6. Применение общего уравнения динамики и уравнения Лагранжа второго рода для исследования движения механи-ческой системы.

6.1 Основные сведения из теории: принцип возможных перемещений; принцип Даламбера; общее уравнение динамики; кинетическая энергия механической системы; уравнение Лагранжа второго рода.

6.2 Задача Д6 из (3).

Дано: m₂= 2m₁, m₃= m₁/3

Найти: ускорение груза 1

РЕШЕНИЕ:

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы ( ) и может быть описана одним уравнением Лагранжа второго рода:

В качестве обобщенной координаты выберем перемещение груза 1, т.е. . Тогда обобщенная скорость .

Кинетическая энергия системы:

Для груза 1:

Для блока 2:

Для колеса 3:

Кинематические связи:

Моменты инерции:

Таким образом:

,

где приведенная масса системы

Тогда производные:

(кинетическая энергия явно от выбранной обобщенной координаты не зависит)

Полученная полная производная по времени дает левую часть уравнения Лагранжа.

Обобщенную силу , входящую в правую часть уравнения Лагранжа, определим через возможную мощность.

Придадим грузу 1 возможную скорость и найдем мощность действующих активных сил системы (рассматриваем ненулевые мощности):

Тогда

,

где приведенная сила

Для системы с одной степенью свободы возможная мощность это произведение обобщенной силы на обобщенную скорость:

Сравнивая полученные два соотношения для определения мощности получаем:

В итоге уравнение Лагранжа принимает вид:

Откуда

(м/с²)

Литература:

1. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – М: Высшая школа, 2008. -382 стр.,2002, 2000.

2. Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие –С-П 2007.-192с., 2009.

3. А.А. Ратничкин, Г.В. Ставер, М.А. Лобановский. Теоретическая механика, Сборник заданий для курсовых, контрольных и расчетно-графических работ и методические указания к их решению.-Новосиб. гос. акад. водн. трансп.- Новосибирск, 2014.

4. О.И. Гардеев, В.В. Дегтярева, А.А. Ратничкин, А.Я. Ройтман, Г.В.Ставер. Введение в курс теоретической механики: учебное пособие 2-е/ Новосибирская государственная академия водного транспорта. 2005.- 275с.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Учебник для ВТУзов. 12изд., М.: Высшая школа, 2001.- 416с.

6. Кононенко А.Ю. Методические указания по оформлению курсовой работы по теоретической механики. Новосибирск: НГАВТ, 2008.