Lektsii_Matanaliz

è 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство

²

jbn ¡ bj < 2jaj (ïðè a 6= 0);

тогда 8n > maxfN1; N2g справедливо неравенство

jan ¢ bn ¡ a ¢ bj < ²;

которое и означает, что lim (an ¢ bn) = a ¢ b:

n!1

Åñëè a = 0; òî

0 · jan ¢ bn ¡ a ¢ bj = jan ¢ bnj = janj ¢ jbnj < L ¢ janj;

далее по правилу двух ограничивающих последовательностей получаем lim (an¢

n!1

bn) = 0: Теорема доказана.

Теорема (об ограниченности обратной последовательности). Åñëè

существует предел последовательности lim bn = b è bn 6= 0 8n 2 N b 6= 0;

n!1

то последовательность fb1 g ограничена.

n

Доказательство. Òàê êàê b 6= 0 пусть для определенности b > 0; тогда b > 2b > 0 и по теореме о сохранении знака неравенства (см. Ÿ2.2) 9N1 2 N

Теорема (о пределе частного). Если последовательности fang è fbng

сходятся, т.е. lim an = a è lim bn = b; причем bn 6= 0 è b 6= 0; то последо-

n!1 n!1

21

Поскольку bn 6= 0; b =6 0; то в силу теоремы об ограниченности обратной последовательности существует положительная константа M > 0 такая, что

далее по правилу двух ограничивающих последовательностей получаем требуемое предельное равенство. Теорема доказана.

2.4Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной и ограниченной последовательности. Число e: Теорема Штольца.

Определение. Последовательность fang называется неубывающей (невозрастающей), если 8n 2 N an+1 ¸ an (an+1 · an): Если выполняются строгие

неравенства, то последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей). Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие строго монотонными.

Теорема (Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности). Пусть последовательность fang обладает свойствами:

22

à) fang ограничена сверху (снизу);

á) 9N такой, что 8n > N an+1 ¸ an (an+1 · an),

тогда существует предел lim an = a è a = sup AN (a = inf AN ); ãäå AN ´

n!1

faN ; aN+1; : : :g:

Доказательство. В силу ограниченности сверху последовательности fang существует вещественное число b такое, что an · b; 8n 2 N; тогда множество

AN ограничено сверху. По теореме о верхних гранях (см. Ÿ1.5) существует

a = sup AN ; причем an · a; 8n 2 N:

Пусть ² > 0 - произвольно, тогда по определению верхней грани числового множества (см. Ÿ1.5 ) существует номер N² ¸ N такой, что a ¡ ² < aN² · a; поэтому 8n ¸ N² справедливо неравенство

a ¡ ² < aN² · an · a < a + ²:

иррациональное число, введенное Леонардом Эйлера, называемое иногда чис-

монотонно возрастающая последовательность. Рассмотрим отношение двух последовательных членов этой последовательности

23

Теперь покажем ограниченность fang

Отсюда в силу теоремы Вейерштрасса получаем сходимость исследуемой последовательности fang: Воспользовавшись неравенством Бернулли (см. Ÿ1.3),

По теореме о пределе частного

lim bn = lim bn ¢ an = 1;

n!1 n!1 an e

В действительности имеет место предельное равенство более общего вида

lim ³1 + ®´n = e®; 8® 2 R:

n!1 n

Пример 2 (число e). Пусть

24

очевидно an · cn; поэтому по теореме о монотонности предела (см. Ÿ2.2)

e · c:

С другой стороны для любого фиксированного k 2 N ïðè n ¸ k имеем

Переходя в этом неравенстве к пределу при n ! 1; получим e ¸ ck: Отсюда, после повторного предельного перехода при k ! 1 имеем e ¸ c: Поэтому

c = e:

Пример 3 (итерационная формула Герона). Рассмотрим последова-

отсюда следует xn > xn+1 - ò.å. fxng строго убывающая последовательность

и по теореме Вейерштрасса является сходящейся. Обозначим ее предел через x0 и перейдем к пределу при n ! 1 в исходном рекуррентном соотношении,

25

При вычислении квадратного корня из положительного числа по итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков быстро растет, при- чем, если в процессе вычисления на каком-то этапе будет допущена ошибка, то в дальнейшем этот сбой автоматически корректируется, т.е. мы рассмотрели пример саморегулирующегося итерационного процесса.

Теорема (Штольца). Пусть для числовых последовательностей fang è fbng выполнены условия:

à) bn+1 > bn > 0; ò.å. fbng монотонно возрастает;

26

Òàê êàê âñå bn+1 > 0; òî

èëè

ò.å. 8² > 0 9N1 2 N такой, что 8n > N1 справедливо неравенство

Введем обозначение N = max(N1; N²); тогда 8n > N

Теорема Штольца доказана.

С помощью теоремы Штольца вычислим следующие пределы. Пример 4. При любом натуральном k вычислить предел

lim 1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk :

n!1 nk+1

В обозначениях теоремы Штольца

an = 1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk; bn = nk+1;

тогда выполнены все условия теоремы Штольца и значит

27