8. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные.

Встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. 

Пусть в выражении f(x,y)=f₁(x)f₂(y), то есть уравнение может быть представлено в видеy'=f₁(x)f₂(y) или в эквивалентной форме:  M₁(x)M₂(y)dx + N₁(x)N₂(y)dy = 0.

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида   y’=f( ),где f –функция. Как определить однородное дифференциальное уравнение .Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx:   y → ty, x → tx. Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение.  Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции.

Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x₀, y₀) , x₀∈ [a; b] , задача Коши

имеет единственное решение y = y(x) на [a;b].

 

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

9. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид  , а неоднородное  , где функции f(x),p(x) и q(x) - непрерывны на интервале интегрирования X. В частном случае, когда функции p(x) = p и q(x) = q есть постоянные, нахождение общего решения описано в разделах линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Общим решением y₀ линейного однородного дифференциального уравнения   на интервале X с непрерывными коэффициентами   на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ  с произвольными постоянными коэффициентами  , то есть  .

Теорема. Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения   на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами   и функцией f(x)представляет собой сумму  , где y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ  , а   - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

Таким образом, y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂ - общее решение дифференциального уравнения  , где y₁ и y₂ – его линейно независимые частные решения,

• а   - общее решение уравнения  , где   - любое из его частных решений, а y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ.

Осталось научиться находить y₁, y₂ и  .

В самых простых случаях эти функции подбираются.

Линейно независимые функции y₁ и y₂ наиболее часто находятся среди наборов

Линейная независимость функций y₁ и y₂ проверяется с помощью определителя Вронского  . Если функции линейно независимы на интервале X, то определитель Вронского отличен от нуля для любого x из промежутка X.

К примеру, функции y₁ = 1 и y₂ = x линейно независимы для любого действительного значения x, так как  .

Функции y₁ = sinx и y₂ = cosx также линейно независимы на R, так как

А вот функции y₁ = - x - 1 и y₂ = x + 1 линейно зависимы на интервале (-∞; +∞), так как

В общем случае подбор y₁, y₂ и   труден и далеко не всегда возможен.

Если получится подобрать нетривиальное (ненулевое) частное решение y₁ ЛОДУ второго порядка  , то его общее решение можно отыскать, понизив степень уравнения до первой с помощью подстановки  .