Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

акустика / tsvikker_k_kosten_k_zvukopogloshchaiushchie_materialy

.pdf
Скачиваний:
142
Добавлен:
04.05.2023
Размер:
11.15 Mб
Скачать

120

Гл. VII . Резонансные звукопоглотители

где dx — малое

смещение

воздуха

силой dF. Очевидно,

 

dx —

,

dF = Sdp,

вканале, обусловленное

Vdp

Ко- dV

где dV — объем

воздуха,

поступающего при

сжатии в

полость,

dp — избыточное

давление,

приблизительно

одинаковое по

всей

полости, /<0 —модуль сжатия воздуха. Следовательно,

 

 

 

 

 

г

= _L

v .

 

 

 

 

 

 

 

S*

*п •

 

 

 

Собственная частота резонатора, определяемая по

известной

формуле (»рез. =

1/|/ тС, будет

 

 

 

 

 

 

2 - г'рез. ~

^рев. =

с о ~j/r -у - >

 

( ^ •1 )

где G = S/l и с0\ / /Vо/со— скорость звука

в воздухе.

 

 

Горло резонатора редко бывает такой простой формы, чтобы его

можно

было принять за

цилиндр

определенной длины.

Но

даже

в том

случае, когда это

возможно, наша теория является

при­

ближенной, так как в ней не учитывается кинетическа! энергия колебаний воздуха, прилегакцщго к обоим концам канала. Эффек­ тивную массу воздуха, соот^гс^вующую этим колебаниям, можно

учесть, прибавив к длине щнала /

некоторую

поправку.

Для

каналов с кАглым поперечным сечением полная поправка

для

обой£ концо®

составляет

0,8

диаметра

D.

Если

/

стремится

к нулю, т. е. канал вырождается

в отверстие

в

тонкой

стен­

ке, то масса определяется исключительно поправками на

от­

крытые концы, причем G точно равно D (подробности см. у

Рэлея [4]).

 

резонансной

частоты

vpe3

от

проводимости G

Зависимость

и объема V, определяемая уравнением

(7.1),

графически

изобра­

жена на фиг. 73. Поскольку

для

отверстия в

тонкой

 

стенке

G ^ D, то

там

указаны

и

значения

D.

Стенку

можно

считать

тонкой, если ее толщина много меньше диаметра отверстия.

 

Очевидно G = S/1 является

электрической проводимостью про­

водника той же самой формы, что и канал, если удельная

про­

водимость

принята

за

единицу.

Эта

аналогия

справедлива

[4]

и в более

сложных

случаях,

что

помогает

оценивать

G.

Если

в сосуде имеется несколько отверстий

на достаточно

 

больших

расстояниях друг от друга, то проводимости отверстий G-просто

складываются. Если в тонком сосуде имеется четыре

отверстия

диаметром Z), то полная проводимость

G = 4D.

Если же

отвер­

стия расположены очень близко друг

к

другу,

то

потоки

воз­

духа в них будут взаимодействовать друг с другом

и

поправки

на открытые концы будут иными.

При этом проводимость каждого

§ 1. Введение

121-

отверстия уменьшится. Однако проводимость четырех отвер­ стий не может быть меньше 2D, т. е. диаметра отверстия, полу­ чающегося при слиянии четырех отдельных отверстий.

Как уже было указано выше, для цилиндрических каналов, приблизительно круглого поперечного сечения имеем

G = T-To^d

( 7. 2)

Проводимость может быть

также

вычислена

в случае, когда

отверстие п р едставл яет собой

щель

шириной

b в бесконечное

Фиг. 73. Зависимость резонансной

частоты резонатора от объема V

при различных

проводимостях G.

Для круглых отверстий в тонких экранах G равно диаметру отверстия (для тол­ стых экранов см. фиг. 83).

стенке толщиной d [55, 59, 60]. Для единицы длины щели имеем-

1 = Д

+ 0,7 +

- 1 п ^ .

(7.3)

G

Ь

1

тс

tub

4

Даже при учете концевых поправок изложенная здесь теория резонатора остается приближенной. Строго говоря, кинетическая энергия не сосредоточена только в канале. Точно так же при расчете упругости и соответствующей ей потенциальной энергии нельзя ограничиваться лишь объемом полости. Приведенные выше формулы приближенно справедливы, если все размеры резонатора малы по сравнению с длиной волны. Более детально эти вопросы рассмотрены в статье Ингорда [61].

122

Гл. VII. Резонансные звукопоглотители

 

Чтобы

избежать резкого селективного

поглощения

в узкой

полосе частот вблизи резонанса,

необходимо создать в резонаторе

подходящее затухание. Если это

затухание

создается

путем за­

полнения полости резонатора каким-либо пористым материалом, то надо иметь в виду, что при этом изменяются эффективный объем полости и проводимость. Влияние на проводимость опре­ деляется структурой пористого материала. Для поправки на вну­

треннем

конце канала

существенно,

что

воздух может проходить

только

через главные

поры,

т. е.

через

часть объема,

равную

h/k, где

h — пористость, k —структурный фактор (см. гл.

I, § 8).

Это означает, что эффективная плотность

воздуха может ока­

заться в 5 — 10 раз больше ее

нормального

значения; увеличение

плотности можно учесть, предположив, что

поправка на откры­

тый конец со стороны полости в такое же число раз превышает поправку, определяемую диаметром. Для тонких стенок прово­ димость при этом уменьшается в 3—5 раз, что приводит к пони­ жению резонансной частоты в 1,7 —2,2 раза. По сравнению с этим эффектом увеличение резонансной частоты, обусловленное сокра­

щением воздушного объема в полости,

будет мало.

В акустическом смысле резонатор

выполняет три функции:

а)

поглощает энергию вследствие трения в канале и вблизи него;

б) действует как вторичный,источник звука благодаря излуче­

нию из отверстия

и,

следоЛтёльно,

может быть

использован

для рассеяние падающего звука;

которую

отчасти возвра­

в)

запасаещ энергию при резонансе,

щает

в окружающее пространство после того,

как на него пере­

стает

действовать

звук

от внешнего источника;

при

некоторых

условиях от этого может увеличиться время реверберации помеще­ ния, в котором расположен резонатор; этот эффект определяется временем реверберации самого резонатора, которое в свою очередь зависит от его затухания.

Ясно, что если резонатор

имеет небольшое затухание, то он

будет отзываться только на

частоты, близкие к собственной

частоте. В этом случае он

будет поглощать много энергии;

время реверберации его тоже

будет большим. Вне резонанса он

практически не будет отзываться на внешнее поле и, следователь­ но, не может являться хорошим поглотителем.

Чтобы сделать резонатор поглощающим в достаточно широком диапазоне частот, следует увеличить его затухание. Но тогда он

будет менее эффективным

в смысле

реакции на внешнее

поле

и его время реверберации будет мало.

 

звука,

то

мы

Так как нас интересует вопрос о поглощении

должны подбирать такие конструкции,

которые

достаточно

по­

глощают звук в достаточно

широкой

полосе частот; влиянием

же на реверберацию помещения, в котором используются

такие

конструкции, можно пренебречь.

 

 

 

 

§ 2 . Резонатор в безграничной стенке

123

Перейдем теперь к расчету резонаторов. Рассмотрим три случая: а) резонатор в безграничной стенке; б) перфорированные экраны перед жесткой стенкой; в) случай нескольких резонаторов.

§ 2. РЕЗОНАТОР В БЕЗГРАНИЧНОЙ СТЕНКЕ

Пусть на безграничную стенку, в которой имеется один резонатор, нормально падает плоская волна. Пусть G —проводи­ мость резонатора, V — его объем,, a R — сопротивление (фиг. 74). Последнее является мерой затухания ре­ зонатора и будет определено ниже.

Поглощение и рассеяние звука резо­ натором полностью описываются его импедансом Z, зависящим от частоты. /1 Импеданс Z определяется как отноше­ ние звукового давления р к объемной скорости v; его можно выразить через

\G, $ и V

z

^ - +

$ + *Ро

(7.4)

 

 

 

/«>V

'/

Фиг. 74. Единичный

Это уравнение выражает тот факт,

резонатор,

что часть

внешнего

давления

идет на

А .

преодоление инерции и сопротивления трения наЩдящегося в канале воздуха; остальная же часть идет на адиабатическое сжатие воздуха в полости. В электрических аналогиях такая систе­

ма соответствует последовательному соединению элементов

цепи.

Для цилиндрического канала слагаемое,

обусловленное инерцией

(без поправок на концы), равно j ^ 0l/S. Согласно Рэлею,

оно

мо­

жет быть представлено в общем виде

j ^ j G

для случая, когда

канал

не цилиндрической

формы

и

когда учтены поправки на

открытые концы. Так как

р включает

в себя влияние

инерции

воздуха перед резонатором,

то оно

не

является давлением точно

у входа в канал, но представляет собой давление перед

резона­

тором

на некотором расстоянии от

входа,

например на

рассто­

янии, равном диаметру канала (точка А на фиг. 74). Слагаемое, обусловленное упругостью, вытекает из определения модуля

сжатия, который

равен *р0;

появляется

при дифференцирова­

нии смещения по времени (электрический аналог 1//о)С).

 

Величина

очевидно, представляет

собой

составляющую

звукового давления р в точке А , находящуюся

в фазе со

ско­

ростью v и деленную на эту скорость.

 

 

 

Если в точке

А амплитуда

звукового

давления равна

р, а

объемной скорости равна v, то поглощаемая мощность будет 1/г v2R,

124

Гл. VII. Резонансные звукопоглотители

 

аналогично выражению

I 2R = 1/2i 2R в электродинамике; Сможет

быть вычислено

через

р по формуле

 

 

 

 

 

Р=

\ Z\ vy

 

так

что нужно

знать

только

значение р, чтобы найти

погло­

щаемую мощность.

 

часто возникают недоразумении.

Когда

 

В вопросе о давлении

на стенку падает плоская водна с амплитудой pi9 то давление в

точке А не будет

равно

ни 2 piy как вблизи

твердой

стенки, ни

pi, как^считают некоторые авторы,

а будет

зависеть

от сопро­

тивления

излучения отверстия.

Чтобы найти это звуковое давле­

 

 

 

 

ние, представим себе безинерционный

 

 

 

 

поршень, который может без трения

 

 

 

 

перемещаться

в канале. Под действием

 

 

 

 

внешней силы этот поршень будет

пе­

 

 

 

 

ремещаться с объемной скоростью v.

 

 

 

 

При наличии падающей плоской волны

 

 

 

 

давление с внешней сторон^ поршня

 

 

 

 

равно

сумме

2pi — Zn3A.vy

1*де первое

 

 

 

 

слагаемое

обусловлено падающей

 

вол-

 

схема для резонатора.

н|й, а

второе —излучением;

ZH3JI,

есть

 

сопротивление излучения поршня.

 

Дав­

 

 

 

 

 

ление с внуЛенней стороны, очевидно,

равно

Z'vy где Z'

равно

Z

мийус

сопротивление,

обусловленное

внешней по отношению

к

поршню массой

в канале и равное

/о)р0Д/Внешн./5. Следователь­

но, условие равенства давления с

обеих сторон поршня

запи­

шется в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 p i — Z w a A v =

Z ' v .

 

 

 

(7.5)

Знак минус перед вторым членом в левой части обусловлен тем, что за положительное направление скорости взято направ­ ление от внешнего конца канала к внутреннему. При v, удовле­ творяющем этому уравнению, не требуется никакой внешней силы для поддержания движения поршня; поэтому в первом прибли­ жении мы ничего не изменим, если уберем этот поршень. Следо­ вательно, уравнение (7.5), связывающее скорость v и давление па­ дающей волны, справедливо для резонатора без поршня. На фиг. 75 показана соответственная электрическая схема. К двум последова­ тельно соединенным сопротивлениям ZII3;I. и Z' приложена э.д.с. 2р{. Сюда приложима известная теорема из теории электричества: ток в любом участке электрической цепи равен току, который про­ ходил бы по этому участку, если бы он был присоединен к за­ жимам источника тока с э.д.с., равной напряжению на концах данного участка цепи при бесконечном сопротивлении этого

§ 2ь Резонатор в безграничной стенке

125

участка, а внутреннее сопротивление источника

тока равнялось

бы сопротивлению всей цепи за исключением сопротивления дан­

ного участка, при условии,

что

из этой

остальной части

цепи

удалены все э. д. с.

 

 

 

 

 

Акустической э. д. с. в

нашем случае

является давление

при

Z' = оо , т. е. 2pt. Внутренним

сопротивлением является,

оче­

видно, импеданс излучения, так

как он определяется из условия,

что резонатор удален и падающая волна «заморожена».

 

Из фиг. 75 видно, что

 

 

 

 

тогда для поглощаемой

мощности получаем

 

2

 

2,Pi

2 Re Z',

 

 

2изл. 4

 

 

 

 

 

где Re означает вещественную часть.

Резонатор как поглотитель характеризуется величиной Л, представляющей собой отношениедшующаемой мощности к потоку щрргии в падающей волне, равному

■§Р^ —

± [рП2 "

т. е?

2 ^ ’

^

л _

R e Z '

 

I^ИЗЛ. + Z' |2

Из определения А следует, что эта величина имеет размер­ ность площади. Мы будем измерять ее в квадратных метрах.

^ивл. состоит из мнимой части, обусловленной поправкой на внешний конец канала, которая в сумме с Z' дает Z, и из вещественной части, которая называется сопротивлением излуче­ ния. Если поперечное сечение резонатора много меньше длины волны, то вещественная часть ZH8JI. выразится следующим об­ разом [4]:

ReZIIM. =

^

= flD8JI..

(7.7)

Из уравнения (7.6) видно, что Z' можно заменить на Z, если не

учитывать мнимой части ZH3JI..

 

 

 

вблизи резонанса,

т. е.

Величина А будет иметь

максимум

когда Z вещественно (и равно

R). Максимальное поглощение при

заданной частоте (к = const),

очевидно, имеет место при R ~ /?изл.>

и тогда

 

 

X2

 

 

 

А

 

 

 

 

(7 8)

 

— рез-

*

 

^макс. — 2те

 

V*,и/

Так, при частоте 345 гц (Л =

1

м)

имеем

А ^ Ve л*2-

 

126

Гл. VII. Резонансные звукопоглотители

 

Оценим теперь величину звуковой энергии, рассеиваемой резо­

натором во все стороны [4].

на ZH3n. и

обратно,

Очевидно, заменив в уравнении (7.6) Z'

получим

полную мощность, излучаемую

резонатором

во всех

направлениях по отношению к потоку энергии падающей волны. Уравнение (7.8) дает полную рассеянную мощность, если Л Н /?изл. и резонатор настроен в резонанс. Максимальная рассеиваемая мощность, однако, в 4 раза больше. Это можно показать, сделав

перестановку

Z'

и ZH3n. в (7.6) и рассмотрев

случай резонанса

при R = 0.

 

 

 

 

 

 

Уравнение (7.8) может оказаться очень полезным, однако

следует помнить,

что, вообще говоря, желательно,

чтобы погло­

щение имело

место в довольно

широком

диапазоне

частот, по

крайней мере

в

пределах двух

октав.

Если

резонатор имеет

настолько малое затухание, что справедливо (7.8), то он погло­ щает очень селективно и вне резонанса поглощение очень мало.

Следовательно,

для оценки эффективности резонатора необходимо

рассмотреть поглощение вне резонанса. Для этого

снова оказы­

вается удобным (7.6).

 

 

 

 

 

Введем следующие

обозначения:

 

%

 

Частота

 

 

 

 

/ = Резонансная частота.

’^рез.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сопротивление резонатора

 

 

©противление

излучения при резонансе

Й

г |см ' <7'7>1-

Можно показать, что

в этих

обозначениях

(7.6)

записывается

в виде

 

L2

 

 

 

 

 

д

 

4у.

 

 

 

рез-

 

(7.9)

 

 

 

 

Q -m

 

При резонансе

(/= 1 )

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

2тс (Нц)2’

 

(7.10)

 

 

 

 

 

что совпадает

с (7.8),

если ^ = 1 .

 

 

Вне резонанса (f ф 1) А будет меньше Лрез

 

 

При

 

 

 

 

 

 

 

(/24 и )2 +

('-тУ 2 (1 + ^ )2

 

(7.11)

# 2. Резонатор в безграничной стенке

127

Л —1/2Лре3.. Решая (7.11), найдем две частоты / х и

/2; число

октав О, заключенное между

и /2, может служить

мерой ши­

рины резонансной кривой.

 

 

Фиг. 76. Зависимость Лрез> (эквивалентной площади открытого

окна в м2), деленной на квадрат холины волны, от отношения внутреннего сопротивления к сопротивлению излучения.

Эффективность резонатора могут характеризовать следующие

величины:

 

 

Л

имеющая

максимум при р = 1 (см.

-j-g63,-----функция только р,

лрез.

кривой

для р < 1 не показана).

фиг. 76, часть

О— число октав между частотами, при которых поглоще­ ние равно г/2 Лрез. (см. фиг. 77 и 78, пунктирные линии); О есть функция только р и g .

—- функция р и g, возрастающая с возрастанием g (см.

рез.

фиг. 77, нижняя часть). Эта величина дает представ­ ление о полном эффекте резонатора.

---------функция

р и g.

Так

как

G2 приближенно

совпадает

с площадью^ поперечного

сечения канала

(для тонких

стенок

G = D),

то —

О

 

 

— дает поглощаемую энергию,

отнесенную к площади отверстия. График этой вели­ чины не приводится; с уменьшением проводимости (диаметра отверстия) она возрастает.

Эффективность резонатора

Фиг. 77.1ГЗависимость параметров, характеризующих эффективность отдельного резонатора, от внутреннего сопротивления

и проводимости G.

§ 2. Резонатор в безграничной стенке

129

Фиг. 78. «Экономия стенкй» и селективность конструкции одним резо­ натором в зависимости от проводимости <2, и внутреннего сопротивления ц,

выраженного в относительных единицах.

^рез.^ W G

функция р и g; при малых значениях [х и (или) g ста­

новится функцией только [х (см. пологие кривые ввер­ ху фиг. 77); эта функция, так же как и предыдущие две, является мерой поглощаемой энергии, выражен­ ной в единицах площади поверхности «открытого окна», умноженной на число октав, где имеет место

поглощение,

и отнесенной к площади

Арез0 . Рассма­

триваемая функция

при

подходящем

р и не слишком

большом g

приблизительно

равна

1,

что хорошо видно

из фиг.

79.

Вообще

фиг.

79 весьма полезна при вся­

кого рода

оценках. Полезно отметить, что

величина

у^рез.^

пропорциональна

величине

^рез.^рез.

т. е.

^рез.^

 

произведения

Арез0,

 

характеризующего

отношению

 

эффективность резонатора,

к

объему резонатора,

и поэтому может служить мерой эффективности резо­

натора с

«экономической» точки

зрения. Поскольку

величина

А О

то отсюда следует,

Арезл близка к единице,

V 3.G

что все резонаторы с «экономической» точки зрения

9 Звукопоглощающие материалы