , а также выборочные коэффициенты ассиметрии 1 и эксцесса

2 для данных задачи 12.30.

105

12.35 Выразить эмпирический (выборочный) центральный момент Sk

через эмпирические (выборочные) начальные моменты Mk , и выразить Mk

через Sk .

которых выпадало 4, 5 или 6 очков. Пусть hi -- число опытов, в которых

106

гистограмму и полигон частот. Вычислить выборочные среднее и дисперсию, а

также выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Отметим, что в результате выборки можно наблюдать случайный вектор

(в учебных задачах, чаще всего, двухмерный). В этом случае можно вычислить такие статистики как выборочная ковариация и выборочный коэффициент корреляции. Рассмотрим подобную задачу на конкретном примере:

Пример. Пусть даны статистические данные температуры смазочного масла

заднего моста автомобиля y в зависимости от температуры окружающего воздуха x в

результате 50 наблюдений:

Требуется найти выборочную ковариация и выборочный коэффициент корреляции.

Для решения сначала составим статистический ряд (для выборки из случайного двумерного вектора), в котором в первых двух строчках – это уникальная пара значений, которык принимают у и x вместе (одно над другим),

а в нижней строчке – число раз νr,XY, сколько эта пара выпала в выборке

По этому статистическому ряду для выборки из случайного двумерного

вектора легко построить статистические ряды для x и y поотдельности:

107

По двум последним ряда находим выборочное среднее и выборочные

дисперсии для двух выборок – x и y по отдельности.

Для выборки из температуры окружающего воздуха x

i

Для выборки из температуры смазочного масла заднего моста автомобиля y

j

Если заменить в формулах для вычисления ковариации и коэффициента

корреляции

cov X,Y E X Y E X EY ;

X,Y E X Y EX EY ;

DX DY

математические ожидания на выборочные средние, дисперсии на выборочные

дисперсии, а смешанный момнт E X Y на статистику

то получится выборочная ковариация

kXY x y x y

и выборочный коэффициент корреляции

rXY x y x y . SX2 SY2

108

По статистическому ряду для выборки из случайного двумерного вектора

вычисляем:

12.42 Вычислить выборочный коэффициент корреляции для следующих

данных n = 26 наблюдений над случайным вектором = 1, 2 , записанных в виде статистического ряда, представленного в таблицах ниже

109

110