5. Вероятность ошибки и вероятность правильного принятия решения

Определим вероятность ошибки и вероятность правильного обнаружения как функция порога . Как известно, ошибка первого рода возникает тогда, когда принимается решение о наличии сигнала в принятой реализации в то время как_{сигнал отсутствует. Вероятность этого события равна}

_{. (5.1)}

_{Для упрощения расчетов произведем нормирование случайной величины V , сдвинув V на величину условного математического ожидания при отсутствии сигнала и пронормировав полученное выражение относительно условного среднеквадратического отклонения s v0 при отсутствии сигнала}:

(5.2)

где , . (5.3)

Вероятность правильного обнаружения как функция порога С^*есть вероятность превышения случайной величиной V порога С^*, но при наличии сигнала в принятой реализации:

(5.4)

где , ._(5.5)

В интегральной форме вероятность ошибки aи вероятность правильного решения D = 1-bимеют вид

, ( 5.6)

, (5.7)

где и вычисляются при помощи формул (4.11), (5.3), (5.5).

Формулы (5.6) и (5.7) позволяют построить рабочую характеристику приемника при использовании непрерывных наблюдений на интервале (0, ).

6. Методика эксперимента

1. Для того, чтобы снять рабочую характеристику, необходимо измерить вероятность правильного обнаружения D=1-bи вероятность ошибки первого родаa. Эти вероятности измеряются методом статистических испытаний. Для измерения D=1-bв течение времени периодически воспроизводится передача “1” по каналу связи при заданном отношении сигнал/шум и фиксированном значении порога. (Переключатель П₁в положении “Сигн.+Шум”, а переключатель П₂в положениях “Е₁“, “Е₂“, “Е₃“).

В качестве оценки вероятности правильного обнаружения D=1-bберется отношение числа импульсов на выходе приемника N_iк общему числу сигналов N^*, поступивших на вход приемника за время измерения , т.е. D^*= N_i/ N^*.

Для измерения aв течение времени периодически воспроизводится передача “0” по каналу связи с определенным уровнем шума. (Переключатель П₁в положении “Сигн.+Шум”, а переключатель П₂в положении “0”). Вероятность ложной тревоги вычисляется как отношение числа ошибочных решений N_iк общему числу испытаний за время :a^*= N_i/ N^*.

При N^*®¥оценкиa^*и D^*стремятся к своим истинным значениямaи D. Следовательно, результаты измерений тем точнее, чем больше время измерения. Отношение N_i/N^*измеряется частотомером. Для этого импульсы с выхода приемника N_iподаются на вход А, а с выхода N^*- на вход Б частотомера. Переключатель частотомера “Род работы” устанавливается в положение “Отношение частот A/B”. Время измерения устанавливается максимальным при помощи переключателя “Время счета”. При этом на цифровом индикаторе частотомера будет высвечиваться значениеa^*или D^*в зависимости от положения переключателя П₁.

Рекомендуется регистрировать значения aи D при одном и том же значении порога С^*. Для этого при фиксированном значении порога С^*переключатель П₁поставить в положение “Сигн.+Шум” и манипулировать переключателем П₂.

Для того, чтобы вычислить значение порога триггера Шмидта приведем правило решения (4.16) к виду

Выходное напряжение интегратора pавно

Здесь К(C_T) множитель, учитывающий коэффициент передачи перемножителя и интегратора. Поэтому величина порога С_Ттриггера Шмидта связана с порогом С выражением

(6.1)

Значение К(C _T) – указано на установке.

2. В пункте 8 ЗАДАНИЯ необходимо построить правила d₁,d₂проверки гипотез о состоянии источника. Согласно правилуd_jинтервал значений порогов (С _{Т min} , C _{T max} ) разбивается точкой С_{T j} на область (С _{Т min} ,С_{T j} ) - приема гипотезы Н₀ , и область (С_{T j} , C _{T max} ) - приема гипотезы Н₁ . Примем С_T1 = С _TБ , где С _TБ - порог Байеса, найденный в пункте 7, а порог C _Т2 определим по формуле

C _Т2 = С _{Т min} + k₀ ( C _{T max} - С _{Т min} ),

где 0 < k₀ < 1 и задается преподавателем.

3. При расчетах вероятностей a, D=1-bи порога С можно воспользоваться как экспериментальными данными , так и построенными графиками. Погрешность представленияa, D и С зависит от качества интерполяции и качества построения графиков. Вероятностиaи D по графику определяются следующим образом:

- для известного С в произвольном месте чертежа под углом qк оси абсцисс проводится прямая, удовлетворяющая уравнению ,

- построенная прямая переносится параллельно самой себе до касания с выбранной рабочей характеристикой,

- в точке касания определяются вероятности aи D.

З А Д А Н И Е

1. Ознакомиться с описанием экспериментальной установки, методикой эксперимента, получить от преподавателя значения априорной вероятности P₀состояния источника, матрицу потерь П, отношение сигнал/шум и коэффициент k₀ .

2. Поставить переключатель П₁в положение “Сигн.”. Какому состоянию канала соответствует это положение ?

Поставить переключатель П₂в положение “Е₁“.

Пронаблюдать и зарисовать осциллограммы напряжений в контрольных точках КТ₁, КТ₂, КТ₃. Объяснить изменение формы сигнала в контрольной точке КТ₃при изменении порога.

Измерить амплитуду и длительность радиосигнала в контрольной точке КТ₁во всех положениях переключателя П₂. По результатам измерений вычислить энергию сигнала .

3. Поставить переключатель П₁в положение “Сигн.+Шум”.

Пронаблюдать форму напряжений в контрольных точках КТ₁, КТ₂, КТ₃ при всех положениях переключателя П₂. Что изменяется и почему ?

Для каждого положения переключателя П₂вычислить отношение сигнал/шум. В положении переключателя П₂“0” пронаблюдать форму напряжений в контрольных точках. Объяснить изменение формы сигналов в точке КТ₃при изменении порога.

4. Снять зависимость вероятности правильного обнаружения D и вероятности ошибки aот величины порога для всех значений энергии сигнала, вычисленных в пункте 2.

5. По полученным данным построить рабочие характеристики приемника на плоскости (a, D) для всех значений энергии сигнала, вычисленных в пункте 2, пересчитав предварительно пороги С_Ттриггера Шмидта в пороги С, пользуясь соотношением (6.1).

6. Вычислить вероятности aи D по формулам (5.6) и (5.7) для заданного преподавателем отношения сигнал/шум .

Построить теоретическую рабочую характеристику на том же графике, что и экспериментальная рабочая характеристика и сравнить теоретическую кривую с экспериментальной.

7. Критерий Байеса. Для заданной преподавателем матрицы потерь П, априорной вероятности состояния источника P₀и отношения сигнал/шум построить график среднего риска как функцию порога С по формуле (2.7), приведя его к виду

Определить по графику порог С_Б, при котором функция риска достигает минимума, и соответствующие ему вероятностиaи D. Определить порог триггера Шмидта С _TБ, соответствующий порогу С_Б.

Для найденных aи D проверить формулу (3.16).

8. Минимаксный критерий. Задать два правила d₁ ,d₂ проверки гипотез о состоянии источника. Выбрать наилучшее правило.

9. Критерий максимума апостериорной вероятности. По заданной априорной вероятности P₀состояния источника найти порог С_МАВи вероятности (a(d_i) , D(d_i)) по экспериментальным кривым как функцию отношения сигнал/шум. Построить график D(d_i) и объяснить его поведение.

10. Критерий максимума правдоподобия. Найти порог С_МП. Для каждого отношения сигнал/шум по экспериментальным кривым найти вероятности (a(d _i), D(d _i )). Построить график D(d_i) и объяснить его поведение.

11. Критерий Неймана-Пирсона. Положим вероятность ошибки первого рода равна вероятности a, найденной в п. 8. Определить порог С_Н-Пи вероятность правильного обнаружения D по экспериментальной кривой и теоретически для отношения сигнал/шум, заданного в п.1. Сравнить полученные результаты.

12. Построить таблицу для заданного в п.1. отношения сигнал/шум

Критерий	Априорные данные	Порог	a, D
Байеса
minmax
МАВ
МП
Неймана-Пирсона

Сравнить полученные результаты. При каких условиях критерий Байеса можно заменить критериями minmax, МАВ, МП.

28