Базовые средства матпакета Scilab

В результате библиотека mylibrary будет загружаться всякий раз при старте пакета Scilab.

1.5.7.Контрольные вопросы

1)Какие функциональные структуры используются в Scilab?

2)Что такое Примитив?

3)Что такое scе-сценарий и каковы его особенности?

4)Каким образом scе-сценарий запускается на выполнение?

5)Что такое scе-функция?

6)В чем отличие файла-сценария от sce-функции?

7)Может ли scе-функция иметь несколько выходных параметров?

8)Как происходит обращение к sce-функции?

9)Для чего используется функция exec?

10)Какова структура кода сценария со встроенными функциями?

11)Что такое указатель на функцию?

12)Что такое видимость переменных?

13)Для чего используется переопределение функций?

14)Какие операторы реализуют линейные программные структуры?

15)Какие простейшие операторы ввода/вывода данных известны?

16)Какие операторы реализуют разветвляющиеся программные структуры?

17)Какие операторы реализуют регулярные циклические?

18)Какие операторы реализуют итеративные циклические структуры?

19)Какие имеются средства отладки sce-файлов?

20)Что представляет собой файловая системаScilab?

191

2. Средства пакета Scilab для решения задач численными методами

При решении вычислительных задач с использованием средств математических пакетов мы получаем результат, который, как правило, не является точным, поскольку при постановке задачи, и при вводе исходных данных, и в ходе вычислений возникают погрешности.

Источниками погрешностей вычислений могут быть:

1)Неточное математическое описание реальных объектов и процессов.

2)При построении или выборе математических моделей не учитываются многие параметры, которые, по мнению специалистов, оказывают несущественное влияние на результат решения задачи, что естественно, делает формализованное описание объекта исследования приближенным.

3)Неточное задание исходных данных, так как их значения, как правило, могут быть получены в результате эксперимента.

4)Применение приближенных методов решения формализованной математической задачи. Численные методы делятся на точные и приближенные. Вместе с тем, для большинства реальных задач точных методов решения вообще не существует. Получение точного решения задачи часто связано с большими, иногда и непреодолимыми трудностями, поэтому приходится прибегать к их приближенному решению.

5)Округление исходных данных, промежуточных или окончательных результатов. Возникающая при округлении погрешность называется вычислительной погрешностью или погрешностью округления.

Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность [22, 23], которая определяется как Δ=|a-a*|, где a* – приближенное значение числа, незначительно отличающееся от его точного значения (a), имеющего те же единицы измерения, что и число а.

Относительная погрешность [20, 23], это погрешность, в которой значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения (a*≠0):

a a * .

a *

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных, а измеряются в долях или процентах.

Если некоторые погрешности (например, погрешности, связанные с неточностью исходных данных или неточностью описания реальных

192

процессов) являются неустранимыми, то на погрешность, связанную с использованием численных методов, реализованных в математических пакетах, можно влиять путем задания допустимой погрешности в качестве исходных данных. При этом математические модели, по которым производится оценка той или иной погрешности, могут быть включены в решатели, соответствующих задач.

Если решатели (совокупность средств, реализующих численные математические модели) в качестве параметра не содержат определение допустимой погрешности, то итерационные вычисления проводятся, ориентируясь на минимальное вещественное значение с двойной точностьюи формы выражения погрешностей вычислений.

В общем случае для полного анализа погрешностей желательно учитывать все их виды, но, следует помнить, что при решении нецелесообразно задавать допустимую погрешность существенно меньшей величины, чем погрешности, заложенные при математическом описании задачи и в исходных данных.

При решении инженерных задач оперируют с приближенными значениями величин, но выполнение действий над приближенными числами приводит также к приближенному числу, и имеет практическую ценность лишь тогда, когда можно указать степень точности, то есть оценить погрешность.

Использование выражений для абсолютных и относительных погрешностей не всегда возможно, так как точное число (a) чаще всего бывает неизвестно. Однако можно указать число, оценивающее абсолютное значение погрешности сверху. Максимальное положительное число, являющееся границей абсолютных значений погрешности, называется

предельной абсолютной погрешностью [22]. Предельная абсолютная погрешность nа превышает абсолютное значение погрешности или, в крайнем случае, равна ей: nа≥Δ.

В качестве примера определим предельную абсолютную и предельную относительную погрешности числа а=0.33, взятого в качестве приближенного значения числа a*=1/3.

Абсолютное значение погрешности числа а: Δ=|a-a*|=|1/3-0.33|.

Из всех чисел, удовлетворяющих неравенству, обычно выбирают наименьшее и простое по записи число, которое и будет предельной абсолютной погрешностью. В нашем случае предельная абсолютная погрешность будет составлять 1/300 или любое большее число.

Имея значение предельной абсолютной погрешности можно рассчитать и предельную относительную погрешность:

Таким образом, предельная относительная погрешность составляет порядка 10% или любое большее число.

193

Первый формат poly создает переменную типа полинома по заданному вектору коэффициентов:

Р=poly(ВекторКоэфициентовПолинома, 'ПеременнаяПолинома', 'с'),

где: ВекторКоэфициентовПолинома – вектор коэффициентов полинома (vP);

с – признак формата, заключенный в одинарные кавычки, означающий, что должен быть сформирован полином с коэффициентами, хранящимися в

параметре ВекторКоэфициентовПолинома;

Р – переменная, которая после присваивания ей результата выполнения функции poly, представляет собой полином и приобретает полиномиальный тип (polynomial) (п. 1.2.1).

Второй формат функции poly предназначен для создания переменной типа полином по заданному вектору корней полинома:

P=poly(ВекторКорнейПолиномов, ‘ПеременнаяПолинома', ' r'),

где: ВекторКорнейПолиномов – вектор корней полиномов (vХ);

r – признак формата, означающий, что значения параметра ВекторКорнейПолиномов воспринимаются функцией как корни, для которых необходимо рассчитать коэффициенты соответствующего полинома, если признак формата не задан, по умолчанию предполагается r.

Использование различных значений параметра формата (c и r) показано в примере, приведенном на рис. 2.1.1-2.

--> // Примеры использования функции poly для создания полиномов

-->

--> P1 = poly([2 3], 'x', 'r') P1 =

6 -5x +x2

-->

--> P2 = poly([1 2 3], 'x', 'c') P2 =

1 +2x +3x2

-->

--> vP5 = [21 2 -3 0 0 4] vP5 =

21. 2. -3. 0. 0. 4.

--> P3 = poly(vP5, 't', 'c') P3 =

21 +2t -3t2 +4t5

-->

--> vK5 = [21 2 -3 0 0 4] vK5 =

21. 2. -3. 0. 0. 4.

--> P4 = poly(vK5, 'y', 'r')

195

P4 =

-504y2 +234y3 +53y4 -24y5 +y6

Рис. 2.1.1-2. Примеры применение функции poly

--> // Примеры создания матриц полиномов

-->

-->vD = [1 %z, 2 +2*%z, 3 -5*%z] vD =

1 z 2 +2z 3 -5z

-->

-->mD = [1 +%z, 2 -2*%z; 3 +3*%z, 4 -4*%z]

-->

-->s = poly(0, 'x') // или(s = %z) Создание полиномиальной переменнойs

M=

1-2x +5.2x2, -2x +5.2x2, -0.2 -2x +5.2x2

-->

-->

-->C = [p, p/2; p+1, p*2; p, p+2] // Создание матрицы С(3x2)

Рис. 2.1.1-3. Создание матриц полиномов

196

Чтобы создать полиномиальную матрицу заданного размера и заполнить ее полиноминальными элементами можно, воспользоваться системной переменной %z или создать новую полиноминальную переменную, а затем сформировать матрицу одним из стандартных способов, рассмотренных ранее в п. 1.2.3 (рис. 2.1.1-3).

Чтобы создать полиномиальную матрицу заданного размера и заполнить ее полиноминальными элементами можно, воспользоваться системной переменной %z или создать новую полиноминальную переменную,

азатем сформировать матрицу одним из стандартных способов,

Оценка значений полиномов

Для оценки значений полиномов в Scilabиспользуется функция

A=horner(p,х),

где p– полиномиальная матрица, x– матрица значений переменной полиномов p, а A– значения полиномов pпри заданных значениях x(рис.2.1.1-4).

--> // Оценка значений полиномов с использованием функцииhorner

--> -->// Оценка полинома для заданного значения

-->a1 = poly(1:3, 'y') a1 =

-6 +11y -6y2 +y3

-->

--> horner(a1, 1) ans =

0.

--> --> // Оценка полинома для матрицы значений

-->х = [12; 34]

х = 12. 34.

--> a2 = poly([1 2 3], 'x', 'c') a2 =

1 +2x +3x2

-->

--> h = horner(a2, х) h =

457.

3537.

197

Рис. 2.1.1-4. Оценка значений полиномов с помощью функции horner

Вычисление корней полиномов

Для нахождения корней полинома можно использовать функциюScilab

X=roots(p),

где: p– полином с вещественными или комплексными коэффициентами, или вектор вещественных значений m×1 (1×m) полиномиальных коэффициентов в порядке убывания степени; X– вектор корней уравнения.

В данном случае используется алгоритм, основанный на собственных значениях сопутствующих матриц [20], и позволяющий за одно обращение к функции roots вычислить все корни заданного полинома (рис. 2.1.1-5).

y=

2.306563

1.5411961 -0.306563 0.4588039

-->

-->isreal(y) // Проверка: являются ли корни действительными? Нет ans =

F

-->y = real(y) // Преобразование из мнимых значений в действительные

y=

2.306563

1.5411961

-0.306563 0.4588039

-->

-->isreal(y) // Проверка: являются ли корни действительными? Да ans =

T

198

Рис. 2.1.1-5. Нахождение корней полинома функцией roots

Обратите внимание, что при вычислении корней полинома (функция roots) вектор коэффициенты полинома должен быть представлен в порядке убывания степени, в то время как при определении полинома (функция poly) вектор коэффициенты полинома должен быть представлен в порядке возрастания степени.

Предполагается, что функция roots всегда возвращает корни полинома как комплексные числа, даже если мнимая часть равна нулю. Конвертировать их в действительные значения можно с помощью функции real,а для проверки типа полученных корней можно использовать функцию isreal.

--> // Загрузка и выполнение сценарияРИС21106

-->

--> //КореньPk1 оказался в правой полуплоскости, --> //следовательно, цепь неустойчива

Рис. 2.1.1-6. Проверка устойчивости электрической цепи

2.1.2. Операции и функции c полиномиальными данными и рациональные дроби

Операции над полиноминальными данными

С полиномами можно осуществлять операции, такие как: сложение, вычитание, умножение и деление [13]. Примеры перечисленных операций приведены на рис. 2.1.2-1.

--> // Операции над полиномами

199

Рис.2.1.2-1. Операции над полиномами

Как видно из примеров, приведенных на рис.2.1.2-1, все операции с полиномами выполняются точно так же, как c арифметическими переменными. Например, для получения полиномиальной дроби достаточно воспользоваться обычным знаком деления (/). При этом полиномиальную дробь, являющуюся частным от деления полиномов, представляет рациональная дробь.

Рациональная матричная производная

С помощью функции derivate можно найти рациональную матричную производную от полиномиальной или рациональной матрицы. Функция derivat имеет следующий формат:

dp = derivat(p),

где: p – полиномиальная или рациональная матрица; dp – рациональная матричная производная.

состоит из линейных комбинаций функций с целочисленными показателями

200