Тема 3. Лабораторная работа Интерполяция функций

3.1. Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задач аппроксимации и интерполяции.

2. Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего многочлена.

3. Условие единственности решения задачи интерполирования.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа: назначение, область применения.

5. Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.

6. Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.

7. Интерполяционная формула Ньютона, область применения.

8. Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей.

9. Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.

10. Практическое правило определения степени интерполяционного многочлена.

11. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.

12. Погрешность интерполяции.

3.2. Задание

1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 3-1 и табл. 3-2:

• из табл. 3-1 выбрать значения точек интерполяции x=a (для построения многочлена Ньютона) и x=b (для построения многочлена Лагранжа);

• для построения многочлена Ньютона узлы интерполяции выбираются самостоятельно из табл. 3-2. В соответствии с методикой выбора узлов интерполяции по значению x=a выбираем 5 узлов интерполяции, используя всю таблицу (область задания интерполируемой функции) и значения функции в этих узлах. Число используемых узлов определяется заданной степенью интерполяционного многочлена, однако для построения таблицы конечных разностей следует выбрать именно 5 узлов. Для интерполяции следует выбрать ту формулу Ньютона, которая обеспечит меньшую погрешность;

• для построения многочлена Лагранжа в табл. 3-1 уже заданы номера узлов интерполяции. Узлы выбираются из табл. 3-2 и затем перенумеровываются для обеспечения наименьшей погрешности интерполяции в заданной точке x=b.

2. Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.3-2) методом Ньютона по формуле, обеспечивающей меньшую погрешность:

• построить таблицу конечных разностей;

• построить интерполяционные многочлены в явном виде;

• вычислить значение интерполирующих многочленов Ньютона в точке x=a;

• провести оценку погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.

3. Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.3-2) методом Лагранжа:

• построить интерполяционные многочлены в явном виде;

• вычислить значение интерполирующих многочленов Лагранжа в точке _;

• оценить погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.

4. Для построенных в явном виде интерполяционных многочленов второй и третьей степени (Ньютона или Лагранжа) вычислить значения этих многочленов во всех выбранных узлах интерполяции. Сравнить полученные результаты с таблично заданными значениями.