Лекции / Matematika (3)
.pdf
Вопрос 19.
Определение дифференциала функции:
Произведение производной функции и приращения аргумента ∆: = ′(0) ∙ ∆
Вопрос 20.
Вопрос 21.
2 = ( ); = ′ ∙ ∆
2 = ( ′ ∙ ∆)
2 = ′ ∙ ∆
2 = ′′ ∙ ∆ ∙ ∆
2 = ′′ ∙ ∆2
2 = ′′ ∙ 2 |
|
Вопрос 22.
Вопрос 23.
Критические точки – внутренние, изолированные точки из области определения функции в которых производная равна нулю или не существует.
Теорема о знаках производной и монотонности: Если у функции = ( ) на интервале ( ) существует положительная (отрицательная) производная, то функция возрастает (убывает) на интервале X.
Теорема о производной в точках экстремумов: Производная функции = ( ) в точке экстремума равна нулю или не существует.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
1.Область определения: ( )
2.Вычислить производную функции: ′( )
3. Найти критические точки: |
′( |
1 |
) |
= 0 |
|
′( |
2 |
) |
и 2 |
внутри ( ) |
|
|
|
, где 1 |
4.Критическими точками разбить ( ) на и если на промежутке ′( ) > 0 − функция возрастает
′( ) < 0 − функция убывает
5.Найти экстремумы функции: ymin = x2 и ymax = x1
Вопрос 24.
Выпуклая и вогнутая на интервале функция: Функция = ( ) выпуклая (вогнутая) на интервале из ( ), если касательная к графику = ( ), проведённая в любой точке этого интервала, расположена выше (ниже) графика функции.
Точки перегиба: Особые точки из области определения, в которых функция меняет тип выпуклости, то есть вогнутость сменяется на выпуклость или наоборот.
Вопрос 25.
Критические точки II рода: внутренние, изолированные точки из области определения в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Теорема о знаках второй производной и выпуклости: Если у функции = ( ) на интервале ( )
существует положительная (отрицательная) вторая производная, то функция вогнута (выпукла) на этом интервале.
Теоремы о второй производной в точках перегиба: Вторая производная функции = ( ) в точке перегиба равна 0 или не существует.
Алгоритм исследования функции навыпуклость и точки перегиба:
1.Область определения: ( )
2.Вычислить производную функции: ′′( )
3. |
Найти критические точки: |
′′( |
1 |
) |
= 0 |
|
′′( |
2 |
) |
, где 1 |
и 2 |
внутри |
( ) |
||
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
Критическими точками разбить ( ) |
на и если на промежутке ′ |
′( |
) |
> 0 − функция вогнутая |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′( |
) |
< 0 − функция выпуклая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти: y = x2 и y = x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос 26.
Первообразная функция: Функция ( ) называется первообразной функцией для = ( ) на промежутке( ), если в каждой точке 0 верно равенство ′( 0) = ( 0).
Неопределённый интеграл: Множество всех первообразных ( ) + для функции = ( ) на промежутке
( ) : ∫ ( ) = ( ) +
Основные свойства неопределённых интегралов:
1)(∫ ( ) )′ = ( ( ) + )′ = ( )
2)(∫ ( ) ) = (∫ ( ) )′ = ( )
3) |
( ) |
) = ∫ |
′( ) |
( ) |
+ ∫ = + |
∫ ( |
|
= |
4)∫ ∙ ( ) = ∫ ( ) , = ≠ 0
5)∫( ( ) ± ( )) = ∫ ( ) ± ∫ ( )
Инвариантность формы интеграла: Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией ( ) то формула интегрирования не изменится, т.е. :
∫( ) = ( ) +
∫( ) = ( ) +
Пример проверки формулы из таблицы интегралов:
∫ = ln| | +
Доказательство: (ln| |)′ = 1 , = (−∞;0) (0; +∞)
| | = { , |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− , |
< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln , |
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln| | = {ln(− ) , < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
< 0: (ln(− ))′ |
1 |
|
∙ (− )′ = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
− |
|
|
(ln| |)′ = |
, в (−∞; 0) (0; +∞) ∫ |
= ln| | + |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
> 0: (ln( ))′ = |
|
|
∙ ′ = |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
С помощью свойства дифференциала = 1 ( + ), где ≠ 0, = , можно вносить постоянные под
знак дифференциала, чтобы использовать инвариантность формы неопределённого интеграла.
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
||
∫ cos(2 − 5 ) = ∫ cos(2 − 5 ) ∙ |
|
(2 − 5 ) = − |
|
|
∫ cos(2 − 5 ) (2 − 5 ) = − |
|
sin(2 − 5 ) |
−5 |
5 |
5 |
|||||
Вопрос 27.