Значения наблюдаемых величин на фоне помех являются случайными и условно при их обработке можно выделить несколько задач:

- обнаружение сигнала на фоне помех;

- оценка параметра сигнала на фоне помех;

- различение нескольких сигналов на фоне помех;

- фильтрация сигнала на фоне помех;

- одновременное обнаружение и оценка параметра сигнала на фоне помех.

В данной лабораторной работе рассматривается проблема обнаружения сигналов на фоне помех. Задача обнаружения сигнала может рассматриваться как частная задача различения, когда один из сигналов отсутствует. Задача различения сигналов формулируется следующим образом. Источник информации может генерировать несколько различных сигналов s_i(t), i = 1,2,...,k. Потребитель принимает один из возможных сигналов s_i(t) в смеси с шумом, и по полученной смеси необходимо принять решение о том, какой сигнал передавался. Если k=1, переходим к задаче обнаружения, когда нужно принимать решение: присутствовал ли сигнал в полученной смеси или нет. Решение этих проблем основано на результатах исследований в области математической теории проверки статистических гипотез.

1. Описание сигнала и помехи

Существует обширная литература [1], [2] по созданию сигналов различного типа, обладающих теми или иными свойствами. В качестве носителя информации берется высокочастотное колебание и модулируется один из возможных параметров сигнала. Сигнал, как функция времени и параметра, запишем в виде , гдеl _i- значение i-го модулируемого параметра. Параметрlможет быть случайным или детерминированным. В лабораторной работе рассматривается детерминированное значение параметра. В этом случае говорят, что сигнал s(t,l) известен полностью.

Шумы, или помехи, (объединим их под одним термином, хотя их различают) носят случайный характер и существуют независимо от потребителя информации. Будем считать в дальнейшем, что шумы являются стационарными случайными процессами n(t). Помеха n(t) описывается функцией - многомерной плотностью распределения, определенной в дискретные моменты времени t₁,...,t_m. Наиболее часто на практике используется модель нормального (гауссовского) шума n(t).

Помеха n(t) и сигнал s(t) в зависимости от условий распространения сигнала могут складываться алгебраически или умножаться. В первом случае имеем аддитивную помеху - x(t)=s(t)+n(t), во втором - мультипликативную помеху -x(t)=s(t)·n(t) .

Реализации y(t) случайного процесса x(t) соответственно будут представлять аддитивную смесь сигнала s(t) и реализацию x(t) шума n(t) или произведение сигнала s(t) и реализацию x(t) шума n(t):

y(t)=s(t)+x(t), y(t)=s(t)·x(t) .

В лабораторной работе рассматривается аддитивная помеха. Если сигнал отсутствует, то вид распределения вероятностей случайного процесса x(t) в дискретные моменты времени t₁,...,t_m определяется только лишь распределением шума. Если x(t) есть сумма сигнала и шума, а шум распределен по нормальному закону, то и процесс x(t) в дискретные моменты времени имеет нормальное распределение, но с математическим ожиданием, зависящим от сигнала s(t) и шума n(t). Математическое ожидание процесса x(t) зависит от состояния источника

Если математическое ожидание шума равно нулю, имеем

(1.1)

(1.2)

Как видно из выражения (1.2), дисперсия процесса x(t) не зависит от состояния источника.

2.Проверка статистических гипотез

2.1.Определения

Введем некоторые термины, необходимые в дальнейшем.

Выборка - значение случайного процессаx(t) в момент времени t = t _i.

Выборочное пространство - пространство всевозможных значений y_i. Например, если случайная величина в момент времени t = t _iможет принимать только два значения y_i=0 и y_i=1, выборочное пространство состоит из двух элементов: . Если случайная величина может принимать значения из некоторого непрерывного интервала, скажем , выборочное пространство состоит из всех возможных значений , принадлежащих интервалу .

Выборка объема m - значения случайного процесса x(t) в моменты времени , т.е. последовательность измеряемых значений = = .

Выборочное пространство - многомерное пространство всевозможных значений y₁,y₂,...y_m , являющееся произведением пространств : .Размерность пространства определяется объемом выборки m. Например, если иm= 2, то . Значения расположены на плоскости в вершинах квадрата с координатами (0,0); (0,1); (1,0); (1,1). Если = , двумерное выборочное пространство состоит из всех точек прямоугольника, ограниченного прямыми, проходящими через точки .

Дискретный источник описывается своими состояниями s₁, s₂,..., s_k. Состояние, в котором может находиться источник, является случайным. Каждому состоянию источника s_j сопоставляется сигнал c параметром и вероятность того, что источник находится в состоянии , j=1, 2, ... , k . Поскольку источник обязательно находится в одном из состояний, то должно выполняться условие нормировки:

Гипотеза - предположение о том, что источник информации находится в состоянии . В частности, источник может находиться в двух состояниях и . Тогда говорят о двухальтернативных гипотезах и . В задаче обнаружения проверяются гипотезы - источник находится в состоянии , т.е. сигнал s(t,l)=0 (сигнал отсутствует) и гипотеза - источник находится в состоянии , т.е. сигнал .

Функция правдоподобия - - условная плотность вероятности, рассматриваемая как функция состояния источника s_i. При известной выборке =(y₁,...,y_m) она показывает насколько одно состояние источника s_i“более вероятно“, чем другое состояние s_j.

Если выборка принадлежит дискретному распределению, то функция правдоподобия – это условная вероятность – также рассматриваемая как функция состояния источника s_i.

Статистика - произвольная функция от результатов выборки , зависящая от состояния источника. На основании статистики выносится решение о принятии той или иной гипотезы.

Целевая функция, функция цели, - название оптимизируемой функции, зависящая от априорных данных и выборки. Целевая функция может быть функцией стоимости эксперимента, функцией числа испытаний и т.д..

Критерием качества принятия решения является оптимальность целевой функции в некотором смысле.

Если подвергается испытанию две гипотезы Н ₀и Н ₁, из критерия качества вытекает правило разбиенияdвыборочного пространства на непересекающиеся подпространства и . В теории проверки двухальтернативных гипотез подпространство называется критической областью при проверке гипотезы Н ₀относительно гипотезы Н ₁. По результатам обработки реализации (выборки) =(y₁,...,y_m) в соответствии с правиломdпринимаются решенияg_jo состоянии источника сигналов. В частности, при проверке двухальтернативных гипотез принимается решения:

g₀– принимается гипотеза Н₀, если выборка принадлежит подпространству ;

g₁– принимается гипотеза Н₁, если выборка принадлежит подпространству .

Наблюдаемые значения - случайны и поэтому возможны ошибочные решения. Мерой ошибки служат вероятности ошибочных решений: - вероятность того, что выборка принадлежит подпространству в то время как состояние источника , (). Вероятности ошибок , зависят от правила разбиения пространства на подпространства. Для выбора того или иного правила разбиения служит критерий разбиения выборочного пространства .

При проверке двухальтернативных гипотез принято классифицировать вероятности ошибок в зависимости от проверяемых гипотез.

- вероятность ошибки первого рода. В радиолокации она называется вероятностью ложной тревоги.

- вероятность ошибки второго рода.

В силу того, что подпространства и не пересекaются, имеем

- вероятность принять гипотезу H ₀при условииs=s₀.

- вероятность не отвергнуть гипотезу H₁при условииs=s₁. В радиолокации она называется вероятностью правильного обнаружения.

Пользуясь функцией правдоподобия , запишем соответствующие вероятности в интегральной форме

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Как видно из формул (2.1) - (2.4) , вероятности ошибок зависят от правила разбиения пространства на подпространства и .