Метод комплексных амплитуд. Уравнения Максвелла для монохроматического поля

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. Комплексная амплитуда несет информацию, как об амплитуде, так и о начальной фазе колебаний. Преимущество метода комплексных амплитуд состоит – в исключении временной зависимости. При этом операции дифференцирования и интегрирования по времени сводятся к умножению и, соответственно, делению функции на iωt.Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при изучении монохроматических электромагни­тных полей можно вместо векторов и рассматривать комплексные векторы и , связанные с векторами и соотношениями: ; . Комплексные амплитуды и определяются выражениями вида. Например, если: ,то.Если составляющие вектора изменяются в фазе, то выражение для комплек­сной амплитуды упрощается. Действительно, если , то . Аналогичные соотношения выполняются и для вектора .Перейдем в системе уравнений Максвелла к комплексным векторам и . Первое уравнение Максвелл в комплексной форме принимает вид:. Учитывая, что , а , получаем:. Вводя обозначение, перепишем уравнение в форме Это уравнение является первым уравнением Максвелла для монохроматичес­кого поля. Величина характеризует электричес­кие свойства среды и называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Ее значение зависит от частоты. Рассмотрим второе уравнение Максвелла. В общем случае при переходе к ко­мплексным векторам магнитную проницаемость среды также следует считать комплексной величиной . Угол _М характеризует отставание по фазе вектора от вектора , возникающее, например, в ферромагнетиках (явление гистерезиса).С учетом изложенного второе уравнение Максвелла можно записать в форме . В случае монохроматического поля третье и четвертое уравнения Максвелла являются следствиями первых двух уравнений. Монохроматическое поле описывается системой двух уравнений ; Первое уравнение Максвелла, учитывающее сторонние токи, записывается в форме . Вводя комплексную диэлектрическую проницаемость , получаем.

Соответственно третье уравнение Максвелла для комплексного вектора в случае однородной изотропной среды имеет вид , где – комплексная плотность сторонних зарядов. Сторонние токи и заряды связаны уравнением непрерывности: . Таким образом, система уравнений Максвелла, учитывающая сторонние токи и заряды, в случае монохроматического поля имеет вид:

Систему уравнений Максвелла монохроматического поля можно переписать для комплексных амплитуд и . .

Примеры решения задач

Задача 1

В области определения задано магнитное поле

Где:

Требуется определить:

1. вектор электрической индукции в заданной области определения

1. вычислить модули и начальные фазы векторов Е и Н в точке М (13см,48см,75см)

2. определить направление векторов в заданной точке

1.Из первого уравнения Максвелла определяем комплексную амплитуду затем вектор электрической индукции в заданной области.

;

2.Вычисляем модули и начальные фазы векторов Е и Н в точке М(13см,48см,75см)

,

Значение модулей в точке:

Значение начальных фаз:

3.Определяем направление векторов в заданной точке

– направляющие орты векторов Е и Н, определяющие их направление.

Вектор Е направлен по оси х, вектор Н направлен по оси у.

Задача 2

Задана среда: влажная почва Определить:

1. частоту f₀, при которой амплитуды плотности тока смещения и плотности тока проводимости будут равны в заданной среде

1. определить, на какой из частот f₁=28кГц, _f2=95МГц и f₃=150ГГц заданная среда является проводником, диэлектриком или обладает полупроводящими свойствами

2. записать комплексную диэлектрическую проницаемость, вычислить ее для заданной среды на частотах f₁=120МГц и f₂=600ГГц

3. записать тангенс угла диэлектрических потерь, вычислить его для заданной среды на частотах f₁=120МГц и f₂=600ГГц

1.Определяем частоту f₀, при которой амплитуды плотности тока смещения и плотности тока проводимости будут равны в заданной среде

2.Определяем, на какой из частот f₁=28кГц, f₂=95МГц и f₃=150ГГц заданная среда является проводником, диэлектриком или обладает полупроводящими свойствами.

Если – проводник , - диэлектрик

– проводник

– полупроводник

– диэлектрик

3.Записывам комплексную диэлектрическую проницаемость, вычисляем ее для заданной среды на частотах f₁=120МГц и f₂=600ГГц

4.Записываем тангенс угла диэлектрических потерь, вычисляем его для заданной среды на частотах f₁=120МГц и f₂=600ГГц