Pankov_Praktikum_po_TViMS_21_12_1

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования

Московский технический университет связи и информатики

К.Н. Панков

ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Версия от 17.12.2021

Учебное пособие

для обучающихся в бакалавриате по направлению 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи

Москва 2021

Панков К.Н. Практикум по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2021. - 145 с.

Данное учебное пособие предназначено для использования на практических занятиях по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Его цель – помочь студентам, овладевшим основами теории вероятностей, познакомиться с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики и овладеть методами решения задач, связанных с ними.

Учебное пособие ориентировано на обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи.

Ил. __, табл. __, список лит.__ назв.

Издание утверждено Методическим советом университета в качестве учебного пособия. Протокол No __от __.__.____г.

Рецензенты:

© Московский технический университет связи и информатики, 2021

2

Предисловие

Настоящее учебно-методическое издание содержит задачи по различным разделам курса теории вероятностей и математической статистики и предназначено для использования на практических занятиях, лабораторных работах и осуществления самостоятельной работы студентами бакалавриата,

обучающихся по направлению 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии и системы связи. Порядок следования разделов, в основном, соответствует рабочей программе дисциплины курса, соответствующей федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования.

Цель издания -- помочь изучающим теорию вероятностей и математическую статистику приобрести навыки применения методов этой дисциплины к решению различных прикладных вопросов.

Исходной материалом для подготовленного пособия, в основном,

послужили сборники задач, составленные ранее автором для других учебных заведений.

Для части задач в тексте приведены дополнительные теоретические сведения. В конце издания приведены ответы и краткие таблицы, необходимые при решении ряда задач (в основном, по математической статистике). Более подробно с подобными таблицами можно ознакомиться, к примеру, в

специализированных справочниках.

3

Раздел № 1 ПРОСТРАНСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ.

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

1.1Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей,

наудачу выбирают одного. Пусть А – событие, заключающееся в том, что выбранный студент окажется юношей, В – событие, что он не курит, С – что он живет в общежитии: а) Описать событие ABC.б) При каком условии будет

иметь место тождество ABC A? в) Когда справедливо C B? г) Когда будет

справедливо равенство A B? д) Будет ли предыдущее равенство справедливо,

если все юноши не курят?

1.2Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных

1.3 Двое играют в шахматы. Событие А означает, что выиграл первый игрок, событие В – что выиграл второй игрок. Что означают события: а) A B;

б) A B; в) AB; г) B A; д) B A?

1.452 карты сдаются поровну четырем игрокам: Андрею, Борису,

Сергею и Дмитрию. Ak (соответственно Bk, Ck и Dk ) – событие, что Андрей

получил по крайней мере k тузов. Что можно сказать о числе тузов у Дмитрия,

если известно, что произошло событие: а) D1; б) А2B2; в)А1B1C1; г) D2 -D3;

д) А1B1C1D1; е) А3D1; ж) А2 B2 C2.

1.5 Упростить запись следующих событий: а) А В А В ;

б) А В А В А В ; в) А В В С ; г) АВС ВС С.

4

состоящее в том, что i – ая деталь имеет дефект. Записать события: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) хотя бы одна деталь имеет дефект; в) только одна деталь имеет дефект; г) не более двух деталей имеют дефект; д) по крайней мере, два изделия не имеют дефектов; е) точно два изделия дефектны.

1.9 Эксперимент состоит в бросании трех монет. Наблюдаются выпавшие стороны этих монет. Описать пространство элементарных событий.

Пусть Ai (i 1,2,3) событие, состоящее в выпадении «герба» на i– ой монете.

Записать с помощью событий Ai следующие события: а) на всех монетах выпал

«герб»; б) выпал ровно один «герб»; в) хотя бы на одной из монет выпал

«герб». Сколько элементарных событий включает каждое из этих событий? 1.10 Одна монета бросается три раза и при каждом бросании

наблюдается выпавшая сторона монеты. Событие, состоящее в выпадении

«герба» при i – ом бросании обозначим через Ai (i 1,2,3) . Описать

пространство элементарных событий. Записать с помощью событий Ai

следующие события: а) все три раза выпадала одна и та же сторона монеты;

б) одна и та же сторона монеты не выпадала два раза подряд; в) «герб» выпадал

5

чаще, чем «решетка». Сколько элементарных событий включает каждое из этих событий?

1.11 Эксперимент состоит в бросании монеты и шестигранной игральной кости. Сначала подбрасывается монета. Если выпадает «герб», то бросается кость, если же выпадает «решетка», то снова подбрасывается монета.

Описать пространство элементарных событий.

1.12 Эксперимент состоит в бросании двух игральных костей. События

Ai и Bi (i 1,2,...,6) состоят в выпадении i очков соответственно на первой и

второй кости. Описать пространство элементарных событий. Записать с

помощью событий Ai и Bj (i, j 1,2,...,6) следующие события: а) на одной из

костей выпало два, а на другой три очка; б) хотя бы на одной кости выпало одно очко; в) на одной и только одной кости выпало одно очко; г) на двух костях выпало одинаковое число очков. Сколько элементарных событий включает каждое из этих событий?

равенство A3C7 B4? д) сколько элементарных событий включает каждое из

событий Ck (k 1,2,...)?

1.14 Эксперимент состоит в раздаче 36 карт поровну четырем игрокам.

Наблюдаются наборы карт, доставшиеся каждому игроку. Описать пространство элементарных событий. Сколько всего элементарных событий?

Пусть Ai j событие, состоящее в том, что i – ый игрок получил j тузов. Сколько

элементарных событий включает каждое из Ai j? Выразите событие A13через

6

события Ai j (i 2,3,4). Совместны ли события A12 и A32? Показать, что

A12A40 A20 A30 ; A22A31A42 A12.

1.15 В урне имеется N шаров, каждому из которых поставлен в соответствие свой номер от 1 до N. Выбором с возвращением называется эксперимент, в котором на каждом шаге извлеченный шар возвращается обратно. Выбор шара из урны производится n раз. Описать пространства элементарных событий и подсчитать их мощность в следующих случаях: а)

выборки, состоящие из одних и тех же номеров шаров, но отличающиеся порядком следования номеров, объявляются различными (случай выборок с учетом порядка); б) указанные в а) выборки объявляются тождественными

(случай выборок без учета порядка).

1.16(продолжение). Выбором без возвращения называется эксперимент,

вкотором извлеченные шары обратно не возвращаются. Описать пространства элементарных событий и подсчитать их мощность: а) в случае выборок с учетом порядка; б) в случае выборок без учета порядка.

1.17По N различимым ячейкам последовательно размещается n

неразличимых частиц. Описать пространства элементарных событий в следующих случаях: а) в ячейке может находиться любое число частиц

(размещение без запрета); б) в ячейке может находиться не более одной частицы (размещение с запретом).

1.18(продолжение). Описать пространства элементарных событий в случаях а) и б) при размещении различимых частиц.\

1.19По N различимым ячейкам произвольным образом размещается n

включают события А, В?

7

1.20 Десять различимых дробинок произвольным образом разбрасываются по десяти ящикам. Сколько различных исходов имеет этот эксперимент? Пусть Ai (i 1,2,...,10)– событие, состоящее в том, что i – ый

события B0 и B1.

1.21 В первом ряду кинотеатра, состоящем из N кресел, сидит n человек.

Предполагая, что возможны все размещения этих n человек в первом ряду,

(i 1,2,3,4)– событие, состоящее в том, что цифра i стоит в перестановке на i–

ом месте. Показать, что A1A2A3 A4; A1A2A3 A4 . Сколько элементарных

событий включают события: а) A1A2 ; б) A1 A2 ? Сколько элементарных событий включает событие В {цифры1и 2в перестановкестоят рядом}?

1.23 Эксперимент состоит в выборе одной из возможных перестановок чисел 1,2,...,n . Пусть Aij означает событие, состоящее в том, что в выбранной

перестановке число i стоит на j – ом месте (i, j 1,2,...). Выразить с помощью

8

A1j1A2 j2...ASjs ? Сколько элементарных событий включает каждое из

указанных событий?

1.24 Эксперимент состоит в бросании монеты до тех пор, пока впервые появится «герб». Пусть An– событие, состоящее в появлении «герба» не далее,

чем при n – ом бросании. Описать пространство элементарных событий.

Выразить через An следующие события: а) «герб» выпадает при n - ом

бросании; б) эксперимент закончится не ранее m–ого и не позднее n-ого бросания m n ; в) эксперимент потребует не менее, чем n бросаний. Сколько элементарных событий включает каждое из этих событий?

1.25 Монета бросается до появления второго «герба». An – событие,

состоящее в том, что эксперимент закончится не позднее, чем при n–ом бросании. Описать пространство элементарных событий. Сколько элементарных событий включает событие An? Сколько элементарных событий

включает событие В: «эксперимент окончился не далее, чем при n–ом бросании

ипервый «герб» появился при этом не раньше, чем в m-ом бросании m n ?

1.26Монета бросается до появления r–ого «герба». Построить пространство элементарных событий, в котором можно было бы описать полностью результат эксперимента. Сколько элементарных событий будет включать событие: «эксперимент кончается при n–ом бросании»?

1.27Эксперимент состоит из неограниченной последовательности испытаний, в каждом из которых подбрасывается монета и наблюдается, какой стороной она выпадает. Построить пространство элементарных событий, в

котором возможно описать результат такого эксперимента. Используя разложение действительных чисел в двоичную дробь показать, что в качестве

такого пространства может быть взят отрезок действительных чисел 0,1 ,

дополненный некоторым счетным множеством точек. Указать на отрезке 0,1

множества, отвечающие событиям: а) в первом испытании выпал «герб»;

9

б) первый «герб» выпал не ранее n–ого испытания; в) во втором испытании выпал «герб».

1.28 А. Эксперимент состоит в измерении сторон прямоугольной пластинки. Описать пространство элементарных событий. Какие множества в

пространстве элементарных событий отвечают следующим событиям:

а) первый из размеров (длина) равен 1; б) по крайней мере, одно измерение 2;

в) одно из измерений больше другого не менее, чем в 2 раза; г) площадь

пластинки не превосходит 1; д) разность размеров не больше 0;

е) пластинка представляет собой квадрат. Б. Эксперимент состоит в измерении в момент t 0 положения и скорости материальной точки, движущейся равномерно вдоль заданной прямой. Описать пространство элементарных событий и указать в нем множество, отвечающее событию: «в момент t t0 0

точка будет находиться левее заданной точки x0.

1.29 Описать пространство элементарных событий для следующих четырех способов проведения хорды в круге радиуса 1: а) на окружности произвольно выбираются две точки и соединяются; б) выбирается направление диаметра, перпендикулярного хорде и точка пересечения хорды с диаметром; в)

выбирается точка на окружности и угол, который хорда, проходящая через выбранную точку, образует с диаметром, имеющим эту точку одним из своих концов; г) выбирается точка в круге и проводится хорда, для которой выбранная точка является ее серединой.

1.30 Индикатором множества (события) A называется функция

IA( ), равная 1 для всех A и равная 0 для A. Пусть A и B два события

и IA( ) и IB( ) - их индикаторы. Выразить через IA( ) и IB( ) индикаторы

следующих событий: а) A; б) AB; в) A B; г) A B (в предположении, что A и

Bне совместны).

1.31Доказать, что

10