5.3.2.7. Средства MathCad для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Методика решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) та же, что и одного ОДУ высокого порядка. Ниже приведен пример решения системы дифференциальных уравнений первого порядка с использованием функции rkfixed.

Исходная система при x(0)=1 и y(0)=0

Решение системы уравнений

С

И Система дифференциальных уравнений, записанная в матричном виде , считается жесткой, если матрица коэффициентов почти вырождена. В этом случае решение, возвращаемое функцией rkfixed, может быть неустойчивым. При решении жестких систем желательно использовать функцию stiffr.

3.5.2.8. Средства MathCad для решения задач оптимизации

К задачам оптимизации сводится решение многих инженерных задач. Наиболее распространенной задачей оптимизации является поиск экстремумов - минимальных и максимальных значений функций от одной или нескольких переменных. При этом поиск экстремума функции включает в себя нахождение локального и глобального экстремума. Пакет MathCad с помощью встроенных функций решает задачу нахождения только локального экстремума. Для нахождения глобального экстремума необходимо вычислить все локальные экстремумы и выбрать среди них наибольший (наименьший).

Для непрерывной функции от одной переменной можно использовать равенство нулю её производной, и путем решения полученного уравнения получить точки экстремумов. При этом следует принимать во внимание знак второй производной. Если на отрезке, содержащем точку экстремума, , то это локальный минимум, а если , то это локальный максимум. Ниже приведен пример поиск глобального минимума функции .

Исследование показало, что функция имеет два минимума. Дальнейшее исследование показало, что глобальным минимумом является точка х1 = -3.6789.

Для непрерывных функций также удобно пользоваться такими встроенными функциями как Maximize(y,x) и Minimize(y,x). Здесь ключевое слово Given можно опускать, поскольку оно необходимо лишь при наличии ограничений.

Для поиска экстремума можно использовать и встроенную функцию Minerr:

Трехмерный график функции f(x,y)