Глава_7_Приложение_произв
.pdf119
Глава 7 Приложения производной
§1 Возрастание и убывание функций
Теорема 1.1. Для того, чтобы дифференцируемая на a; b функция не
убывала (не возрастала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы |
|
f x 0 f x 0 для всех x a; b . Если же для любого x a; b |
f x 0 |
( f x 0 ), то функция f x возрастает (убывает) на этом интервале. Другими словами:
1)f x не убывает на a; b x a; b : f x 0 ;
2)f x не возрастает на a; b x a;b : f x 0 ;
3) Если x a;b : f x 0 , то |
f x |
возрастает на a; b ; |
|
|
|||||
4) Если x a;b : f x 0 , то |
f x |
убывает на a; b ; |
|
|
|||||
1. Рассмотрим случай неубывающей функции |
|
|
|
|
|||||
|
Необходимость: Пусть |
f x не убывает на a; b . Тогда для любого |
|||||||
x a; b |
при x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f x x f x 0 |
y 0 lim |
y |
f x 0 x a; b |
|||||
|
|
|
x |
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
Достаточность. Пусть |
f x 0 |
любого x a; b . |
Тогда по формуле |
|||||
Лагранжа имеем |
f x2 f x1 f x2 x1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
Так как |
f 0 x1 x2 , то x1 , x2 a; b :x1 x2 |
f x2 f x1 0 , |
т.е. функция |
||||||
не убывает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Докажем теорему для случая возрастающей функции. |
|
|
|||||||
Пусть |
f x 0 тогда |
a; b |
f 0 |
и |
поэтому |
x1 , x2 |
a; b :x1 x2 |
||
f x2 f x1 f x2 |
x1 0 т.е. |
f x |
возрастает на a; b . |
|
|
||||
Геометрический |
смысл теоремы |
состоит |
в |
следующем: касательная к |
графику возрастающей на a; b функции составляет острый угол с осью ОХ; касательная к графику убывающей на a; b функции составляет тупой угол с осью ОХ (Рис. 1.1 и 1.2).
Рис. 1.1 |
Рис. 1.2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции |
f |
x |
1 |
x 2 . |
||||||
|
|
120
Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Находим производную функции
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2x |
|
f (x) 1 x |
|
1 1 x |
|
|
||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x) |
1 |
x2 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
при x ;0 возрастает и убывает |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, функция |
f |
x |
1 |
x 2 |
|
|||||||||
|
|
|
при x 0; . График этой функции изображен на рисунке 1.3
Рис. 1.3
График этой функции называется локоном Аньези.
Мария Гаэтано Аньези (Agnesi Maria Gaetana1718-1799) опубликовала описание данной кривой в 1748 году в труде «Основания анализа для употребления итальянского юношества».
§ 2 Точки локального экстремума функции.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции
Экстремум функции.
Особую роль при исследовании функций играют точки, разделяющие интервалы возрастания и убывания функции.
121
Определение 2.1. Точка x0 называется |
точкой локального максимума |
||||||
(Рис. 2.1) (минимума Рис. 2.2) функции |
f x , |
если существует -окрестность |
|||||
точки x0 , такая, что для вех x O x0 |
выполняется неравенство |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f x f x0 |
|
f x f x0 |
|||||
Значение f x0 называют |
|
локальным максимумом (минимумом) функции и |
|||||
пишут |
|
f x f x0 |
|
|
|
f x f x0 ) |
|
max |
|
( |
min |
|
|||
x O x0 |
|
|
x O x0 |
|
|
Точки максимума или минимума называют экстремумами функции.
Рис. 2.1 Рис. 2.2
Наибольшее и наименьшее значения функции на [a;b] называют абсолютным максимумом и минимумом (Рис. 2.3) и пишут
max f x |
f x |
|
|
|
f x f x |
|
|
|
min |
|
|
||||
x [a;b] |
|
0 |
|
x [a;b] |
|
0 |
|
Рис. 2.3
На рисунке 2.3 в точках x1 , x3 , x5 - локальные минимумы, в точках x2 , x4 - локальные максимумы, в точке x1 достигается абсолютный минимум (наименьшее
значение), а точке b – абсолютный максимум (наибольшее значение) функции на отрезке [a;b].
Необходимое условие существования экстремума функции.
Теорема 1.2. Если в точке x0 функция f x достигает экстремума то ее производная в этой точке или равна нулю или не существует.
|
пусть |
f x достигает в точке x0 максимума. Тогда существует такая |
|
, что |
|
O x0 |
|
|
|
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 f x0 f x0 x , x 0. |
|
|
||||||||
|
x O |
|
|
|||||||||||
При x 0 |
f x0 x f x0 |
0 , |
при x 0 |
|
f x0 x f x0 |
0 , |
|
|||||||
x |
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если пределы левых частей этих неравенств существуют, то |
|
|
||||||||||||
|
lim |
|
f x0 |
x |
f x0 |
|
f x0 |
0 0 , |
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
f x0 |
x f |
x0 |
|
f x |
|
0 0 |
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если производные функции |
f x0 0 в |
точке x0 |
равны |
нулю, то |
существует |
|||||||||
f x0 f x0 0 f x0 0 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
производные |
f x0 |
0 |
и |
f x0 0 не равны нулю |
то f x0 не |
существует.
Аналогично можно доказать случай, когда x0 -точка минимума.
Геометрический смысл теоремы 1.2 заключается в следующем: в точках
локального экстремума функции f x |
касательная к ее графику параллельна оси |
|||
абсцисс (Рис 2.4), |
если |
существует |
f x0 0 ; |
параллельна оси ординат, если |
f x0 бесконечна |
(Рис. |
2.5), существуют не |
совпадающие левая и правая |
|
касательные, если |
f x0 |
0 f x0 0 |
(Рис. 2.6). |
|
Рис. 2.4 |
Рис. 2.5 |
Рис. 2.6 |
Рис. |
2.7 |
Точки, в которых |
производная функции обращается в |
ноль или не |
существует называются критическими точками (или точками возможного экстремума). Точки, в которых производная обращается в ноль называются
стационарными точками.
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Критическая точка |
x0 |
|
называется |
угловой точкой |
функции |
f x , если |
||||||||||
f x0 |
0 f x0 |
0 . Критическая точка x0 |
называется точкой возврата функции |
||||||||||||||
если |
f x0 0 и |
f x0 |
0 бесконечны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Достаточные условия существования экстремума |
|
|||||||||||||||
|
Терема 2.2 (первый достаточный признак существования экстремума |
||||||||||||||||
функции). Пусть x0 |
критическая точка непрерывной функции f x . |
Если f x |
|||||||||||||||
при переходе через |
точку |
x0 |
меняет знак с "+" на "-", то |
точка x0 - точка |
|||||||||||||
локального максимума; если f x при переходе через точку x0 |
меняет знак с "-" на |
||||||||||||||||
"+", "-", то точка x0 - точка локального минимума; если |
f x |
при переходе через |
|||||||||||||||
точку x0 не меняет знака то x0 не является точкой локального экстремума. |
|||||||||||||||||
|
Пусть x0 - точка возможного экстремума, |
причем |
|
f x 0 x O x0 0 и |
|||||||||||||
f x 0 x O x0 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f x 0 x O |
x |
|
0 f x |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
f x |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
O |
x |
: f |
|
x |
0 |
|
|
|
f x 0 x O |
x |
|
0 f x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. точка x0 является точкой локального максимума (Рис 2.7).
Аналогично доказывается и существование точки локального минимума.
Пример 2.1. Найти экстремумы функции f (x) 13 x3 12 x 2
Найдем производную функции:
f x x2 x
Для нахождения нулей производной и промежутков ее знакопостоянства (а значит стационарных точек и промежутков монотонности функции) решим уравнение:
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|
x |
|
x 0 |
|
|
|||
|
|
f x 0 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
Составим следующую таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
||
х |
x<0 |
0 |
|
|
|
0<x<1 |
|
1 |
x>1 |
f´(x) |
+ |
0 |
|
|
|
- |
|
0 |
+ |
f(x) |
возрастает |
максимум |
|
|
убывает |
|
минимум |
возрастает |
|
f(x) |
|
0 |
|
|
|
|
|
-1/6 |
|
По этим результатам можно схематично изобразить график функции (Рис.8.2):
124
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Терема 2.3 (второй достаточный признак существования экстремума). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Стационарная точка |
x0 |
функции |
|
f x , |
|
дважды |
дифференцируемой |
в |
O x0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
является точкой локального минимума, если |
|
f x0 0 , |
и точкой |
локального |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
максимума, если |
|
f x0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x0 0 . |
|
|
|
O x0 |
|||||||||||||||
|
Пусть выполнены условия теоремы и |
|
Тогда |
f x в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возрастает, |
но f x0 0 , следовательно, |
|
в O x0 |
f x |
меняет знак с "-" на "+". |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно теореме 2.2 это означает, что точка |
x0 |
|
является точкой |
локального |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
минимума. |
f x0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
O x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x0 0 , |
|
|
|
||||||||||||||
|
Если |
то |
|
f x в |
|
|
убывает, |
|
но |
|
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||
f x в O x0 меняет знак с "+" на "-". Тогда согласно теореме 3 это означает, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка x0 является точкой локального максимума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 2.4. (третий достаточный признак существования экстремума |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции). |
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть функция |
- n |
раз непрерывно дифференцируема в точке x0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f x |
f x |
... f n 1 x |
0 |
0, |
f |
n x |
0 . Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) если n - четное и |
|
f n x 0 , то x |
0 |
- точка локального максимума; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) если n - четное и |
|
f n x 0 , то x0 - точка локального минимума; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) если n - нечетное то x0 |
не является точкой локального экстремума; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
n x |
0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f x f x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
o x x x0 , |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где o x 0 , при x x0 . Преобразуем последнее выражение: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f x f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o x x x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В силу бесконечной малости o x |
выражение |
|
f |
n x |
0 |
|
o x |
будет иметь такой же |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знак, что и |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
случай, |
когда |
|
n- |
|
|
четное. |
|
Тогда |
|
|
приращение |
функции |
||||||||||||||||||||||||||
f x f x f x0 |
при переходе x |
через точку x0 |
не будет менять знак. |
|
|
|
125 |
|
|
Если f n x0 0 , то |
f x f x f x0 0 , следовательно, |
f x f x0 и в |
|
точке x0 - минимум. Если же f n x0 0 , то |
f x f x0 и в точке x0 |
- максимум. |
В случае, когда n- нечетное число приращение функции при переходе x через
точку x0 будет менять знак, следовательно, в точке x0 |
нет экстремума. |
||||||||||||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 2.2. Найти локальные экстремумы функции f x x 4 |
4x 3 |
|||||||||||||||
|
|
Данная функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей |
|||||||||||||||
числовой прямой. Найдем стационарные точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f x 4x 3 12x 2 , 4x 3 12x 2 0 x |
|
0, x |
3 |
3, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|||
|
|
f x 12x 2 24x, f 3 36 0, f 0 0 |
|
|
|
||||||||||||
Стационарная точка x=3 является точкой локального минимума. |
|
||||||||||||||||
Найдем производные высших порядков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
f x 24x 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Согласно |
теореме 5 точка x=0 |
|
не |
|
|
является |
точкой локального |
||||||||
f |
0 24 |
|
|
|
|||||||||||||
экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§. 3 Абсолютные экстремумы функции на отрезке |
|
||||||||||||||
|
Одной из основных характеристик функции на отрезке являются ее |
||||||||||||||||
абсолютные экстремумы, т.е. наибольшее и наименьшее значения |
f x на отрезке |
||||||||||||||||
[a;b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функция f x непрерывна на [a;b]..то она принимает наибольшее и |
||||||||||||||||
наименьшее значения она принимает на концах этого отрезка или в точках ее |
|||||||||||||||||
локальных экстремумов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если x1 , x2 ,..., xn - точки локальных экстремумов, то |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
, f x |
2 |
,..., f x |
n |
|
||||||
|
|
min |
f x min |
f a , f b , f x |
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
x a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, f x |
2 |
,..., f x |
n |
|
|||||||
|
|
max f x max |
f a , f b , f x |
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
x a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x на 1;5 . |
Пример 3.1. Найти абсолютные экстремумы функции |
f x x 3 6x 2 |
||||||||||||||||
|
Найдем стационарные точки функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
4x 3 0 |
|
||||||||||
|
|
f x 3x |
2 |
12x 9 f x 0 x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3. |
|
Вычислим значения функции в стационарных точках и на концах отрезка |
|||||||||||||||||
|
|
|
f 1 4, f 3 0, f 1 16, f |
5 |
20 |
|
|
|
|
|
|||||||
Исходя из этих значений, приходим к выводу, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
min |
|
f x f 1 16 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 1;5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max f x f 51 20/
x 1;5
График данной функции можно изобразить на следующем рисунке 3.1
126
Рис. 3.1
§4 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
Определение 1.4. График дифференцируемой функции y |
f x называется |
выпуклым вниз (или вогнутым) на (a;b), если дуга кривой |
y f x x a; d |
расположена выше любой касательной, проведенной к графику этой функции (Рис. 4.1)
Рис. 4.1 Рис. 4.2
Определение 4.2. График дифференцируемой функции y f x называется выпуклым вверх (или выпуклым) на (a;b), если дуга кривой y f x x a; d расположена ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции (Рис
4.2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.3 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
|
Определение |
4.3 |
Точка |
M x0 , |
f x0 |
графика |
дифференцируемой |
функции |
|||||||||||
y f x , |
в которой направление |
выпуклости меняется на противоположное |
||||||||||||||||
называется, точкой перегиба (Рис. 4.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема 4.1 |
Если функция |
y f x на (а;b) дважды дифференцируема и |
|||||||||||||||
f x 0 |
x a; b , |
то график этой кривой вогнутый (выпуклый вниз). Если |
||||||||||||||||
f x 0 |
x a; b , то график этой кривой выпуклый на (а;b). |
|
|
|
||||||||||||||
Пусть на интервале (a;b) |
f 0 |
0 . Возьмем точку x0 |
a; b и покажем, что все |
|||||||||||||||
точки графика функции y f x на (a;b) |
лежат выше касательной, проведенной к |
|||||||||||||||||
нему в точке x0 |
(Рис. 4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Уравнение касательной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Y f x0 |
f x0 x x0 |
Y f x0 f x0 x x0 , |
|
|
|
|
||||||||||
где Y -ординаты точек касательной. Разность ординат точек кривой и касательной |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y Y f x f x0 f x0 x x0 |
|
|
|
|
|||||||
|
Применяем формулу Лагранжа к функции f x на |
x; x0 , получаем |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
y Y f x x0 f x0 x x0 y Y f f x0 x x0 , |
|
|
||||||||||||
где |
x0 , x a; b . Применим формулу Лагранжа к разности |
f f x |
на |
|||||||||||||||
x0 , , находим |
|
y Y f 1 x0 x x0 , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x0 ; a; b . В последнем равенстве |
f 1 0 , |
а x0 0 , если x x0 |
0 , |
или |
||||||||||||||
x0 |
0 , если x x0 0 . Следовательно, |
y Y т.е. ординаты точек кривой больше |
||||||||||||||||
ординат точек касательной при одной и той же абсциссе. Точки кривой y f x на |
||||||||||||||||||
a; b лежат выше точек касательной к кривой. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
График функции y f x на a; b вогнутый. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Доказательство выпуклости проводится аналогично. |
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример. |
Найти интервалы |
выпуклости и |
вогнутости графика |
функции |
|||||||||||||
f x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||
|
Находим первую производную: f x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 1 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 3 (x 1)3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Вторая производная f |
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x 0, x ; 1 1; , график кривой вогнутый |
|
|
|
||||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Рис. 4.5). |
|
|
|
|||
|
|
|
x 0, x 1; 1 - график кривой выпуклый |
|
|
|
128
Рис. 4.5
Сформулируем достаточные условия существования точек перегиба
Теорема 4.2. Если для функции f x вторая производная f x в некоторой
точке x0 обращается в ноль или не существует и при переходе через неё меняет |
|||||||||||||
свой знак, то точка M x0 , f x0 является точкой перегиба графика функции. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
0 в |
|
x |
|
0 |
|||
Пусть f x0 0 или не существует. Если f |
|
|
O x0 0 и f |
|
|||||||||
в O x0 0 , то точка кривой с абсциссой |
x0 отделяет интервал выпуклости от |
||||||||||||
|
|
0 в O x0 |
|
|
x |
|
0 |
в O x0 0 , то точка |
|||||
интервала вогнутости. Если f x |
|
0 и f |
|
|
кривой с абсциссой x0 отделяет интервал вогнутости от интервала выпуклости. В обоих случаях точка M x0 , f x0 является точкой перегиба графика функции.
Пример. Найти точки перегиба графика функции f x 1 x3 1 . Раскроем абсолютную величину числа
|
|
|
|
|
|
3 |
, x 1 |
||
f x 1 |
x |
3 |
1 |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем первую и вторую производные:
|
|
|
2 |
, x 1 |
|
||
|
3x |
|
|
||||
f |
x |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3x |
2, x 1 |
||||
|
|
|
6x, x 1, f x
6x, x 1.
Отметим, что в единице первая и вторая производные не существуют. f x 0, x ;0 1; , график кривой выпуклый,
f x 0, x 0;1 - график кривой вогнутой. В точках 0 и 1 вторая производная
меняет знак, следовательно точки О(0;0) и А(1;1) являются точками перегиба (Рис.
4.6).