1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования.

Дифференцируемая функция F(x) определённая на некотором Х называется первообразной для f '(x) определённой на этом же промежутке, если для всех Х из этого промежутка F ' (x)= f(x). F(x) – первообразная для функции f(x).

Неопределённый интеграл – совокупность всех первообразных f(x) определённых на некотором промежутке Х. Обозначается

Методы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование. Способ интегрирования, при котором подынтегральное выражение, путём тождественных преобразований, сводят к одному или нескольким табличным интегралам.

б) интегрирование с заменой переменной. Сущность заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования, удаётся свести заданный интеграл к новому, к-ый сравнительно легко берётся непосредственно, формула замены переменной неопределённого интеграла имеет вид .

в) интегрирование по частям.

3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл

Пусть функция у=f(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х_о=а, х₁ ,х₂, …, х_n=bразобьем отрезок [а; b] на n частичных отрезкoв [х_о; х₁], [х₁; х₂], …, [x_n-1; x_n].

2. В каждом чacтичном отрезке [x_i-1; x_i], i= 1,2,…, n выберем произвольную точку c_i   [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(c_i).

3. Умножим найденное значение функции f(c_i) на длину  соответствующего частичного отрезка: f(c_i) 

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

S_n= f(c_i)   + f(c_i)   +…+ f(c_i)   =   (1)

Сумма вида (1) называется uнтегралънoй суммой функции у=f(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:   (i = 1,2, ... ,n).

5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n   что   .

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а; b] и обозначается   . Таким образом,

 . (2)

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [а; b] –областью (отрезком) интегрирования

Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл   , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

 

Теорема (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл   существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция у = f(x)   0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x) , снизу - осьюОх, сбоку - прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [a;b]точками a = x₀, x₁, …, b=x_n (x₀ < x₁ < … < x_n) разобьем на n частичных отрезков [x₀,x₁], [x₁;x₂], …, [x_n-1;x_n]. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i] (i=1,2,…n) возьмем произвольную точку с_i и вычислим значение функции в ней, т. е. f(c_i). Умножим значение функции f(c_i) на длину   соответствующего частичного отрезка. Произведение f(c_i)   равно площади прямоугольника с основанием   и высотой f(c_i). Сумма всех таких произведений

f(c₁)   + f(c₂)   + … + f(c_n)   =     =S_n

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

S ≈ S_n = 

С уменьшением всех величин   точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что   :

 , то есть   .

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.