ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / 1семестр / 1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрицы. Действия с матрицами.

Теория матриц.

Матрица – прямоугольная таблица каких-либо элементов (чисел).

Расположение элемента фиксируется 2-мя параметрами. Номером строки и номером столбца (а₂₃ – где 2-номер строки, а 3-номер столбца).

Размером матрицы называется пара чисел; 4х3, например, означает, что матрица размером 4 строки на 3 столбца

Различные виды матриц:

m или n = 1

1. m = 1  матрица-строка;

2. n = 1  матрица-столбец;

3. Если число строк не равно числу столбцов (m ≠ n), то матрица прямоугольная;

4. Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица квадратная

1. Главная диагональ квадратной матрицы – это числа с одинаковыми индексами (напр., a_ii или a₂₂)

2. Понятие побочной диагонали.

5. Квадратная матрица называется треугольной, если у нее выше или ниже главной диагонали элементы ≠ 0

6. Матрица, у которой 2 треугольника из нулей, называется диагональной.

7. Матрица, элементы которой все равны нулю, называется нулевой матрицей (обозначается Ɵ)

Действия над матрицами.

1. Транспонирование – преобразование матрицы: переворачиваем матрицу так, чтобы строки стали столбцами, а столбцы строками.

А  А^Т = В, b_ik = a_ki

Свойство: (А^Т)^Т = А

Симметричная матрица – такая квадратная матрица, если она совпадает с транспонированной.

2. Сравнение матриц (понятие равенства матриц)

А = В, если a_ik = b_ik, размеры матриц совпадают: m_a = m_b, n_a = n_b

Свойство транзитивности: A = B, B = C  A = C

3. Сложение.

У матриц должен быть один размер.

А ~ m×n

B ~ m×n

Тогда С = А + В, если c_ik = a_ik + b_ik

Свойства сложения:

1. А + Ɵ = А

2. А + В = В + А

3. (А + В)^Т = А^Т + В^Т

4. Свойство ассоциативности: (А + В) + С = А + В + С

1. Вычитание.

опр. С = А – В, если А = В + С

 c_ik = a_ik – b_ik

5. Умножение матрицы на число.

А – матрица

λ – число

Опр.| B = λ×A, если b_ik = λ×a_ik

Свойства:

1. Ɵ × А = Ɵ

2. λ × Ɵ = Ɵ

3. λ(А + В) = λА + λВ

4. (λ + μ) А = λА + μА

5. (λμ)А = λ(Аμ)

6. Умножение матриц.

Должны быть согласованы размеры.

Пусть А ~ m×n и B ~ n×l,

тогда A∙B = C ~ m×l

Умножение матриц НЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНО ( = НЕ КОММУТАТИВНО)

Свойства умножения:

1. АВ ≠ ВА

2. А(В + С) = АВ + АС

3. (АВ)С = А(ВС) = АВС

4. А∙Ɵ = Ɵ; Ɵ∙А = Ɵ