акустика / tsvikker_k_kosten_k_zvukopogloshchaiushchie_materialy
.pdf120 |
Гл. VII . Резонансные звукопоглотители |
где dx — малое |
смещение |
воздуха |
силой dF. Очевидно, |
|
|
dx — |
, |
dF = Sdp, |
вканале, обусловленное
Vdp
Ко- dV
где dV — объем |
воздуха, |
поступающего при |
сжатии в |
полость, |
||||
dp — избыточное |
давление, |
приблизительно |
одинаковое по |
всей |
||||
полости, /<0 —модуль сжатия воздуха. Следовательно, |
|
|
||||||
|
|
|
г |
= _L |
v . |
|
|
|
|
|
|
|
S* |
*п • |
|
|
|
Собственная частота резонатора, определяемая по |
известной |
|||||||
формуле (»рез. = |
1/|/ тС, будет |
|
|
|
|
|||
|
|
2 - г'рез. ~ |
^рев. = |
с о ~j/r -у - > |
|
( ^ •1 ) |
||
где G = S/l и с0— \ / /Vо/со— скорость звука |
в воздухе. |
|
|
|||||
Горло резонатора редко бывает такой простой формы, чтобы его |
||||||||
можно |
было принять за |
цилиндр |
определенной длины. |
Но |
даже |
|||
в том |
случае, когда это |
возможно, наша теория является |
при |
|||||
ближенной, так как в ней не учитывается кинетическа! энергия колебаний воздуха, прилегакцщго к обоим концам канала. Эффек тивную массу воздуха, соот^гс^вующую этим колебаниям, можно
учесть, прибавив к длине щнала / |
некоторую |
поправку. |
Для |
||||||||||||||
каналов с кАглым поперечным сечением полная поправка |
для |
||||||||||||||||
обой£ концо® |
составляет |
0,8 |
диаметра |
D. |
Если |
/ |
стремится |
||||||||||
к нулю, т. е. канал вырождается |
в отверстие |
в |
тонкой |
стен |
|||||||||||||
ке, то масса определяется исключительно поправками на |
от |
||||||||||||||||
крытые концы, причем G точно равно D (подробности см. у |
|||||||||||||||||
Рэлея [4]). |
|
резонансной |
частоты |
vpe3 |
от |
проводимости G |
|||||||||||
Зависимость |
|||||||||||||||||
и объема V, определяемая уравнением |
(7.1), |
графически |
изобра |
||||||||||||||
жена на фиг. 73. Поскольку |
для |
отверстия в |
тонкой |
|
стенке |
||||||||||||
G ^ D, то |
там |
указаны |
и |
значения |
D. |
Стенку |
можно |
считать |
|||||||||
тонкой, если ее толщина много меньше диаметра отверстия. |
|
||||||||||||||||
Очевидно G = S/1 является |
электрической проводимостью про |
||||||||||||||||
водника той же самой формы, что и канал, если удельная |
про |
||||||||||||||||
водимость |
принята |
за |
единицу. |
Эта |
аналогия |
справедлива |
[4] |
||||||||||
и в более |
сложных |
случаях, |
что |
помогает |
оценивать |
G. |
Если |
||||||||||
в сосуде имеется несколько отверстий |
на достаточно |
|
больших |
||||||||||||||
расстояниях друг от друга, то проводимости отверстий G-просто |
|||||||||||||||||
складываются. Если в тонком сосуде имеется четыре |
отверстия |
||||||||||||||||
диаметром Z), то полная проводимость |
G = 4D. |
Если же |
отвер |
||||||||||||||
стия расположены очень близко друг |
к |
другу, |
то |
потоки |
воз |
||||||||||||
духа в них будут взаимодействовать друг с другом |
и |
поправки |
|||||||||||||||
на открытые концы будут иными. |
При этом проводимость каждого |
||||||||||||||||
§ 1. Введение |
121- |
отверстия уменьшится. Однако проводимость четырех отвер стий не может быть меньше 2D, т. е. диаметра отверстия, полу чающегося при слиянии четырех отдельных отверстий.
Как уже было указано выше, для цилиндрических каналов, приблизительно круглого поперечного сечения имеем
G = T-To^d |
( 7. 2) |
||
Проводимость может быть |
также |
вычислена |
в случае, когда |
отверстие п р едставл яет собой |
щель |
шириной |
b в бесконечное |
Фиг. 73. Зависимость резонансной |
частоты резонатора от объема V |
при различных |
проводимостях G. |
Для круглых отверстий в тонких экранах G равно диаметру отверстия (для тол стых экранов см. фиг. 83).
стенке толщиной d [55, 59, 60]. Для единицы длины щели имеем-
1 = Д |
+ 0,7 + |
- 1 п ^ . |
(7.3) |
||
G |
Ь |
1 |
тс |
tub |
4 |
Даже при учете концевых поправок изложенная здесь теория резонатора остается приближенной. Строго говоря, кинетическая энергия не сосредоточена только в канале. Точно так же при расчете упругости и соответствующей ей потенциальной энергии нельзя ограничиваться лишь объемом полости. Приведенные выше формулы приближенно справедливы, если все размеры резонатора малы по сравнению с длиной волны. Более детально эти вопросы рассмотрены в статье Ингорда [61].
122 |
Гл. VII. Резонансные звукопоглотители |
|
||
Чтобы |
избежать резкого селективного |
поглощения |
в узкой |
|
полосе частот вблизи резонанса, |
необходимо создать в резонаторе |
|||
подходящее затухание. Если это |
затухание |
создается |
путем за |
|
полнения полости резонатора каким-либо пористым материалом, то надо иметь в виду, что при этом изменяются эффективный объем полости и проводимость. Влияние на проводимость опре деляется структурой пористого материала. Для поправки на вну
треннем |
конце канала |
существенно, |
что |
воздух может проходить |
|||
только |
через главные |
поры, |
т. е. |
через |
часть объема, |
равную |
|
h/k, где |
h — пористость, k —структурный фактор (см. гл. |
I, § 8). |
|||||
Это означает, что эффективная плотность |
воздуха может ока |
||||||
заться в 5 — 10 раз больше ее |
нормального |
значения; увеличение |
|||||
плотности можно учесть, предположив, что |
поправка на откры |
||||||
тый конец со стороны полости в такое же число раз превышает поправку, определяемую диаметром. Для тонких стенок прово димость при этом уменьшается в 3—5 раз, что приводит к пони жению резонансной частоты в 1,7 —2,2 раза. По сравнению с этим эффектом увеличение резонансной частоты, обусловленное сокра
щением воздушного объема в полости, |
будет мало. |
В акустическом смысле резонатор |
выполняет три функции: |
а) |
поглощает энергию вследствие трения в канале и вблизи него; |
|||||
б) действует как вторичный,источник звука благодаря излуче |
||||||
нию из отверстия |
и, |
следоЛтёльно, |
может быть |
использован |
||
для рассеяние падающего звука; |
которую |
отчасти возвра |
||||
в) |
запасаещ энергию при резонансе, |
|||||
щает |
в окружающее пространство после того, |
как на него пере |
||||
стает |
действовать |
звук |
от внешнего источника; |
при |
некоторых |
|
условиях от этого может увеличиться время реверберации помеще ния, в котором расположен резонатор; этот эффект определяется временем реверберации самого резонатора, которое в свою очередь зависит от его затухания.
Ясно, что если резонатор |
имеет небольшое затухание, то он |
будет отзываться только на |
частоты, близкие к собственной |
частоте. В этом случае он |
будет поглощать много энергии; |
время реверберации его тоже |
будет большим. Вне резонанса он |
практически не будет отзываться на внешнее поле и, следователь но, не может являться хорошим поглотителем.
Чтобы сделать резонатор поглощающим в достаточно широком диапазоне частот, следует увеличить его затухание. Но тогда он
будет менее эффективным |
в смысле |
реакции на внешнее |
поле |
||
и его время реверберации будет мало. |
|
звука, |
то |
мы |
|
Так как нас интересует вопрос о поглощении |
|||||
должны подбирать такие конструкции, |
которые |
достаточно |
по |
||
глощают звук в достаточно |
широкой |
полосе частот; влиянием |
|||
же на реверберацию помещения, в котором используются |
такие |
||||
конструкции, можно пренебречь. |
|
|
|
|
|
§ 2 . Резонатор в безграничной стенке |
123 |
Перейдем теперь к расчету резонаторов. Рассмотрим три случая: а) резонатор в безграничной стенке; б) перфорированные экраны перед жесткой стенкой; в) случай нескольких резонаторов.
§ 2. РЕЗОНАТОР В БЕЗГРАНИЧНОЙ СТЕНКЕ
Пусть на безграничную стенку, в которой имеется один резонатор, нормально падает плоская волна. Пусть G —проводи мость резонатора, V — его объем,, a R — сопротивление (фиг. 74). Последнее является мерой затухания ре зонатора и будет определено ниже.
Поглощение и рассеяние звука резо натором полностью описываются его импедансом Z, зависящим от частоты. /1 Импеданс Z определяется как отноше ние звукового давления р к объемной скорости v; его можно выразить через
\G, $ и V
z |
^ - + |
$ + *Ро |
(7.4) |
|
|
|
/«>V • |
'/ |
Фиг. 74. Единичный |
Это уравнение выражает тот факт, |
резонатор, |
|||
что часть |
внешнего |
давления |
идет на |
А . |
преодоление инерции и сопротивления трения наЩдящегося в канале воздуха; остальная же часть идет на адиабатическое сжатие воздуха в полости. В электрических аналогиях такая систе
ма соответствует последовательному соединению элементов |
цепи. |
|||||||
Для цилиндрического канала слагаемое, |
обусловленное инерцией |
|||||||
(без поправок на концы), равно j ^ 0l/S. Согласно Рэлею, |
оно |
мо |
||||||
жет быть представлено в общем виде |
j ^ j G |
для случая, когда |
||||||
канал |
не цилиндрической |
формы |
и |
когда учтены поправки на |
||||
открытые концы. Так как |
р включает |
в себя влияние |
инерции |
|||||
воздуха перед резонатором, |
то оно |
не |
является давлением точно |
|||||
у входа в канал, но представляет собой давление перед |
резона |
|||||||
тором |
на некотором расстоянии от |
входа, |
например на |
рассто |
||||
янии, равном диаметру канала (точка А на фиг. 74). Слагаемое, обусловленное упругостью, вытекает из определения модуля
сжатия, который |
равен *р0; |
появляется |
при дифференцирова |
||
нии смещения по времени (электрический аналог 1//о)С). |
|
||||
Величина |
очевидно, представляет |
собой |
составляющую |
||
звукового давления р в точке А , находящуюся |
в фазе со |
ско |
|||
ростью v и деленную на эту скорость. |
|
|
|
||
Если в точке |
А амплитуда |
звукового |
давления равна |
р, а |
|
объемной скорости равна v, то поглощаемая мощность будет 1/г v2R,
124 |
Гл. VII. Резонансные звукопоглотители |
|
||||
аналогично выражению |
I 2R = 1/2i 2R в электродинамике; Сможет |
|||||
быть вычислено |
через |
р по формуле |
|
|||
|
|
|
|
Р= |
\ Z\ vy |
|
так |
что нужно |
знать |
только |
значение р, чтобы найти |
погло |
|
щаемую мощность. |
|
часто возникают недоразумении. |
Когда |
|||
|
В вопросе о давлении |
|||||
на стенку падает плоская водна с амплитудой pi9 то давление в
точке А не будет |
равно |
ни 2 piy как вблизи |
твердой |
стенки, ни |
|||||||
pi, как^считают некоторые авторы, |
а будет |
зависеть |
от сопро |
||||||||
тивления |
излучения отверстия. |
Чтобы найти это звуковое давле |
|||||||||
|
|
|
|
ние, представим себе безинерционный |
|||||||
|
|
|
|
поршень, который может без трения |
|||||||
|
|
|
|
перемещаться |
в канале. Под действием |
||||||
|
|
|
|
внешней силы этот поршень будет |
пе |
||||||
|
|
|
|
ремещаться с объемной скоростью v. |
|||||||
|
|
|
|
При наличии падающей плоской волны |
|||||||
|
|
|
|
давление с внешней сторон^ поршня |
|||||||
|
|
|
|
равно |
сумме |
2pi — Zn3A.vy |
1*де первое |
||||
|
|
|
|
слагаемое |
обусловлено падающей |
|
вол- |
||||
|
схема для резонатора. |
н|й, а |
второе —излучением; |
ZH3JI, |
есть |
||||||
|
сопротивление излучения поршня. |
|
Дав |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
ление с внуЛенней стороны, очевидно, |
равно |
Z'vy где Z' |
равно |
||||||||
Z |
мийус |
сопротивление, |
обусловленное |
внешней по отношению |
|||||||
к |
поршню массой |
в канале и равное |
/о)р0Д/Внешн./5. Следователь |
||||||||
но, условие равенства давления с |
обеих сторон поршня |
запи |
|||||||||
шется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 p i — Z w a A v = |
Z ' v . |
|
|
|
(7.5) |
|||
Знак минус перед вторым членом в левой части обусловлен тем, что за положительное направление скорости взято направ ление от внешнего конца канала к внутреннему. При v, удовле творяющем этому уравнению, не требуется никакой внешней силы для поддержания движения поршня; поэтому в первом прибли жении мы ничего не изменим, если уберем этот поршень. Следо вательно, уравнение (7.5), связывающее скорость v и давление па дающей волны, справедливо для резонатора без поршня. На фиг. 75 показана соответственная электрическая схема. К двум последова тельно соединенным сопротивлениям ZII3;I. и Z' приложена э.д.с. 2р{. Сюда приложима известная теорема из теории электричества: ток в любом участке электрической цепи равен току, который про ходил бы по этому участку, если бы он был присоединен к за жимам источника тока с э.д.с., равной напряжению на концах данного участка цепи при бесконечном сопротивлении этого
§ 2ь Резонатор в безграничной стенке |
125 |
участка, а внутреннее сопротивление источника |
тока равнялось |
бы сопротивлению всей цепи за исключением сопротивления дан
ного участка, при условии, |
что |
из этой |
остальной части |
цепи |
|
удалены все э. д. с. |
|
|
|
|
|
Акустической э. д. с. в |
нашем случае |
является давление |
при |
||
Z' = оо , т. е. 2pt. Внутренним |
сопротивлением является, |
оче |
|||
видно, импеданс излучения, так |
как он определяется из условия, |
||||
что резонатор удален и падающая волна «заморожена». |
|
||||
Из фиг. 75 видно, что |
|
|
|
|
|
тогда для поглощаемой |
мощности получаем |
|
|||
2 |
|
2,Pi |
2 Re Z', |
|
|
2изл. 4 |
|
|
|||
|
|
|
|||
где Re означает вещественную часть.
Резонатор как поглотитель характеризуется величиной Л, представляющей собой отношениедшующаемой мощности к потоку щрргии в падающей волне, равному
■§Р^ — |
± [рП2 " |
т. е? |
2 ^ ’ |
^ |
|
л _ |
R e Z ' |
|
I^ИЗЛ. + Z' |2 |
Из определения А следует, что эта величина имеет размер ность площади. Мы будем измерять ее в квадратных метрах.
^ивл. состоит из мнимой части, обусловленной поправкой на внешний конец канала, которая в сумме с Z' дает Z, и из вещественной части, которая называется сопротивлением излуче ния. Если поперечное сечение резонатора много меньше длины волны, то вещественная часть ZH8JI. выразится следующим об разом [4]:
ReZIIM. = |
^ |
= flD8JI.. |
(7.7) |
|||
Из уравнения (7.6) видно, что Z' можно заменить на Z, если не |
||||||
учитывать мнимой части ZH3JI.. |
|
|
|
вблизи резонанса, |
т. е. |
|
Величина А будет иметь |
максимум |
|||||
когда Z вещественно (и равно |
R). Максимальное поглощение при |
|||||
заданной частоте (к = const), |
очевидно, имеет место при R ~ /?изл.> |
|||||
и тогда |
|
|
X2 |
|
|
|
А |
|
|
|
|
(7 8) |
|
|
— рез- |
* |
|
|||
^макс. — 2те |
|
V*,и/ |
||||
Так, при частоте 345 гц (Л = |
1 |
м) |
имеем |
А ^ Ve л*2- |
|
|
126 |
Гл. VII. Резонансные звукопоглотители |
|
|
Оценим теперь величину звуковой энергии, рассеиваемой резо |
|||
натором во все стороны [4]. |
на ZH3n. и |
обратно, |
|
Очевидно, заменив в уравнении (7.6) Z' |
|||
получим |
полную мощность, излучаемую |
резонатором |
во всех |
направлениях по отношению к потоку энергии падающей волны. Уравнение (7.8) дает полную рассеянную мощность, если Л Н /?изл. и резонатор настроен в резонанс. Максимальная рассеиваемая мощность, однако, в 4 раза больше. Это можно показать, сделав
перестановку |
Z' |
и ZH3n. в (7.6) и рассмотрев |
случай резонанса |
|||
при R = 0. |
|
|
|
|
|
|
Уравнение (7.8) может оказаться очень полезным, однако |
||||||
следует помнить, |
что, вообще говоря, желательно, |
чтобы погло |
||||
щение имело |
место в довольно |
широком |
диапазоне |
частот, по |
||
крайней мере |
в |
пределах двух |
октав. |
Если |
резонатор имеет |
|
настолько малое затухание, что справедливо (7.8), то он погло щает очень селективно и вне резонанса поглощение очень мало.
Следовательно, |
для оценки эффективности резонатора необходимо |
|||||
рассмотреть поглощение вне резонанса. Для этого |
снова оказы |
|||||
вается удобным (7.6). |
|
|
|
|
|
|
Введем следующие |
обозначения: |
|
% |
|||
|
Частота |
|
|
|
|
|
/ = Резонансная частота. |
’^рез. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление резонатора |
|
|
|||
©противление |
излучения при резонансе |
Й |
г |см ' <7'7>1- |
|||
Можно показать, что |
в этих |
обозначениях |
(7.6) |
записывается |
||
в виде |
|
L2 |
|
|
|
|
|
д — |
|
4у. |
|
|
|
|
рез- |
|
(7.9) |
|||
|
|
|
|
Q -m |
|
|
При резонансе |
(/= 1 ) |
имеем |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
2тс (Нц)2’ |
|
(7.10) |
|
|
|
|
|
|
||
что совпадает |
с (7.8), |
если ^ = 1 . |
|
|
||
Вне резонанса (f ф 1) А будет меньше Лрез |
|
|
||||
При |
|
|
|
|
|
|
|
(/24 и )2 + |
('-тУ 2 (1 + ^ )2 |
|
(7.11) |
||
# 2. Резонатор в безграничной стенке |
127 |
|
Л —1/2Лре3.. Решая (7.11), найдем две частоты / х и |
/2; число |
|
октав О, заключенное между |
и /2, может служить |
мерой ши |
рины резонансной кривой. |
|
|
Фиг. 76. Зависимость Лрез> (эквивалентной площади открытого
окна в м2), деленной на квадрат холины волны, от отношения внутреннего сопротивления к сопротивлению излучения.
Эффективность резонатора могут характеризовать следующие
величины: |
|
|
Л |
имеющая |
максимум при р = 1 (см. |
-j-g63,-----функция только р, |
||
лрез. |
кривой |
для р < 1 не показана). |
фиг. 76, часть |
О— число октав между частотами, при которых поглоще ние равно г/2 Лрез. (см. фиг. 77 и 78, пунктирные линии); О есть функция только р и g .
—- функция р и g, возрастающая с возрастанием g (см.
рез.
фиг. 77, нижняя часть). Эта величина дает представ ление о полном эффекте резонатора.
---------функция |
р и g. |
Так |
как |
G2 приближенно |
совпадает |
с площадью^ поперечного |
сечения канала |
(для тонких |
|||
стенок |
G = D), |
то — |
О |
|
|
— дает поглощаемую энергию, |
|||||
отнесенную к площади отверстия. График этой вели чины не приводится; с уменьшением проводимости (диаметра отверстия) она возрастает.
Эффективность резонатора
Фиг. 77.1ГЗависимость параметров, характеризующих эффективность отдельного резонатора, от внутреннего сопротивления
и проводимости G.
§ 2. Резонатор в безграничной стенке |
129 |
Фиг. 78. «Экономия стенкй» и селективность конструкции одним резо натором в зависимости от проводимости <2, и внутреннего сопротивления ц,
выраженного в относительных единицах.
^рез.^ W G
функция р и g; при малых значениях [х и (или) g ста
новится функцией только [х (см. пологие кривые ввер ху фиг. 77); эта функция, так же как и предыдущие две, является мерой поглощаемой энергии, выражен ной в единицах площади поверхности «открытого окна», умноженной на число октав, где имеет место
поглощение, |
и отнесенной к площади |
Арез0 . Рассма |
|||||||
триваемая функция |
при |
подходящем |
р и не слишком |
||||||
большом g |
приблизительно |
равна |
1, |
что хорошо видно |
|||||
из фиг. |
79. |
Вообще |
фиг. |
79 весьма полезна при вся |
|||||
кого рода |
оценках. Полезно отметить, что |
величина |
|||||||
у^рез.^ |
пропорциональна |
величине |
^рез.^рез. |
т. е. |
|||||
^рез.^ |
|
произведения |
Арез0, |
|
характеризующего |
||||
отношению |
|
||||||||
эффективность резонатора, |
к |
объему резонатора, |
|||||||
и поэтому может служить мерой эффективности резо
натора с |
«экономической» точки |
зрения. Поскольку |
величина |
А О |
то отсюда следует, |
Арезл близка к единице, |
V 3.G
что все резонаторы с «экономической» точки зрения
9 Звукопоглощающие материалы