Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

Раздел № 11 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

В этом разделе все векторы предполагаются заданными в некоторой фиксированной декартовой системе координат в n-мерном Евклидовом пространстве. Вектор-строка a1,...,an записывается в виде a, вектор-столбец

обозначается a , транспонированная матрица обозначается AT . Квадратичная форма от переменных x1,...,xn с матрицей A записывается в виде xAx

11.1Пусть = 1,..., n -- n-мерный случайный вектор и A --

неслучайная прямоугольная матрица из m строк и n столбцов. Показать, что

E A = A E .

11.2 Пусть = 1,..., n -- n-мерный случайный вектор с

m

ковариационной матрицей и = ai i . Найти выражение для дисперсии

i=1

случайной величины .

11.3 Случайный вектор , имеет двумерное дискретное распределение, заданное приведенной ниже таблицей, в которой приведены

точностью до 4 знака после запятой.

11.4Случайный вектор 1, 2 имеет дискретное распределение

91

11.5В схеме Бернулли с вероятностью успеха p обозначим через k ,

k \ 1 разность номеров испытаний, при которых происходит k-й и k 1 -

й успехи, а через 1 - число испытаний до первого успеха. Найти совместное распределение величин 1, 2 и ковариационную матрицу вектора 1, 2 .

проекций точки A на плоскость x,y и на ось x.

11.8Случайный n-мерный вектор и m-мерный случайный вектор

связаны линейной зависимостью = A a , где A -- прямоугольная

11.9Пусть - положительно определенная симметричная матрица

плотностью распределения вероятности в n-мерном пространстве. Показать,

что требуемая константа равна 2 n/2 det 1/2 , где det -- определитель матрицы .

92

11.10 Показать, что случайный вектор = 1,..., n с плотностью

p x1,...,xn , определенный в задаче 11.9, имеет вектор a своим вектором

средних значений, а матрицу своей ковариационной матрицей.

11.11Найти характеристическую функцию случайного вектора с

плотностью распределения p x1,...,xn из задачи 11.9.16

11.12Показать, что, если квадратная матрица размера симметрична и

мерном пространстве (соответствующее распределение называется n-мерным нормальным распределением).

величины, распределенные нормально со средними значениями равными нулю

i=1

93

величины, имеющие каждая стандартное нормальное распределение. Показать,

i=1

независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение 2 c n степенями свободы.

11.20 Пусть = 1,..., n -- нормально распределенный случайный

вектор с нулевым вектором средних и с единичной ковариационной матрицей.

94

11.22 Показать, что, если вектор = 1,..., n распределен нормально с

нулевым средним и единичной ковариационной матрицей, то случайная точка,

прямой, на которой сосредоточено распределение . Найти дисперсию распределения на этой прямой.

11.25 Пусть p1 x1,x2 и p2 x1,x2 -- две плотности двумерных

нормальных распределений с нулевыми математическими ожиданиями,

единичными дисперсиями, но разными коэффициентами корреляции. Доказать,

абсцисс декартовой системы координат на плоскости за полярную ось и обозначим через r и полярные координаты точки, декартовы координаты которой равны, соответственно, 1 и 2 . Найти: 1. совместное распределение величин r и ; 2. плотность распределения полярного угла ; особо

95

рассмотреть случаи = 1 и = 0; 3/ плотность распределения величины r

(записать ее в виде степенного ряда относительно r ).

11.27 Пусть случайный вектор 1, 2 имеет нормальное распределение,

11.29 Случайный вектор плоскости = 1, 2 распределен нормально с нулевым вектором средних и ковариационной матрицей

1. Определить коэффициент корреляции величин 1 и 2 ; 2. написать совместную плотность p x,y распределения величин 1 и 2 ; 3. представить

величины 1 и 2 как линейные функции двух независимых случайных величин

1 , 2 , имеющих каждая стандартное нормальное распределение; 4. вычислить

средним и ковариационной матрицей

96

1. Определить коэффициент корреляции величин 1 и 2 ; 2. написать

уравнение прямой, на которой сосредоточено распределение вектора ; 3.

представить величины 1 и 2 , как линейные функции одной случайной

величины , имеющей стандартное нормальное распределение; 4. вычислить

вероятность события P 2 1 < 2 . Ответ записать с точностью до 3 знака после запятой.

11.32 В условиях задачи 11.31 1. найти плотность p x распределения

случайной величины 12 22 ; 2. вычислить вероятность события 2 > 12 2 .

Ответ записать с точностью до 2 знака после запятой. 3. Вычислить

имеющий невырожденное распределение с нулевым вектором средних и

i=1

минимально возможную дисперсию.

11.34 В условиях задачи 11.33 после определения соответствующих

n

величин i , i 1,n, вычислить дисперсию величины = 0 i i .

i=1

11.35В условиях задачи 11.34 показать, что случайная величина

некоррелирована с величинами i , i 1,n.

97

Раздел № 12 ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

12.1В урне M белых и N M черных шаров, при этом числа M и N

неизвестны. Чтобы оценить неизвестную долю p = M белых шаров в урне,

N

проводится опыт, заключающийся в извлечении с возвращением из урны n

шаров. Обозначим через X случайную величину, равную числу белых шаров среди извлеченных, и будем в качестве приближенного значения (оценки)

число наблюдавшихся в опыте белых шаров. Вычислить Epn и D pn . Доказать,

12.3 Пусть эксперимент состоит в многократном измерении некоторой

физической величины a, точное значение которой неизвестно и в процессе измерений не меняется. На результаты измерений влияют многие случайные факторы (точность настройки измерительного прибора, погрешность округления при считывании данных и т. д.), поэтому результат i-го измерения

Xi можно представить в виде Xi = a i , где i -- случайная погрешность измерения. В теории ошибок измерений обычно считается, что случайные величины 1, 2 ,... независимы и имеют одно и то же нормальное распределение с параметрами E 1 = 0 (отсутствие систематической ошибки измерения) и D 1 = 2 (равноточность измерений) при некотором неизвестном

> 0. В качестве приближенного значения для величины a по результатам n

98

12.5Наблюдавшиеся значения случайной величины в 5 опытах оказались равными соответственно 0,9; 0,1; 0,6; 0,7; 0,4. Вычислить основные характеристики выборки и построить эмпирическую функцию распределения F5 x .

12.6Пусть 0,8;2,9;4,4; 5,6;1,1; 3,2 -- наблюдавшиеся значения случайной величины . Вычислить основные характеристики выборки,

построить эмпирическую функцию распределения и проверить, что F6 5 = 1, 6

12.7В эксперименте наблюдалась целочисленная случайная величина.

Соответствующие выборочные значения оказались равными 3;0;4;3;6;0;3;1 .

Вычислить основные характеристики выборки, построить эмпирическую функцию распределения.

что эквивалентно, будет иметь ровно n скачков)? Тогда и только тогда, когда все порядковые статистики выборки будут различны.

12.9 Пусть x1 < x2 , и выборка производится из случайной величины с

функцией распределения F x . Чему равна вероятность P Fn x1 = Fn x2 ?

99

функцией распределения F x . Найти распределение эмпирической функции распределения Fn x в любой точке x R , для которой 0< F x <1.

12.1218 В условиях задачи 12.11 найти EFn x и DFn x .

12.13В условиях задачи 12.11 с помощью неравенства Чебышева доказать, что для любого > 0

12.14 В условиях задачи 12.11 с помощью теоремы Муавра-Лапласа доказать, что при n

функцией распределения F x . Доказать, что верно следующее представление для функции распределения k-й порядковой статистики X k :

n

FX k x = X k < x = CnmFm x 1 F x n m = F x ;k,n k 1 ,

m=k

100