Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5482 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Южный Федеральный Университет
Предмет:
Квантовая механика
Файл:
Лекции по квантовой механике / Лекция по КМ №6 - Туннелирование.ppt
Скачиваний:
54
Добавлен:
01.03.2023
Размер:
817 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

Туннельный эффект

Прохождение одномерного потенциального барьера прямоугольной формы

Рассмотрим прохождение квантовой частицей одномерного потенциального барьера. Вид зависимости потенциальной энергии от координаты показан на рисунке.

Запишем стационарное уравнение Шредингера:

 

2 d 2 (x)

U (x) (x) E (x)

2m

 

dx2

 

 

d 2 (x) 2m E U (x) (x) 0

 

dx2

2

 

В областях 1 и 3, где U(x) = 0 уравнение принимает вид:

d 2 (x) 2mE (x) 0. dx2 2

Решение уравнения в областях 1 и 3 имеет вид:

 

1,3

(x) A

e ikx B eikx ,

k

 

2mE

 

.

 

 

 

 

1,3

1,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В области 2, где U(x) = V уравнение принимает

вид:

d 2 (x) 2m E V (x) 0. dx2 2

При этом величина (E - V) < 0. Следовательно, решение будет иметь вид:

 

2

(x) A e x B e x .

 

 

 

2

 

 

2

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m(V E)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнения Шредингера можно записать в виде:

 

(x) A e ikx B eikx

1

1

1

 

(x) A e x B e x

2

2

2

k 2mE ,

3 (x) A3e ikx B3eikx

 

 

2m(V E)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1 (x) A1e ikx B1eikx

2 (x) A2e x B2e x

3 (x) A3e ikx B3eikx

Волновые функции можно рассматривать, как плоские волны.

Напомним, что волну (x) Be ikx можно считать волной,

вида

 

распространяющейся вдоль положительного направления оси OX.

A волну вида (x) Aeikx

можно считать волной, распространяющейся

вдоль отрицательного направления оси OX.

Таким образом, решение уравнения Шредингера в области 1 можно рассматривать, как суперпозицию волны, падающей на барьер слева направо, и волны, отраженной от барьера справа и распространяющейся влево.

Аналогично, решение уравнения Шредингера в области 3 можно рассматривать, как суперпозицию волны, падающей на барьер справа налево и волны, прошедшей через барьер и распространяющейся вправо.

Если считать, что мы рассматриваем частицу, падающую на барьер слева, то в области 3 (за барьером) может существовать только прошедшая волна. Поэтому коэффициент B3 при

волне, идущей из бесконечности к барьеру можно считать равным нулю.

1 (x) A1e ikx B1eikx

2 (x) A2e x B2e x

3 (x) A3e ikx

Отношение квадрата амплитуды прошедшей волны к квадрату амплитуды

падающей волны назовем коэффициентом прозрачности барьера.

 

 

 

 

A

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

,

t

 

 

3

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

2

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отношение квадрата

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

амплитуды отражённой волны к квадрату амплитуды

падающей волны назовем коэффициентом отражения барьера.

R

 

 

B1

 

 

2

 

,

r

 

 

B1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

A

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (x) A1e ikx B1eikx

2 (x) A2e x B2e x

3 (x) A3e ikx

Потребуем непрерывности волновой функции и её первой производной в точках x = 0 и x = a.

1 (0)

2 (0)

 

 

(0)

 

(0)

1

2

 

 

(a) 3 (a)

2

 

 

 

 

(a)

2

(a) 3

Разделим все уравнения на А1.

 

 

A1 B1 A2 B2

 

 

 

ikA1

ikB1 A2 B 2

 

 

A2e

a

a

A3e

ika

 

 

 

 

 

B2e

 

 

 

 

a

 

a

 

 

ika

A2e

 

 

 

B2e

ikA3e

 

1

 

B1

 

 

A2

 

 

B2

 

 

 

 

A2

e a

B2

 

e a

A3

e ika

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

A

A

A

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

ik ik

 

B1

 

 

 

A2

 

 

B2

 

A2

 

e a B2

e a ik

A3

e ika

 

A

 

 

A

 

A

A

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

1 B1 A2

A1 A1

ik ik B1 A1

 

A2

e a

B2

 

e a

 

A

A

 

 

1

1

 

 

A2

e a B2

e a

A

 

 

A

 

1

 

1

 

 

B2

 

 

 

 

 

 

Используем обозначения:

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

B2

 

 

t

 

 

3

 

 

 

,

r

 

 

 

 

1

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

ika

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

Физический смысл этих обозначений:

ik

A3

 

e ika

 

t

 

2 T,

 

 

r

 

2

 

 

R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

 

 

два

первых уравнения

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системы. Умножим первое уравнение на η:

 

 

1 r

 

 

ik ik r

 

 

e a e a

te ika

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

ika

e

 

e

ikte

 

r ,

ik ik r .

Сложим и вычтем уравнения:

r ik ikr 2 ,

r ik ikr 2 .

r ik ikr 2 ,r ik ikr 2 .

Отсюда коэффициенты α и β

ik r ik 2 ,ik r ik 2 .

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

1 r

 

 

 

 

 

ik

 

r

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

ik ik r

 

 

ik r ik

 

 

e

a

a

te

ika

 

 

 

.

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

ika

 

 

 

 

 

2

 

 

 

e

 

 

e

ikte

 

Рассмотрим теперь два последних уравнения системы. Подставим значения α и β.

 

 

ik r ik

 

e

a

 

ik r ik

 

a

te

ika

 

 

 

2

 

 

 

 

2

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik r ik

 

 

 

 

 

 

 

ik r ik

 

 

 

 

 

 

 

e

a

 

a

ikte

ika

 

2

 

 

2

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

r

 

ik

 

 

ik

 

r

 

ik

 

 

 

 

 

e a

 

 

e a 2 te ika

 

 

 

 

r

ik e a ik

 

r

ik e a 2ikte ika

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Снова заменим уравнения их суммой и разностью.

 

 

ik

 

r

 

ik

 

 

 

2te ika

 

ik

 

 

2

 

 

 

e a

 

 

 

 

 

 

ik

r ik e a

 

2te ika ik

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда ищем коэффициент t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

te

ika

ik

 

 

 

ik e

 

 

r ik e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik e

a

r ik e

a

te

ika

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

ik

a

te

ika

ik

 

r ik e

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik e

a

ik e

a

te

ika

ik

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik e a

 

 

ik e a te ika ik

 

 

ik e a

 

ik e a te ika ik

 

 

 

 

 

 

 

 

ik e a

 

 

 

ik e a te ika ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik e a

 

ik e a te ika ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e a

 

 

 

ik

 

e a te ika

 

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e a ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

e a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

e a

te ika

ik

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

e a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

2

e a te ika

 

ik

 

2 e a te

ika

ik

 

2

 

 

ik

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ika

 

 

 

 

 

 

2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

te

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik e

 

ik

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

ik

 

2

 

 

ik

 

2

 

 

eika

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik 2 e a ik 2 e a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ik

 

 

 

 

 

 

 

eika .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik 2 e a ik 2 e a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в папке Лекции по квантовой механике
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности