33. Математические методы обработки результатов измерений.

Погрешности измерений. Погрешность измерения — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Абсолютная погрешность —   является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины   (“meas” от “measured” — измеренное). Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины   может быть различной. Если   — измеренное значение, а   — истинное значение, то неравенство   должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина   распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):  ,  .

Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.

Приведённая погрешность — погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле  , где   — нормирующее значение.

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. 

Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). 

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.

35. Оценка точного значения величины. Оценка точности измерений.

Точность результата измерений — основная характеристика качества измерений, отражающая близость к нулю погрешности этого результата.

Под точностью измерений понимается степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Точность результата измерений зависит от условий измерений.

Для равноточных результатов измерений мерой точности является средняя квадратическая ошибка m, определяемая по формуле Гаусса:

 .

Средняя квадратическая ошибка обладает устойчивостью при небольшом числе измерений.

Наиболее простой способ охарактеризовать точность прогноза это указать размах колебаний значений случайной величины в выборке. Размах колебаний – это разность между максимальным и минимальными значениями, чем он больше, тем меньше точность прогноза. Но у этой характеристики есть существенный недостаток – при наличии выбросов (аномально больших и аномально малых значений), размах колебаний занижает оценку точности, так как реагирует только на них.

Более объективной характеристикой колеблемости случайной величины должна была бы являться или сумма отклонений случайной величины от своего среднего значения или, что еще лучше, среднее значение этого отклонения. Но в силу того, что отклонения случайной величины от среднего значения могут быть как положительные, так и отрицательные их сумма имеет тенденцию стремиться к нулю. Для устранения этого недостатка необходимо использовать или абсолютные значения этих отклонений или квадраты отклонений. Абсолютные значения представляют меньшие возможности для теоретических построений, по этому исторически сложилось так, что в качестве основного измерителя колеблемости случайной величины используется дисперсия. Дисперсия это средний квадрат отклонения случайной величины от своего среднего значения.

36. Метод наименьших квадратов в географии. Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов. Метод позволяет использовать аппроксимирующие функции произвольного вида и относится к группе глобальных методов. Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является аппроксимация прямой линией (полиномом первой степени). Этот вариант метода наименьших квадратов носит также название линейной регрессии.

Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование минимальности суммы квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных точек:

 

Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая функция может быть произвольной. Ее вид определяется особенностями решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента. Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций. Кроме того, часто бывает возможно путем замены переменных свести задачу к линейной (провести линеаризацию).

 

Линейное программирование, основные понятия)

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:

математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;

для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;

многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;

некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования. Итак, Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы. Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что

а) функция f(x) является линейной функцией переменных х1 , х2 , … хn

б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Размещения: А_n^m = n(n-1)(n-2) … (n-(m-1)), n = 18, m = 3, A₁₈³ = 18×17×16 = 4896, 3-1 = 2, 18-2 = 16

Сочетания: C_n^m = , n = 18, m = 4, C₁₈⁴ =

Теорема сложения вероятностей 2: определить вероятность появления чисел 2 или 7 из ряда двухзначных чисел от 1 до 99.

А – событие состоящее в том, что появится число кратное двум

В – кратное семи

Р(А) = , Р(В) = , Р(АВ) =

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ) , Р(А+В) =

Формула Байеса: P(H_i , 20 – всего, 6 – подготовились отлично, 8 – хорошо, 4 – удовлетворительно, 2 – неуд. вопрос∕ответ: 50∕50, 50∕40, 50∕30, 50∕10. Найти вероятность того, что он хорошо подготовился к экзамену. H₁ – отлично подготовленный студент, А – ответил на 3 вопроса. Н₂ – хорошо подготовл., Н₃ – удавлетвр., Н₄ – неуд.

Р(Н₁) = , Р(Н₂) = , Р(Н₃) = , Р(Н₄) = .

Р(А Н₁) = 1, Р(А Н₂) = , Р(А Н₃) = , Р(А Н₄) =

Р(Н₂

Р(А) = Р(Н₁) Р(А Н₁) + Р(Н₂) Р(А Н₂) + Р(Н₃) Р(А Н₃) + Р(Н₄) Р(А Н₄) = 1 × + 0,4 × 0,504 + 0,2 × 0,207 + 0,1 × 0,006 = 0,3 + 0,2016 + 0,0414 + 0,0006 = 0,5436

Р(Н₂

В ящике 4 зелёных и 5 красных шаров, из ящика на угад выбирают 2 шара. Найдите вероятность того, что эти шары разного цвета.

Р(А) = , m – благоприятное число элементарных исходов, n – общее число.

m = C₄¹ × C₅¹ , n = C²_{9 (4+5)}

P(A) =

На 10 карточках напечатаны цифры от 0 до 9. Определить вероятность того, что 3 на удачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 357.

А = 3, В = 5, С = 7. Р(А) = , Р(В , Р(С

Р(АВС) = × × =