4. Функционал отношения правдоподобия

Рассмотренная выше теория обнаружения сигнала на фоне шума предполагает обработку последовательности случайных величин. На практике существуют системы обработки сигналов, непрерывных во времени. Поэтому произведем переход от дискретного времени к непрерывному и покажем видоизменение рабочих формул.

Сигнал s(t) считается полностью известным. Помеха представляет аддитивный белый шум n(t) с математическим ожиданием, равным нулю, и корреляционной функцией в виде d-функции, т.е.

(4.1)

Время наблюдения ограничено интервалом . Для простоты изложения разобьём весь интервал наблюдения на одинаковых подынтервалов длиной и примем за отсчёты средние значения случайного сигнала в интервале длиной

.

Учитывая аддитивность сигнала и шума, получим

Точно такая же связь существует между реализациями случайных отсчётов ,

Математическое ожидание отсчётов шума равно нулю, ковариация между значениями шума в моменты времени и равна

Известно, что дисперсия случайной величины равна значению ковариационного момента при . Следовательно, дисперсия случайной величины , или дисперсия (мощность) шума на один отсчет, равна:

. (4.2)

Как видно, дисперсия зависит от длины интервала дискретизации T.

Функция правдоподобия для последовательности сигналов была приведена в разделе 2. Запишем отношение правдоподобия с учетом дисперсии шума на один отсчет

. (4.3)

При переходе к пределу, когда интервал дискретизации , а число отсчетов m стремится к бесконечности, будем считать, что существует предел в среднеквадратическом, т.е. сумма в показателе экспоненты, содержащая значения случайной величины, сходится к соответствующему интегралу в среднеквадратическом, а сумма сходится к интегралу .

В результате имеем

(4.4)

Выражение (4.4) называется функционалом отношения правдоподобия L(y(t)). Интеграл

, (4.5)

входящий в выражение (4.4), представляет энергию сигнала и считается известным. Интеграл

(4.6)

называется корреляционным интегралом.

Правило принятия решения (3.1) не изменяется и определяется неравенством

(4.7)

где порог С зависит от выбранного критерия.

Прологарифмируем обе части неравенства (4.7 ) и после преобразований с учетом (4.4) получим

(4.8)

Обозначим левую и правую части неравенства (4.8) как

. (4.9)

В статистической радиотехнике выражение

(4.10)

называется отношением сигнал/шум. Преобразуем порог учетом (4.10) :

. (4.11)

Правило принятия решений (4.8) примет вид

(4.12)

Величина V - случайная. Ввиду того, что преобразование x(t) = n(t) + s(t) - линейное и шум n(t) распределен по нормальному закону, то и случайная величина V распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, зависящими от наличия или отсутствия сигнала s(t) в принятой реализации:

. (4.13)

Условные математические ожидания случайной величины V при отсутствии и наличии сигнала s(t) в принятой реализации записываются как

, (4.14)

(4.15)

Условные дисперсии рассчитываются следующим образом

, (4.16)

(4.17)

Как видно из выражений (4.16) , (4.17) , условные дисперсии случайной величины V и при наличии сигнала и при его отсутствии равны, т. е. .

C учетом (4.10) будем иметь

. (4.18)

Подставляя (4.17), (4.18) в (4.13), получим условную плотность распределения случайной величины V при различном состоянии источника.