ЦТ МАТЕМАТИКА 17-18 1 1

Раздел программы

вступительных

Содержание задания

Комментарий и решение задания

Учебное издание

испытаний/ Элемент

содержания

Найдите значение выражения f

3 f 6

f 3 3,

f

6 12.

408 с. : ил. (П. 19, с. 275–276);

Так как

по

условию

функция

у f x

Латотин, Л. А. Математика : учеб. пособие для 11-го кл.

является нечетной, то по определению для

учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения /

любых

значений x, x D f

верно

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз.

равенство:

f x f x .

Тогда

И. П. Ефременко. – 2-е изд., пересмотр. – Минск : Нар.

асвета, 2013. – 462 с. : ил. (с. 317–318, № 1109–1111; с. 377–

f 3 f 3 3,

f 6 f

6 12.

378, № 1318, № 1322);

Найдем

значение

выражения

Алгебра : учеб. пособие для 10-го кл. учреждений общ.

f 3 f 6 3 12 15.

сред. образования с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова

Ответ: 15

[и др.] ; под ред. проф. Л. Б. Шнепермана. – 3-е изд.,

пересмотр. и испр. – Минск : Нар. асвета, 2013. –

271 с. : ил. (Гл. 1, п. 1.1, с. 4–14)

В10. SABCD – правильная

четырехугольная

Для решения задания необходимо уметь

Латотин, Л. А. Математика : учеб. пособие для 10-го кл.

пирамида, длина стороны основания которой равна

определять меру двугранного угла.

учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения /

5

Решение:

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз.

2 10, а угол ASC равен

2arctg

.

Найдите

Рассмотрим рисунок.

Л. В. Латотиной. – Минск : Адукацыя і выхаванне, 2013. –

2

408 с. : ил. (П. 18, с. 260–272);

значение выражения 52 cos ,

где

– линейный

S

угол двугранного угла при боковом ребре SC

Шлыков, В. В. Геометрия : учеб. пособие для 10-го кл.

учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения /

Геометрические фигуры и

M

В. В. Шлыков. – 3-е изд., пересмотр. и испр. – Минск :

Нар. асвета, 2013. – 160 с. : ил. (Гл. 3, § 4, с. 138–149)

их свойства/ Двугранный

B

C

угол

O

2 10

A

D

Так как пирамида SABCD – правильная, то

двугранные углы при боковых ребрах

пирамиды равны. Построим линейный

угол двугранного угла, образованного

гранями SCD и SCB пирамиды: проведем

РТ–2017/2018 гг. Этап I. Вариант 1

Тематическое консультирование по математике

21

Раздел программы

вступительных

Содержание задания

Комментарий и решение задания

Учебное издание

испытаний/ Элемент

содержания

DM SC,

тогда

BM SC,

так

как

по

условию треугольники SCB и SCD равны.

По определению угол

BMD –

линейный

угол двугранного угла при боковом ребре

SC, BMD .

Рассмотрим

прямоугольный

треугольник

OC

1

OC 2

SOC :

AC,

5,

2

OSC

1

ASC,

OSC arctg

5

.

2

2

Найдем

высоту

SO

из

соотношения

tgOSC

OC

,

SO

2

5

,

SO

5

tg arctg

2

SO 4.

Найдем

длину бокового

ребра

пирамиды

по

теореме

Пифагора

SC2 SO2 OC2 ,

SC 6.

Выразим

в

треугольнике

SCD

высоту

DM :

с

одной

стороны,

DM 2 DC2

CM 2 ,

DM 2

40 CM 2 .

С

другой

стороны,

DM 2 SD2

SM 2 ,

DM 2

36 6 CM 2 .

Решим

уравнение

40 CM 2 36 6 CM 2

и

найдем,

что

CM

10

.

Тогда

DM

2 40

100

,

3

9

DM 2

260

,

DM

2

65

.

9

3

Косинус

угла

найдем

по теореме

РТ–2017/2018 гг. Этап I. Вариант 1

Тематическое консультирование по математике

22

Раздел программы

вступительных

Содержание задания

Комментарий и решение задания

Учебное издание

испытаний/ Элемент

содержания

косинусов

из

треугольника

BMD :

BD2 DM 2 BM 2

2 DM BM cos .

Так как DM BM , то

BD2 2DM 2

2DM 2 cos ;

80 2

260

2

260

cos ;

9

9

80 2

260

1 cos ;

9

1 cos

80 9

;

2 260

cos 1

18

;

13

cos

5

.

13

Значение выражения 52 cos равно 20.

Ответ:

20

В11. Найдите

утроенную

сумму

четырех

Задание на

проверку

умения применять

Латотин, Л. А. Математика : учеб. пособие для 9-го кл.

положительных чисел, из которых первые три

свойства

арифметической

и

учреждений общ. сред. образования с рус. яз.

составляют арифметическую прогрессию и их сумма

геометрической прогрессий.

обучения / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с

равна 9, а

последние три

– геометрическую

Решение:

белорус. яз. Л. В. Латотиной. – 4-е изд., испр. и доп. –

прогрессию и их сумма равна 16

1

Пусть

a, b, c, k – четыре положительных

Минск : Народная асвета, 2014. – 397 с. : ил. (П. 19–20,

Уравнения и неравенства/

3

числа

таких,

что

a b c

9 1

– сумма

с. 223–249);

Задачи на

трех

членов

арифметической прогрессии,

Алгебра : учеб. пособие для 9-го кл. учреждений общ.

арифметическую и

1

сред. образования с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова

геометрическую

b c k 16 3 2

– сумма

трех

членов

[и др.] ; под ред. проф. Л. Б. Шнепермана. – 4-е изд.,

прогрессии

геометрической

прогрессии.

Пусть

d –

испр. и доп. – Минск : Народная асвета, 2014. – 287 с. :

ил. (Гл. 4, п. 4.2–4.6, с. 191–222)

разность

арифметической

прогрессии,

тогда

в

уравнении

(1)

имеем:

b d b b d 9,

3b 9,

b 3.

Уравнение

(2)

при

этом

примет

вид:

РТ–2017/2018 гг. Этап I. Вариант 1

Тематическое консультирование по математике

23

Раздел программы

вступительных

Содержание задания

Комментарий и решение задания

Учебное издание

испытаний/ Элемент

содержания

3 3 d k 16

1

,

k d 10

1

, откуда

3

3

k 10

1

d

3 .

3

С

другой

стороны,

по

свойству

геометрической прогрессии для трех ее

членов 3, 3 d, k имеем:

3 d 2 3k,

9 6d d 2 3k 4 .

Подстановкой в уравнение (4) значения

k

из

уравнения

(3)

получим

уравнение

d 2 9d 22 0,

корнями

которого

являются числа

2

или

11. При

d 11

имеем

арифметическую

прогрессию

14, 3, 8,

не

все

члены

которой

положительны, что противоречит условию

задачи. При d 2 имеем арифметическую

прогрессию

1, 3, 5,

которая удовлетворяет

условию

задачи.

Тогда

из уравнения

(3)

k 8

1

.

Получили

следующие

четыре

3

положительных

числа:

1, 3, 5, 8

1

.

Их

3

утроенная сумма равна 52.

Ответ: 52

В12. Точка M лежит

на диагонали AC

основания

Задание

на

проверку

умения

находить

Латотин, Л. А. Математика : учеб. пособие для 8-го кл.

Геометрические фигуры и

прямоугольного параллелепипеда

ABCDA1B1C1D1

так,

объем параллелепипеда.

учреждений общ. сред.

образования с рус. яз.

что AM : MC 3: 2,

Решение:

обучения / Л. А. Латотин,

Б. Д. Чеботаревский ; пер. с

их свойства/ Объем

а точка

N – на ребре

CC1 ,

Рассмотрим

прямоугольный

белорус. яз. Е. В. Масальской. – 4-е изд., испр. и доп. –

параллелепипеда

CN : NC1 2 :1. Площадь треугольника

AKM ,

где

параллелепипед

ABCDA B C D ,

Минск : Народная асвета, 2015. – 407 с. : ил. (П. 25,

1

1

1

1

с. 241–251);

K – точка пересечения отрезков A1M и AN, равна 45.

диагональным сечением которого является

РТ–2017/2018 гг. Этап I. Вариант 1

Тематическое консультирование по математике

24

Раздел программы

вступительных

Содержание задания

Комментарий и решение задания

Учебное издание

испытаний/ Элемент

содержания

Найдите

объем

прямоугольного

параллелепипеда

прямоугольник AA1C1C.

ABCDA1B1C1D1 ,

если AB 7, BC 24

X

Латотин, Л. А. Математика : учеб. пособие для 10-го кл.

учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения /

B1

C1

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз.

Л. В. Латотиной. – Минск : Адукацыя і выхаванне, 2013. –

D1

N

408 с. : ил. (П. 1, с. 4–19);

A1

h2

24

B

C

Шлыков, В. В. Геометрия : учеб. пособие для 8-го кл.

K

7

h1

10

15

M

общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения /

В. В. Шлыков. – 3-е изд., перераб. – Минск : Нар.

A

D

Так

как

основание

прямоугольного

асвета, 2011. – 166 с. : ил. (Гл. 3, § 2–3, с. 114–132);

параллелепипеда – прямоугольник ABCD,

Шлыков, В. В. Геометрия : учеб. пособие для 10-го кл.

то

AC2

AB2 BC2 ;

AC2

72 242 ;

учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения /

AC 25.

В. В. Шлыков. – 3-е изд., пересмотр. и испр. – Минск :

Так

как

AM : MC 3 : 2,

то

AM 15,

Нар. асвета, 2013. – 160 с. : ил. (Гл. 1, § 1, с. 6–20)

MC 10. По условию площадь треугольника

AKM равна 45, тогда его высота h1 равна 6.

Так

как прямые

A1C1

и

AN

лежат

в

плоскости диагонального сечения и не

являются параллельными, то A1C1 AN X .

Треугольники

XC1 N

и

ACN

подобны с

C1 N

1

коэффициентом подобия k

CN

2 , тогда

XC 1 AC 25 ,

XA 3 AC 75 .

1

2

2

1

2

2

Треугольники AKM и XKA1 подобны с

коэффициентом

подобия

k AM

2 ;

XA1

5

РТ–2017/2018 гг. Этап I. Вариант 1

Тематическое консультирование по математике

25

Раздел программы

вступительных

Содержание задания

Комментарий и решение задания

Учебное издание

испытаний/ Элемент

содержания

h1

2

,

6

2

,

h 15.

h2

5

h2

5

2

Поскольку

высота

прямоугольного

параллелепипеда

равна

длине

бокового

ребра, например AA1 , то AA1 h1

h2 21.

Объем

прямоугольного

параллелепипеда

РТ–2017/2018 гг. Этап I. Вариант 1

Тематическое консультирование по математике

26